楊德志
(遼東學院師范學院 遼寧丹東 118000)
思考:你會求平均速度嗎?
例:甲乙兩地之間的距離為200公里,一汽車從甲地到乙地行駛了4小時,請你計算該汽車的平均速度是多少?
學生:平均速度為:200÷4=50(公里/小時)
思考:平均速度能代表瞬時速度嗎?
學生:平均速度50公里/小時不能代表某一時刻的瞬時速度,該汽車不一定是勻速行駛的,可能時快時慢,也可能中途停車。
思考:你會求第二個小時內的平均速度嗎?

思考:高中時,我們學過通過已知兩點去求曲線的斜率。你能求出下圖這條割線的斜率嗎?

圖1 切線斜率圖
思考:你知道割線斜率與切線斜率的關系嗎?
為了讓學生感性認識割線轉動到切線的過程,筆者借助大學數學工具箱來演示這一變化過程。
思考:在這一變化過程中,k割與k切有什么關系嗎?

思考:通過上面兩個實例你發現了什么?
學生:一個物理上的瞬時速度問題,一個是幾何問題切線斜率問題。
思考:拋開物理和幾何的應用背景,這兩個問題有什么共性?
學生:增量之比的極限。
思考:從數學結構上,其都是研究變化率的極限問題。因此,我們可按照作差、作比值、求極限這三個步驟來概括這類問題!
你能用作差、作比值、求極限這三個步驟來刻畫一下這類問題嗎?
學生:這三個步驟可概括為:
(1)在x0處給自變量一個改變量:


導數定義在微積分課程中的重要性是不言而喻的,是它開始了微積分的篇章,是它開始使用極限為工具來研究變化率的問題。因此,它是微分學的基石,它是積分學的逆運算,它是高等數學的核心內容。