對“不完全歸納”教學亂象的思考

周圓

[摘要]小學數學“不完全歸納”學情中存在著以有限的經驗“想當然”、以未知為基礎“去歸納”、以偽探究活動“假驗證”等假象。從學科能力、自主發展、情感態度三個方面闡述了提升小學數學“不完全歸納”教學的價值，提出了在“數學化”與“具體化”中靈活轉換、從“原有視角”轉向“嶄新視角”尋求突破從“有限素材”走向“極限思想”充分想象、在數學拓展課中經歷真實的“不完全歸納”等改進策略。

[關鍵詞]不完全歸納;學情現狀;教學策略

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0014-04

不完全歸納，是以某類中的部分對象（分子或子類）具有或不具有某一屬性為前提，推出以該類對象全部具有或不具有該屬性為結論的歸納推理?！安煌耆珰w納”有兩種：（1）簡單枚舉歸納推理，這是或然性推理;（2）科學歸納推理，這是必然性推理。也就是說，“不完全歸納”是一種合情推理，必然性推理是正確的，而或然性推理可能是正確的，也可能是錯誤的。但是目前的小學數學教學中，學生對“不完全歸納法”有種錯覺：似乎套幾個例子簡單驗證一下，得到的結論都是正確的。這是因為學生課前已經知道了結論，課堂上只不過是配合教師走過場，完成“提出問題——進行猜想——舉例論證——得出結論”的流程罷了，就像玩“過家家”游戲一般。這些“不完全歸納”的推理假象值得深思。

一、審視：小學數學“不完全歸納”學情現狀分析

1.以有限的經驗“想當然”

在學習加法交換律、乘法交換律之前，學生已經有了大量的計算經驗，篤定“交換兩個加數的位置，和不變”以及“交換兩個乘數的位置，積不變”的結論是正確無疑的。然而小學生的計算經驗是有限的，都局限在實數的范圍內，所舉的例子基本都是自然數，很少涉及小數、分數乃至負數，更不要談無理數、虛數了。以這樣有限的經驗去“想當然”，說服力當然是不夠的。

2.以未知為基礎“去歸納”

四年級下冊教材是先安排教學“三角形的內角和”（教材第78-79頁），再安排教學“三角形分類"（教材第82頁）。教材是讓學生先算一算三角尺的內角和（直角三角形），再用撕一撕、折一折的方法驗證銳角三角形和鈍角三角形的內角和，通過對三種類型三角形內角和的不完全歸納去驗證“所有三角形的內角和是180°”這個結論。然而，此時學生還沒有學習三角形的分類，基于未知的內容“去歸納”，無異于是在建造“空中樓閣”。

3.以偽探究活動“假驗證”

很多通過枚舉的簡單枚舉歸納推理，舉例驗證的探究過程都是“假驗證”。

（1）未窮盡的偽探究

教學“三角形的三邊關系”時，很多教師按照教材讓學生用兩組符合條件的數據和一組不符合條件的數據，對著結論的意思去計算，通過這樣三組數據得到的結果就驗證了結論的正確性。這三組數據符合結論，不代表就窮盡了所有的數據組合，只要追問“是不是都如這個結論所言，三角形的兩邊之和大于第三邊（兩邊之差小于第三邊）呢？”，問號又要在學生的腦海里盤旋起來：畢竟沒有把所有的數據組合都一一驗證過，說不定就有這樣一組另類的數據的確存在，只是沒有遇上。

（2）暗示性的偽探究

3的倍數特征不同于2、5的倍數特征，只看尾數.是無法發現規律的。為了讓學生放棄原來直觀觀察尾數來判斷倍數的思維方式，轉而另辟蹊徑去計算各個數位上的數字之和能否被3整除，教師開始引導：“既然看尾數不行，那試試把各個數位上的數字加起來，看看有什么發現？”這樣的引導，名為“引導”，實為“暗示”;這樣的探究，名為“探究"，實為“執行”。

（3）表演式的偽探究

在探究圓的周長公式時，幾乎全班學生都已經知道了圓周率π的大名，知道π的近似值是3.14，甚至有學生能背到π小數點后+十幾……然而，學生和教師都還一起合作，彼此配合，表演了驗證的過程：計算圓的周長和直徑的商，發現都是3.14左右。其實，幾乎沒有一個學生真正去測量過圓的周長，圓周是曲線，他們甚至連棉線都沒帶……如果沒有卓越的數學家發現了π，很難想象學生將從何處下手，他們的表演將會怎樣展開。

二、追尋：提升小學數學“不完全歸納”教學的價值

對簡單的枚舉、歸納、推理而言，所考察的對象數量盡可能多一些、全面一些，有利于提高結論的可靠性;但對科學歸納推理而言，所考察的對象數量對結論的可靠程度不起主要作用，主要是揭示對象與其屬性之間的因果關系，知其然且知其所以然，即使考察的對象數量不多（甚至只有一個），也能得到較為可靠的結論。簡單枚舉歸納推理可能是“盲人摸象”，只是“摸到”了有限的局部;科學歸納推理則力求做到“一葉知秋”，通過研究具體的某些例子驗證得出一個普遍性的正確結論。

1.學科能力方面：提升兒童推理能力的需要

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“推理能力”作為數學教學的重要內容之一：‘推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式?！毕Ｅ了魉咕褪菑漠呥_哥拉斯定理出發進行推理從而發現了無理數的實例，進而引起數學發展的變革。推理的本質在于推出新結論、生成新知識。沒有推理，就沒有今天的數學;沒有推理，就沒有真正的數學學習。由此可見提升兒童推理能力的重要性。

2.自主發展方面：發展兒童核心素養的訴求

俗話說，先做人后成才。用當下時興的話來闡述，就是要立德樹人，發展兒童核心素養，培養兒童能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。簡單的枚舉、歸納、推理能使兒童善于觀察、主動思考、大膽設想，而科學歸納推理則能使兒童深入思考、自主學習、解決問題。主動性，是發展兒童核心素養的重要因素。

3.情感態度方面：培養兒童嚴謹精神的基石

數學是嚴謹的，尤其體現在數學學科的嚴密邏輯推理上，數學學科培養出的嚴謹精神是受用終身、全面需要的。從簡單枚舉探索出規律后，可以提出猜想，但一定要經過嚴謹的科學歸納推理才能得出結論，這個過程必須嚴謹、經得起推敲。因此，每一次從簡單的枚舉歸納、推理走向科學歸納推理的過程都是不斷陶冶兒童嚴謹精神的歷程。

三、實踐：小學數學“不完全歸納”教學策略探究

波利亞說：“探索性論證不是最終的和嚴格的論證，僅是臨時的和似乎為真的，其目的是去發現當前問題的解。我們經常不得不使用探索式論證，當我們得到完整的解后，我們得到完全的肯定性，但得到這種肯定性以前，我們經常只能滿足于多少有些似乎為真的猜測?！边@段話很好地揭示了簡單枚舉歸納推理的價值在于“發現當前問題的解”，而要想通過“不完全歸納法”得到“完整的解”“完全的肯定性”，則需要從簡單的枚舉、歸納、推理走向科學歸納推理。

1.在“數學化”與“具體化”中靈活轉換

（1）現實情境編題一從數學到現實

教學“加法交換律”時，情境導人不應僅僅是為了列出不同的算式而設，列出兩道算式后就把情境拋諸腦后，這樣的情境不如不用。可以先讓學生隨意舉例，驗證實例，發現和表達規律，再讓學生自己尋找生活中的事例，利用自己計算的算式進行編題，在生活經驗中理解加法交換律的意義，進行科學歸納推理。學生結合生活經驗，很快就概括出“無論先加哪個，最后都是把它們合起來，所以加的順序無所謂，最后加的結果不變”。多么形象深刻的描述！不但用簡潔的語言道出了加法交換律的內涵，還拓展了加法交換律的外延——從兩個加數推廣到無數個加數，并且說清楚了為什么加法交換律存在的道理——本質上都是把各個部分合在一起。這樣從數學到現實得出的感悟遠比列舉無數個單調的數學算式要深刻得多！這.時候再進行符號化抽象，a+b=b+a就不顯得那么單薄無力了。

（2）建立幾何模型——從現實到數學

同樣是交換律，乘法交換律的學習卻和加法交換律不同，需要從現實到數學，通過建立幾何模型來進行科學歸納推理。每人吃2個蘋果，爸爸、媽媽和小朋友一家三口一共吃了多少個蘋果？列式2x3或3x2都可以，得數也相等，但怎樣才能說清楚其中的道理呢？一些能力比較弱的學生這樣牽強附會地解釋道：‘每人吃2個蘋果，3人一共吃6個蘋果，就相當于每人吃3個蘋果，2人一共吃6個蘋果?！焙苊黠@，這類學生是看到得數相同后“勉強”找個說法證明2x3=3x2，舉再多這樣的例子也只是重復展示計算結果而已，卻很難說清其中的道理。于是就有聰明的學生用假設法來解釋：“假設每人吃1個蘋果，那么3人一共吃3個蘋果;實際上每人吃2蘋果，所以要再乘以2?！边@樣的解釋是正確的，但是對能力比較弱的學生而言，這樣的解釋他們還是不明所以。有沒有簡單、直觀的方式能說清生活中這個實例的數學道理呢？可以利用點子圖（如圖1）建立幾何模型來解釋：橫著看是2個3，豎著看是3個2，都是計算一共有多少個點子，積當然不變。

教學“乘法分配律”時，可以借助長方形面積建立幾何模型（如圖2），圖形語言很直觀，用不完全歸納法得出結論：分開看，左邊長方形的面積是aXc，右邊，長方形的面積是bXc，總面積就是aXc+bXc;整體看，大長方形的長是a+b，寬是c，面積就是（a+b）Xc，所以aXc+bXc=（a+b）xc，反之亦成立。當然也可以從乘法的意義角度進行解釋，比如5x3+2x3，即5個3加上2個3等于7個3，這樣有相同加數的合并，無論相同的加數是什么，也無論相同的加數有多少個，都是成立的。既然“想明白了”這番道理，就無須再多舉例。

現實情境是實現“數學化”的重要基石;好的現實情境也需要必要的“數學化”;有效的“數學化”仍需回到現實情境接受檢驗。因此，在“數學化”與“具體化”中靈活轉換，是簡單的枚舉、歸納、推理走向科學歸納推理的一條重要路徑。

2.從“原有視角”轉向“嶄新視角”尋求突破

（1）在靜態畫面中動態演繹

教學“三角形的三邊關系”時，數據組合是無法窮盡的，所以原來的視角——通過計算靜態的三角形的三條邊的和差關系是很難突破重點的。不妨先細化“三角形任意兩邊之和大于第三邊”有幾種情況?？梢约僭Oa≥b≥c，那么a+b≥c和a+c≥b是肯定成立的，只需要想辦法驗證b+c≥a這種情況就行了，也就是較短兩邊之和大于最長邊如果成立，那么結論就成立。如何比較兩條較短邊之和與最長邊呢？我們通常的做法是把兩條較短邊相接，一頭與最長邊重合，看另頭，也可以把兩條較短邊的一頭分別與最長邊的兩頭對齊，看中間是否相接。如果圍繞最長邊的兩個端點旋轉兩條較短邊，很容易發現，如果兩條較短邊之和等于最長邊，則剛好碰頭，無法構成三角形;如果兩條較短邊之和小于最長邊，則不碰頭，也無法構成三角形;如果兩條較短邊之和大于最長邊，則在最長邊的上或下可以碰頭，能構成三角形。這樣一旋轉，靜態的小棒就動起來了，很容易看清什么條件下能構成三角形，以及為什么能構成三角形。原來計算三組數據組合是簡單的枚舉、歸納、推理，現在在靜態畫面中動態演繹，則是科學歸納推理，學生都能直觀看得見道理！

（2）在特殊性中找尋普遍性

教材從三角尺這樣特殊的三角形人手驗證三角形的內角和，卻將視角落在了未學的三角形的分類。其實數學天才帕斯卡在九歲時就已經能將這樣的簡單的枚舉、歸納、推理轉變成科學歸納推理了。任意兩個直角三角形都能拼成一個長方形，一個長方形的內角和是90°x4=360°，那么一一個直角三角形的內角和就是360°+2=180°。既然已經證明了任意直角三角形的內角和都是180°，接下來只需要把任意三角形轉化成直角三角形就行了。

3.從“有限素材”走向“極限思想”充分想象

在探究“三角形的內角和”時，可以借助幾何畫板軟件，先出示幾組數據由計算機計算，再讓三角形不斷變高，說說三個角之間是怎么互相影響的，通過這些有限的具體素材讓學生充分感知，引導學生想象：當三角形變得無限高，高到就像孫悟空的金箍棒戳破云層還要繼續變高時，最上面尖尖的那個角會怎么變？下面的兩個角又會怎么變？它們的和呢？然后再讓三角形不斷變矮，矮到最上面的頂點無限接近下面的邊時，三個角怎么變化？內角和又怎么變？這樣學生就很容易得出：當三角形無限高時，最上面尖尖的角無限接近0°，而最下面的兩個角無限接近90°，它們的和為0°+90°+90°=180°;無限變矮時，三角和亦是180。

在從簡單枚舉入手，建立函數思想，再充分想象極限情況的過程中，可能學生還不能建立明確的函數關系式，更不會微積分，但是通過極限思想充分想象，他們能夠做出極限時的科學歸納推理。

4.在數學拓展課中經歷真實的“不完全歸納”是不是學生只需要嚴謹的科學歸納推理，不需要簡單的枚舉、歸納推理呢？顯然，這兩者都是“不完全歸納”不可或缺的部分。貝爾納說過，“構成我們學習最大障礙的是已知的東西，而不是未知的東西?！奔热粚W生容易因為課前已經知道了結論而在課堂上的探究活動中“過家家”，那么不妨在結論還未揭曉的數學拓展課中讓學生經歷真實的“不完全歸納”。

（1）在獨立觀察中發現

蘇教版教材二年級上冊“表內乘除法（二）”單元復習中有這樣一道拓展練習題：觀察圖3并填空。

學生之前只單獨學習過基礎的加法和表內乘法口訣，完全想不到兩者之間還能有聯系，更不可能提前知道結論，但是不同的色塊卻給了一些啟示。仔細觀察，從里到外，每一層的顏色不同，方塊的個數正好依次是1.3.5、7，加在一起后正好依次變成了2x2、3x3、4x4的正方形。多么生動、多么巧妙的數形結合！學生通過自己的獨立觀察，能驚喜地發現這樣連續相加的單數和平方數之間的聯系，雖然不能從代數上用等差數列公式來進行嚴密推導驗證，但是卻能憑著這種“感覺"堅信自己想的是正確的，也能憑著這種“感覺"得到正確答案，這不正是小學數學“不完全歸納”的價值所在嗎？

（2）在實際計算中比較

很多學生在看完題目后，第一反應就是先通分成同分母分數，再加減。前四道題用這樣的基礎方法還能解決，但是對于第五道算式，再通分就明顯比較麻煩了。這時候學生只能通過前幾道具體的算式，老老實實地先計算出結果，再比較題干的變化與結果的變化以探尋規律。這時候的計算，是真正的計算，而不是假計算、假驗證。

通過計算比較，學生已經感知到結果的規律——分子都比分母少1，分子與分母相乘的得數正好是最后一個分數加數的分母，就很容易填出第五道算式的得數1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42=（6/7）。但是最后一道算式結果怎么填？需要把9900拆成哪兩個數相乘？因為沒有探究到規律背后的道理，所以依舊存在困難是正常的。這就需要學生回到前面的計算過程再探究，發現可以把1/6拆成1/2-1/3，同理，每一個分數加數都可以裂項成分子是1、分母是相鄰的兩個自然數的分數相減，對算式結果的規律自然就能“知其然且知其所以然”了。

（3）在動手操作中思考

在線段的內容中有一道拓展題：

3個點時，學生很容易操作，隨便按照什么順序連接，最終都很容易畫對。但是4個點時，學生的操作過程就開始顯現他們不同的思路：有的是先連外再連內，有的是選定一個點，從一個點出發依次連接。到5個點時，采用前者方法的就開始出現遺漏的情況，采用后者思路的，越畫越有感覺，規律已經若隱若現。到6個點時，學生根據5個點時摸索到的方法，展開“不完全歸納”：一共有6個點，選定1個點，還剩5個點，從這個點出發就可以畫5條線段，再從剩下的5個點中任選一個點，還剩下4個點，從這個點出發可以畫出4條不重復的線段……以比類推，一共有5+4+3+2+1=15條。如果有n個點，那就從n-1開始，每個加數依次減少1，一直加到1為止。學生通過自己動手操作，找得特別有序，講得也挺“在理”。拓展課上的未知內容，給學生提供了真實經歷“不完全歸納”的機會，也給學生帶來了探索發現的無限快樂！

綜上，對未知的探索，才是學生成長的關鍵，因為探索的每一步都必須自己親自邁出，沒有什么現成的結論可以使用，也沒有什么現成的例子可以借鑒，唯有自己動手操作，在操作中思考、發現、設想、驗證，才能得到屬于自己的知識。

（責編 金鈴）