從作線段的中點看學(xué)生思維的發(fā)展

郭梅梅?胡趙云

一、問題提出

七年級數(shù)學(xué)會講尺規(guī)基本作圖，也會講線段的中點的概念，但一般不講尺規(guī)作圖“作線段的中點”，通常在八年級學(xué)習(xí)“線段垂直平分線”及其作圖時順便介紹。無論是“作線段的中點”，還是“作線段的垂直平分線”，教科書都會給出作法：

1.分別以點A、B為圓心，大于AB長為半徑作弧，兩弧分別交于點C和點D;

2.連接CD交AB于點O;

則點O就是線段AB的中點。

那么問題來了，“大于AB長為半徑”這句話是誰最先想出來的？學(xué)生自己能想出來嗎？怎樣幫助學(xué)生想出這個作圖方法？在六年級（上海學(xué)校實行五四制）教“作線段的中點”，該如何教才能有益于學(xué)生思維發(fā)展？

二、認(rèn)知基礎(chǔ)簡析

先思考與“作線段的中點”有關(guān)的幾個問題：（1）學(xué)生的認(rèn)知起點是什么？（2）設(shè)置什么問題或提供什么情境能引導(dǎo)學(xué)生探索作法？

學(xué)生的已有認(rèn)知包括小學(xué)已知道線段是軸對稱圖形，六年級剛學(xué)習(xí)了線段的和差、線段的中點等;已有操作體驗包括會用對折線段獲得線段的中點，會作一條線段等于已知線段。但學(xué)生剛剛接觸尺規(guī)作圖，這方面的認(rèn)知幾乎是空白，需要從畫圖、操作等入手讓學(xué)生不斷積累經(jīng)驗，一步一步有序地過渡到用直尺和圓規(guī)作圖。從學(xué)生已有認(rèn)知與操作體驗出發(fā)，設(shè)置合理問題，引發(fā)學(xué)生思考與探索，將成為教學(xué)的關(guān)鍵。

三、教學(xué)設(shè)計要點

先設(shè)計《先行研學(xué)單》發(fā)給學(xué)生。

1.依據(jù)所學(xué)內(nèi)容，回顧并回答下列問題：（1）什么是線段的中點？（2）由點O是線段AB的中點，你可以得到哪些結(jié)論？

2.獨立思考，并操作嘗試回答下列問題：

（1）已知線段AB，找到一點O把線段AB分成相等的兩條線段，你有哪些方法？

（2）已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作線段EF，使EF=2AB，你有哪些想法？

（3）線段是軸對稱圖形嗎？你是怎么想的？

（4）已知線段MN，用直尺和圓規(guī)作線段MN的中點O，并寫出你的想法。

上課前，學(xué)生獨立思考、操作嘗試，寫下自己的想法與操作。

教師依據(jù)學(xué)生的想法設(shè)計教學(xué)過程，組織教學(xué)。課堂上，教師選擇能引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的操作與想法，促使所有學(xué)生思考，以交流的方式，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展與形成，真正理解作法。

四、思維發(fā)展脈絡(luò)

1.思維起點—認(rèn)知再現(xiàn)

問題1? 已知線段AB，找到一點O把線段AB分成相等的兩條線段，你有哪些方法？

學(xué)生的大腦不是一個空瓶子，教師設(shè)計的問題要能夠喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗，引發(fā)他們進(jìn)一步

思考。

這個問題，多數(shù)學(xué)生能想到用尺子量出AB的長，再除以2，以找到中點;或通過折疊，把點A和點B折到一起，折出中點。使用第一種方法是依據(jù)線段的中點的定義;使用第二種方法是依據(jù)線段是軸對稱圖形。這些都是學(xué)生的已有經(jīng)驗。

問題2? 用直尺和圓規(guī)作線段EF，使EF=2AB，你有哪些想法？

教師出示學(xué)生1的操作與想法。（見圖1）

師：這位同學(xué)這樣做，可以嗎？

生：很好呀！直徑等于半徑的兩倍。

教師出示學(xué)生2的操作與想法。（見圖2）

師：這樣可以嗎？

生：我有個疑問，他怎么能保證那三個點在同一條直線上？

師：這個問題問得好！

教師出示學(xué)生3的操作與想法。（見圖3）

師：這位同學(xué)的辦法怎么樣？

生：這個辦法好，保證了三個點在一條直線上。

“倍”和“分”是互逆的。相對于“分”，“倍”更容易點，從《先行研學(xué)單》中可以看出學(xué)生們在尋找解決問題的方法。第一位同學(xué)運用了圓的直徑是半徑的2倍作出一條線段的2倍;第二位同學(xué)是想順次截取，但不在一條射線上;第三位同學(xué)基本實現(xiàn)了作圖要求。

學(xué)生們想到了使用圓規(guī)畫出相同的半徑，這一點非常可貴。出示他們的研學(xué)單，有利于啟發(fā)學(xué)生聚焦用“相同的半徑”作圓。這個問題的設(shè)置為后面啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考奠定了基礎(chǔ)。

問題3? 線段是軸對稱圖形嗎？

生：我認(rèn)為線段是軸對稱圖形，因為沿著一條直線對折，直線兩旁的部分可以重合，這個特征符合軸對稱圖形的特征。

師：這個證據(jù)很充分，線段的確是軸對稱圖形。

教師出示學(xué)生4的操作與想法。（見圖4）

師：這位同學(xué)還畫出了線段的對稱軸。你猜，線段的中點在哪里？

生：就是對稱軸和線段的交點呀！

通過課堂對話，學(xué)生明晰線段是軸對稱圖形，對稱軸和這條線段的交點就是線段的中點。這為后面學(xué)生研究尺規(guī)作圖奠定基礎(chǔ)—如果可以通過尺規(guī)作圖找到線段的對稱軸，那么就能找到線段的中點了。

2.思維起步—模仿操作

問題4? 用直尺和圓規(guī)作已知線段MN的中點O，請寫出你的想法。

教師出示學(xué)生5的操作與想法。（見圖5）

師：這位同學(xué)說，把線段割下對折來找中點，合理嗎？

生（笑）：合理是合理，但總是把紙割下來好像不太妥當(dāng)。

教師出示學(xué)生6的操作與想法。（見圖6）

師：這位同學(xué)要把直尺折斷找中點，可以嗎？

生（笑）：這樣不好吧。

可以看出學(xué)生的思維停留在“對折”這個層面，這就是學(xué)生們的認(rèn)知起點。教師要通過課堂對話讓學(xué)生明白這種作法的合理性以及局限性，把學(xué)生思維引向思考深處。

3.思維導(dǎo)入—嘗試驗證

教師出示學(xué)生7的操作與想法。（見圖7）

師：有人想出了這樣的辦法，你贊同嗎？

生：這個辦法好是好，問題是圓心怎么找出來？

師：有同學(xué)想出了這樣的辦法——

教師出示學(xué)生8的操作與想法。（見圖8）

師：如果他一直試，一直試，終究有一天能找到那個中點，是嗎？

生（笑）：不能。

這兩位同學(xué)在作圓的過程中已經(jīng)意識到了MN的存在，他們試圖在線段上找到一個點，讓這個點到線段兩個端點的距離相等。通過對話，學(xué)生意識到這個點很難一下子找到。

不過，有進(jìn)步的是，學(xué)生意識到可以作圓。這是學(xué)生們一次有益的嘗試，他們希望找到以MN為直徑的圓的圓心，圓心就是此線段的中點。據(jù)說有個學(xué)生畫了半小時還是沒有找到圓心的位置。

4.思維發(fā)展—有序思考

教師出示學(xué)生9的操作與想法。（見圖9）

師：有人想出了這樣的辦法，干脆從兩頭作圓，可以嗎？

生：這想法很好。如果兩個圓的半徑正好相等，又正好有一個交點，那么那個點就是線段中點。

生：如果我能找到那樣的圓的半徑，中點不就找到了嗎？

生：要恰好半徑等于MN，太難了。

師：嗯，這兩個圓的半徑和哪條線段有關(guān)？

生：和線段MN的有關(guān)。

師：除了正好等于這條線段的外，還有哪些可能性？

生：小于它的，或者大于它的。

師：半徑小于MN的的話，可以嗎？

生：不行，那樣交不住。

師：那么大于MN的呢？

生：那就有兩個交點！

既然無法從線段內(nèi)部找圓心，不妨從線段的兩個端點開始作圓。顯然，這位同學(xué)也是想作圓，而且是以線段的兩個端點為圓心，以MN為半徑作圓。這個想法好嗎？當(dāng)然很好，但是這樣作圖存在的問題是

MN這條線段也不好找。

5.思維形成—“發(fā)現(xiàn)”作法

問題5? 分別以點M、N為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓，說說你的作圖。

生1：我作的兩圓不相交。（見圖10左）

生2：我作的兩圓相交。（見圖10右）

師：為什么有的同學(xué)畫的兩圓會相交，有的不相交？

生：當(dāng)半徑大于MN時，兩圓相交。當(dāng)半徑小于MN時，兩圓不相交。

師：那么，怎樣找到線段MN的中點？

生：連結(jié)兩個交點畫一條線，那就是這條線段的對稱軸！對稱軸和MN的交點就是MN的中點。

師：真不錯！（出示PPT，師生共同總結(jié)作圖步驟，并作圖）

這一環(huán)節(jié)的一個重大突破點在于學(xué)生從最初“在線段上找圓心”，變成“以線段的兩個端點作為圓心”，這個轉(zhuǎn)變直接促成了作圖方法被發(fā)現(xiàn)。在學(xué)生不斷否定自己最初的想法，逐漸走向清晰和明朗的過程中，教師的點撥極為重要。通過對話，讓學(xué)生自己說出所作兩圓的半徑都和線段的一半有關(guān)。再通過分類，發(fā)現(xiàn)作法，這樣“以大于線段的長為半徑”就被大家發(fā)現(xiàn)了！

這個點找到了，但是它真的是線段的中點嗎？有辦法驗證嗎？由于在這個階段，學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)全等三角形等知識，無法進(jìn)行形式化的證明。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考別的檢驗方法，比如，可以用圓規(guī)檢驗這個點到線段兩個端點的距離是否相等。

五、教后反思

1.為什么要協(xié)助學(xué)生自我建構(gòu)

兒童認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，兒童的數(shù)理知識是無法通過告知獲得的，只有在活動中“建構(gòu)”。這種看似“低效”的討論實際上是一種“互惠式”的談話，學(xué)生在這個過程中積極思考，尋求更合理的解決方案，最終達(dá)成共識，實現(xiàn)自我建構(gòu)。

筆者曾用“告知”的方式兩分鐘告訴學(xué)生作法，再做重復(fù)性練習(xí)。令人難堪的是，無論練習(xí)多少遍，無論考試考得多好，大部分學(xué)生一段時間后還是把作圖的方法“還給老師”了。對比告知型的教學(xué)，這樣的課看起來花費的時間多了，但有意思的是，在沒有大量練習(xí)的情況下，過一段時間，所有人都能準(zhǔn)確地作出線段中點。

2.學(xué)生的思維獲得了怎樣的發(fā)展

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動進(jìn)行觀察、實驗、猜測、推理、驗證與交流。有效的數(shù)學(xué)活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索和合作交流才是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式。

從中可以看出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動要有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升思維品質(zhì)。在上這節(jié)課之前，教師需要問問自己：“大于線段的1/2長為半徑作圓”這個作圖方法是怎么想出來的？學(xué)生能不能想出來？設(shè)計什么樣的問題可以讓學(xué)生自己想出作圖的方法？

學(xué)生認(rèn)知的起點是會作一條線段的2倍，知道線段是軸對稱圖形。教學(xué)的重要目標(biāo)是讓學(xué)生想出作圖的方法。教師的作用是以學(xué)生課前的獨立思考為基礎(chǔ)，有邏輯地組織討論，引導(dǎo)學(xué)生再次有序思考。從教學(xué)過程看，課前學(xué)生的思維水平處于混亂無序的狀態(tài)，在交流的過程中逐漸走向有序和清晰，最終學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了作圖的方法，實現(xiàn)了群體的自我建構(gòu)，思維獲得了發(fā)展。

3.有思考的交流才是生動的、有效的

課堂討論的內(nèi)容建立在學(xué)生課前的獨立思考的基礎(chǔ)上，交流過程中，學(xué)生們積極分享、展示自己的想法，不斷否定自己最初的提案，又不斷優(yōu)化原有的想法。當(dāng)這個作法被我們發(fā)現(xiàn)的時候，全班響起了熱烈的掌聲，學(xué)生們按捺不住激動的心情爭著要上講臺嘗試自己作圖。

這樣的課堂才是生動而有活力的，才有利于學(xué)生思維的發(fā)展。

（作者單位：上海赫德雙語學(xué)校）

責(zé)任編輯：胡玉敏

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