對“不完全歸納”教學亂象的思考

周圓

[摘要]小學數(shù)學“不完全歸納”學情中存在著以有限的經(jīng)驗“想當然”、以未知為基礎“去歸納”、以偽探究活動“假驗證”等假象。從學科能力、自主發(fā)展、情感態(tài)度三個方面闡述了提升小學數(shù)學“不完全歸納”教學的價值，提出了在“數(shù)學化”與“具體化”中靈活轉(zhuǎn)換、從“原有視角”轉(zhuǎn)向“嶄新視角”尋求突破從“有限素材”走向“極限思想”充分想象、在數(shù)學拓展課中經(jīng)歷真實的“不完全歸納”等改進策略。

[關鍵詞]不完全歸納;學情現(xiàn)狀;教學策略

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0014-04

不完全歸納，是以某類中的部分對象（分子或子類）具有或不具有某一屬性為前提，推出以該類對象全部具有或不具有該屬性為結論的歸納推理。“不完全歸納”有兩種：（1）簡單枚舉歸納推理，這是或然性推理;（2）科學歸納推理，這是必然性推理。也就是說，“不完全歸納”是一種合情推理，必然性推理是正確的，而或然性推理可能是正確的，也可能是錯誤的。但是目前的小學數(shù)學教學中，學生對“不完全歸納法”有種錯覺：似乎套幾個例子簡單驗證一下，得到的結論都是正確的。這是因為學生課前已經(jīng)知道了結論，課堂上只不過是配合教師走過場，完成“提出問題——進行猜想——舉例論證——得出結論”的流程罷了，就像玩“過家家”游戲一般。這些“不完全歸納”的推理假象值得深思。

一、審視：小學數(shù)學“不完全歸納”學情現(xiàn)狀分析

1.以有限的經(jīng)驗“想當然”

在學習加法交換律、乘法交換律之前，學生已經(jīng)有了大量的計算經(jīng)驗，篤定“交換兩個加數(shù)的位置，和不變”以及“交換兩個乘數(shù)的位置，積不變”的結論是正確無疑的。然而小學生的計算經(jīng)驗是有限的，都局限在實數(shù)的范圍內(nèi)，所舉的例子基本都是自然數(shù)，很少涉及小數(shù)、分數(shù)乃至負數(shù)，更不要談無理數(shù)、虛數(shù)了。以這樣有限的經(jīng)驗去“想當然”，說服力當然是不夠的。

2.以未知為基礎“去歸納”

四年級下冊教材是先安排教學“三角形的內(nèi)角和”（教材第78-79頁），再安排教學“三角形分類"（教材第82頁）。教材是讓學生先算一算三角尺的內(nèi)角和（直角三角形），再用撕一撕、折一折的方法驗證銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和，通過對三種類型三角形內(nèi)角和的不完全歸納去驗證“所有三角形的內(nèi)角和是180°”這個結論。然而，此時學生還沒有學習三角形的分類，基于未知的內(nèi)容“去歸納”，無異于是在建造“空中樓閣”。

3.以偽探究活動“假驗證”

很多通過枚舉的簡單枚舉歸納推理，舉例驗證的探究過程都是“假驗證”。

（1）未窮盡的偽探究

教學“三角形的三邊關系”時，很多教師按照教材讓學生用兩組符合條件的數(shù)據(jù)和一組不符合條件的數(shù)據(jù)，對著結論的意思去計算，通過這樣三組數(shù)據(jù)得到的結果就驗證了結論的正確性。這三組數(shù)據(jù)符合結論，不代表就窮盡了所有的數(shù)據(jù)組合，只要追問“是不是都如這個結論所言，三角形的兩邊之和大于第三邊（兩邊之差小于第三邊）呢？”，問號又要在學生的腦海里盤旋起來：畢竟沒有把所有的數(shù)據(jù)組合都一一驗證過，說不定就有這樣一組另類的數(shù)據(jù)的確存在，只是沒有遇上。

（2）暗示性的偽探究

3的倍數(shù)特征不同于2、5的倍數(shù)特征，只看尾數(shù).是無法發(fā)現(xiàn)規(guī)律的。為了讓學生放棄原來直觀觀察尾數(shù)來判斷倍數(shù)的思維方式，轉(zhuǎn)而另辟蹊徑去計算各個數(shù)位上的數(shù)字之和能否被3整除，教師開始引導：“既然看尾數(shù)不行，那試試把各個數(shù)位上的數(shù)字加起來，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”這樣的引導，名為“引導”，實為“暗示”;這樣的探究，名為“探究"，實為“執(zhí)行”。

（3）表演式的偽探究

在探究圓的周長公式時，幾乎全班學生都已經(jīng)知道了圓周率π的大名，知道π的近似值是3.14，甚至有學生能背到π小數(shù)點后+十幾……然而，學生和教師都還一起合作，彼此配合，表演了驗證的過程：計算圓的周長和直徑的商，發(fā)現(xiàn)都是3.14左右。其實，幾乎沒有一個學生真正去測量過圓的周長，圓周是曲線，他們甚至連棉線都沒帶……如果沒有卓越的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了π，很難想象學生將從何處下手，他們的表演將會怎樣展開。

二、追尋：提升小學數(shù)學“不完全歸納”教學的價值

對簡單的枚舉、歸納、推理而言，所考察的對象數(shù)量盡可能多一些、全面一些，有利于提高結論的可靠性;但對科學歸納推理而言，所考察的對象數(shù)量對結論的可靠程度不起主要作用，主要是揭示對象與其屬性之間的因果關系，知其然且知其所以然，即使考察的對象數(shù)量不多（甚至只有一個），也能得到較為可靠的結論。簡單枚舉歸納推理可能是“盲人摸象”，只是“摸到”了有限的局部;科學歸納推理則力求做到“一葉知秋”，通過研究具體的某些例子驗證得出一個普遍性的正確結論。

1.學科能力方面：提升兒童推理能力的需要

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將“推理能力”作為數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一：‘推理能力的發(fā)展應貫穿于整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！毕Ｅ了魉咕褪菑漠呥_哥拉斯定理出發(fā)進行推理從而發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)的實例，進而引起數(shù)學發(fā)展的變革。推理的本質(zhì)在于推出新結論、生成新知識。沒有推理，就沒有今天的數(shù)學;沒有推理，就沒有真正的數(shù)學學習。由此可見提升兒童推理能力的重要性。

2.自主發(fā)展方面：發(fā)展兒童核心素養(yǎng)的訴求

俗話說，先做人后成才。用當下時興的話來闡述，就是要立德樹人，發(fā)展兒童核心素養(yǎng)，培養(yǎng)兒童能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力。簡單的枚舉、歸納、推理能使兒童善于觀察、主動思考、大膽設想，而科學歸納推理則能使兒童深入思考、自主學習、解決問題。主動性，是發(fā)展兒童核心素養(yǎng)的重要因素。

3.情感態(tài)度方面：培養(yǎng)兒童嚴謹精神的基石

數(shù)學是嚴謹?shù)?，尤其體現(xiàn)在數(shù)學學科的嚴密邏輯推理上，數(shù)學學科培養(yǎng)出的嚴謹精神是受用終身、全面需要的。從簡單枚舉探索出規(guī)律后，可以提出猜想，但一定要經(jīng)過嚴謹?shù)目茖W歸納推理才能得出結論，這個過程必須嚴謹、經(jīng)得起推敲。因此，每一次從簡單的枚舉歸納、推理走向科學歸納推理的過程都是不斷陶冶兒童嚴謹精神的歷程。

三、實踐：小學數(shù)學“不完全歸納”教學策略探究

波利亞說：“探索性論證不是最終的和嚴格的論證，僅是臨時的和似乎為真的，其目的是去發(fā)現(xiàn)當前問題的解。我們經(jīng)常不得不使用探索式論證，當我們得到完整的解后，我們得到完全的肯定性，但得到這種肯定性以前，我們經(jīng)常只能滿足于多少有些似乎為真的猜測?！边@段話很好地揭示了簡單枚舉歸納推理的價值在于“發(fā)現(xiàn)當前問題的解”，而要想通過“不完全歸納法”得到“完整的解”“完全的肯定性”，則需要從簡單的枚舉、歸納、推理走向科學歸納推理。

1.在“數(shù)學化”與“具體化”中靈活轉(zhuǎn)換

（1）現(xiàn)實情境編題一從數(shù)學到現(xiàn)實

教學“加法交換律”時，情境導人不應僅僅是為了列出不同的算式而設，列出兩道算式后就把情境拋諸腦后，這樣的情境不如不用?？梢韵茸寣W生隨意舉例，驗證實例，發(fā)現(xiàn)和表達規(guī)律，再讓學生自己尋找生活中的事例，利用自己計算的算式進行編題，在生活經(jīng)驗中理解加法交換律的意義，進行科學歸納推理。學生結合生活經(jīng)驗，很快就概括出“無論先加哪個，最后都是把它們合起來，所以加的順序無所謂，最后加的結果不變”。多么形象深刻的描述！不但用簡潔的語言道出了加法交換律的內(nèi)涵，還拓展了加法交換律的外延——從兩個加數(shù)推廣到無數(shù)個加數(shù)，并且說清楚了為什么加法交換律存在的道理——本質(zhì)上都是把各個部分合在一起。這樣從數(shù)學到現(xiàn)實得出的感悟遠比列舉無數(shù)個單調(diào)的數(shù)學算式要深刻得多！這.時候再進行符號化抽象，a+b=b+a就不顯得那么單薄無力了。

（2）建立幾何模型——從現(xiàn)實到數(shù)學

同樣是交換律，乘法交換律的學習卻和加法交換律不同，需要從現(xiàn)實到數(shù)學，通過建立幾何模型來進行科學歸納推理。每人吃2個蘋果，爸爸、媽媽和小朋友一家三口一共吃了多少個蘋果？列式2x3或3x2都可以，得數(shù)也相等，但怎樣才能說清楚其中的道理呢？一些能力比較弱的學生這樣牽強附會地解釋道：‘每人吃2個蘋果，3人一共吃6個蘋果，就相當于每人吃3個蘋果，2人一共吃6個蘋果?！焙苊黠@，這類學生是看到得數(shù)相同后“勉強”找個說法證明2x3=3x2，舉再多這樣的例子也只是重復展示計算結果而已，卻很難說清其中的道理。于是就有聰明的學生用假設法來解釋：“假設每人吃1個蘋果，那么3人一共吃3個蘋果;實際上每人吃2蘋果，所以要再乘以2?！边@樣的解釋是正確的，但是對能力比較弱的學生而言，這樣的解釋他們還是不明所以。有沒有簡單、直觀的方式能說清生活中這個實例的數(shù)學道理呢？可以利用點子圖（如圖1）建立幾何模型來解釋：橫著看是2個3，豎著看是3個2，都是計算一共有多少個點子，積當然不變。

教學“乘法分配律”時，可以借助長方形面積建立幾何模型（如圖2），圖形語言很直觀，用不完全歸納法得出結論：分開看，左邊長方形的面積是aXc，右邊，長方形的面積是bXc，總面積就是aXc+bXc;整體看，大長方形的長是a+b，寬是c，面積就是（a+b）Xc，所以aXc+bXc=（a+b）xc，反之亦成立。當然也可以從乘法的意義角度進行解釋，比如5x3+2x3，即5個3加上2個3等于7個3，這樣有相同加數(shù)的合并，無論相同的加數(shù)是什么，也無論相同的加數(shù)有多少個，都是成立的。既然“想明白了”這番道理，就無須再多舉例。

現(xiàn)實情境是實現(xiàn)“數(shù)學化”的重要基石;好的現(xiàn)實情境也需要必要的“數(shù)學化”;有效的“數(shù)學化”仍需回到現(xiàn)實情境接受檢驗。因此，在“數(shù)學化”與“具體化”中靈活轉(zhuǎn)換，是簡單的枚舉、歸納、推理走向科學歸納推理的一條重要路徑。

2.從“原有視角”轉(zhuǎn)向“嶄新視角”尋求突破

（1）在靜態(tài)畫面中動態(tài)演繹

教學“三角形的三邊關系”時，數(shù)據(jù)組合是無法窮盡的，所以原來的視角——通過計算靜態(tài)的三角形的三條邊的和差關系是很難突破重點的。不妨先細化“三角形任意兩邊之和大于第三邊”有幾種情況。可以假設a≥b≥c，那么a+b≥c和a+c≥b是肯定成立的，只需要想辦法驗證b+c≥a這種情況就行了，也就是較短兩邊之和大于最長邊如果成立，那么結論就成立。如何比較兩條較短邊之和與最長邊呢？我們通常的做法是把兩條較短邊相接，一頭與最長邊重合，看另頭，也可以把兩條較短邊的一頭分別與最長邊的兩頭對齊，看中間是否相接。如果圍繞最長邊的兩個端點旋轉(zhuǎn)兩條較短邊，很容易發(fā)現(xiàn)，如果兩條較短邊之和等于最長邊，則剛好碰頭，無法構成三角形;如果兩條較短邊之和小于最長邊，則不碰頭，也無法構成三角形;如果兩條較短邊之和大于最長邊，則在最長邊的上或下可以碰頭，能構成三角形。這樣一旋轉(zhuǎn)，靜態(tài)的小棒就動起來了，很容易看清什么條件下能構成三角形，以及為什么能構成三角形。原來計算三組數(shù)據(jù)組合是簡單的枚舉、歸納、推理，現(xiàn)在在靜態(tài)畫面中動態(tài)演繹，則是科學歸納推理，學生都能直觀看得見道理！

（2）在特殊性中找尋普遍性

教材從三角尺這樣特殊的三角形人手驗證三角形的內(nèi)角和，卻將視角落在了未學的三角形的分類。其實數(shù)學天才帕斯卡在九歲時就已經(jīng)能將這樣的簡單的枚舉、歸納、推理轉(zhuǎn)變成科學歸納推理了。任意兩個直角三角形都能拼成一個長方形，一個長方形的內(nèi)角和是90°x4=360°，那么一一個直角三角形的內(nèi)角和就是360°+2=180°。既然已經(jīng)證明了任意直角三角形的內(nèi)角和都是180°，接下來只需要把任意三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形就行了。

3.從“有限素材”走向“極限思想”充分想象

在探究“三角形的內(nèi)角和”時，可以借助幾何畫板軟件，先出示幾組數(shù)據(jù)由計算機計算，再讓三角形不斷變高，說說三個角之間是怎么互相影響的，通過這些有限的具體素材讓學生充分感知，引導學生想象：當三角形變得無限高，高到就像孫悟空的金箍棒戳破云層還要繼續(xù)變高時，最上面尖尖的那個角會怎么變？下面的兩個角又會怎么變？它們的和呢？然后再讓三角形不斷變矮，矮到最上面的頂點無限接近下面的邊時，三個角怎么變化？內(nèi)角和又怎么變？這樣學生就很容易得出：當三角形無限高時，最上面尖尖的角無限接近0°，而最下面的兩個角無限接近90°，它們的和為0°+90°+90°=180°;無限變矮時，三角和亦是180。

在從簡單枚舉入手，建立函數(shù)思想，再充分想象極限情況的過程中，可能學生還不能建立明確的函數(shù)關系式，更不會微積分，但是通過極限思想充分想象，他們能夠做出極限時的科學歸納推理。

4.在數(shù)學拓展課中經(jīng)歷真實的“不完全歸納”是不是學生只需要嚴謹?shù)目茖W歸納推理，不需要簡單的枚舉、歸納推理呢？顯然，這兩者都是“不完全歸納”不可或缺的部分。貝爾納說過，“構成我們學習最大障礙的是已知的東西，而不是未知的東西。”既然學生容易因為課前已經(jīng)知道了結論而在課堂上的探究活動中“過家家”，那么不妨在結論還未揭曉的數(shù)學拓展課中讓學生經(jīng)歷真實的“不完全歸納”。

（1）在獨立觀察中發(fā)現(xiàn)

蘇教版教材二年級上冊“表內(nèi)乘除法（二）”單元復習中有這樣一道拓展練習題：觀察圖3并填空。

學生之前只單獨學習過基礎的加法和表內(nèi)乘法口訣，完全想不到兩者之間還能有聯(lián)系，更不可能提前知道結論，但是不同的色塊卻給了一些啟示。仔細觀察，從里到外，每一層的顏色不同，方塊的個數(shù)正好依次是1.3.5、7，加在一起后正好依次變成了2x2、3x3、4x4的正方形。多么生動、多么巧妙的數(shù)形結合！學生通過自己的獨立觀察，能驚喜地發(fā)現(xiàn)這樣連續(xù)相加的單數(shù)和平方數(shù)之間的聯(lián)系，雖然不能從代數(shù)上用等差數(shù)列公式來進行嚴密推導驗證，但是卻能憑著這種“感覺"堅信自己想的是正確的，也能憑著這種“感覺"得到正確答案，這不正是小學數(shù)學“不完全歸納”的價值所在嗎？

（2）在實際計算中比較

很多學生在看完題目后，第一反應就是先通分成同分母分數(shù)，再加減。前四道題用這樣的基礎方法還能解決，但是對于第五道算式，再通分就明顯比較麻煩了。這時候?qū)W生只能通過前幾道具體的算式，老老實實地先計算出結果，再比較題干的變化與結果的變化以探尋規(guī)律。這時候的計算，是真正的計算，而不是假計算、假驗證。

通過計算比較，學生已經(jīng)感知到結果的規(guī)律——分子都比分母少1，分子與分母相乘的得數(shù)正好是最后一個分數(shù)加數(shù)的分母，就很容易填出第五道算式的得數(shù)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42=（6/7）。但是最后一道算式結果怎么填？需要把9900拆成哪兩個數(shù)相乘？因為沒有探究到規(guī)律背后的道理，所以依舊存在困難是正常的。這就需要學生回到前面的計算過程再探究，發(fā)現(xiàn)可以把1/6拆成1/2-1/3，同理，每一個分數(shù)加數(shù)都可以裂項成分子是1、分母是相鄰的兩個自然數(shù)的分數(shù)相減，對算式結果的規(guī)律自然就能“知其然且知其所以然”了。

（3）在動手操作中思考

在線段的內(nèi)容中有一道拓展題：

3個點時，學生很容易操作，隨便按照什么順序連接，最終都很容易畫對。但是4個點時，學生的操作過程就開始顯現(xiàn)他們不同的思路：有的是先連外再連內(nèi)，有的是選定一個點，從一個點出發(fā)依次連接。到5個點時，采用前者方法的就開始出現(xiàn)遺漏的情況，采用后者思路的，越畫越有感覺，規(guī)律已經(jīng)若隱若現(xiàn)。到6個點時，學生根據(jù)5個點時摸索到的方法，展開“不完全歸納”：一共有6個點，選定1個點，還剩5個點，從這個點出發(fā)就可以畫5條線段，再從剩下的5個點中任選一個點，還剩下4個點，從這個點出發(fā)可以畫出4條不重復的線段……以比類推，一共有5+4+3+2+1=15條。如果有n個點，那就從n-1開始，每個加數(shù)依次減少1，一直加到1為止。學生通過自己動手操作，找得特別有序，講得也挺“在理”。拓展課上的未知內(nèi)容，給學生提供了真實經(jīng)歷“不完全歸納”的機會，也給學生帶來了探索發(fā)現(xiàn)的無限快樂！

綜上，對未知的探索，才是學生成長的關鍵，因為探索的每一步都必須自己親自邁出，沒有什么現(xiàn)成的結論可以使用，也沒有什么現(xiàn)成的例子可以借鑒，唯有自己動手操作，在操作中思考、發(fā)現(xiàn)、設想、驗證，才能得到屬于自己的知識。

（責編 金鈴）