基于類比思想的教學策略與實踐

◎任 玲 （江蘇省邳州市八義集初級中學，江蘇 徐州 221361）

人類總是喜歡比較一些具有相似性質的事物，或者習慣于把取得成功的事物之經驗應用于另一些相似的事物，這就是類比思想．類比思想是初中數學學習階段重要的思想方法之一，也是由特殊到特殊的一種推理思想．具體來說，“所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個（兩類）對象進行比較，根據兩個（兩類）對象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個對象還具有其他的屬性，由此推出另一個對象也具有相似的其他屬性的結論”．

常用的類比思想有降維類比、簡化類比、結構類比、有限類比四種．在初中數學教學中，教師運用這些類比思想組織教學，能提升學生分析與解決問題的能力，利于新知的學習，有助于學生鞏固舊知識，達到溫故知新的效果，更有助于開發學生的智力．所以說類比思想在初中數學中特別重要，它給初中數學的教和學的過程帶來了不容小覷的方便和好處．下面筆者將根據教學實踐談談在初中數學教學中應用類比思想的幾個教學策略．

一、用降維類比思想助力學生解決問題

我們都知道“維數”是線性空間理論里面的概念，即線、面、體分別對應著一維、二維和三維空間．所謂降維類比，就是在研究高維問題時，先思考解決與它類似的低維問題，再解決高維問題．降維類比思想能幫助學生簡化探索問題所運用的知識，降低思考的難度，從而順理成章地獲?。?/p>

課例一：探究“勾股定理的應用”

有這樣一個問題：如圖1，一個圓柱形玻璃杯的高度為16 cm，底面周長為30 cm．一只螞蟻在這個玻璃杯外壁上距離玻璃杯上沿4 cm 的點A 處，它發現與它相對的玻璃杯底部有一滴蜂蜜．這只螞蟻想盡快吃到蜂蜜，求螞蟻從外壁A處到達內壁B 處的最短距離（玻璃厚度忽略不計）．

圖1

我們知道，螞蟻需要從A 處在外壁沿某條路線爬到玻璃杯上沿的某一點，再沿內壁的某條路線爬到B 處，也就是說要求的是這兩段路程之和的最小值．

教師引導：平面圖形中，有一種求解直線上一動點到直線同側的兩點距離之和最小問題的方法，請大家回顧．

我們先來看這樣一個問題：如圖2，一段高速公路a 的同一側有A，B 兩個村莊，要在這段高速公路a 上設一個出口P，使A，B 兩個村莊到P 的距離之和最小，如何設？

圖2

學生回顧并展示解決方法：作點A 關于a 的對稱點A′，連接A′B，則A′B 與a 的交點即為所求的點P．

這時，運用降維類比思想將圓柱的一半側面展開，作點A 關于EF 的對稱點A′，可知A′B 的長度即為所求（如圖3）．

圖3

這是一個在立體圖形中求最短距離的問題，我們運用降維類比思想，將其類比轉化為在平面圖形中求最短距離的問題加以解決．

二、用簡化類比思想幫助學生理清知識點的區別與聯系

簡化類比就是將原問題類比到比原問題更加簡單的類似問題中，即通過類比簡單問題的處理辦法和解題思路，從中獲得啟發，從而尋求待解決問題的解題思路和處理辦法的過程．

課例二：探究“三元一次方程組的解法”

教師提問：怎樣解二元一次方程組？

學生回顧二元一次方程組的解法．

學生發現①式中的5y 和②式中的-5y 互為相反數，故①＋②便可消去未知數y 得到一元一次方程，從而先求出x，再將x 的值代入①求出y，得到方程組的解．

師：解二元一次方程組的關鍵是消元，將二元一次方程組轉化為一元一次方程．

那么，怎樣解下面這個方程組呢？

生：既然二元一次方程組可以通過消元轉化為一元一次方程，那么三元一次方程組也可以通過消元轉化為二元一次方程組．

運用簡化類比思想，將三元一次方程組類比更為簡單的二元一次方程組，從而輕松探究出三元一次方程組的解法．這樣，學生就弄清了三元一次方程組和二元一次方程組的關系，同時認識到二者的解法又是有區別的，教學目標從而順利實現．

三、用結構類比思想促進學生建構知識體系

不是所有的問題都有現成的類比物可供觀察和借鑒，所以上述的類比思想不是萬能的．那么可以應用定義和性質對問題加以類比分析，再借助結構相似性搜尋類比問題，從而將原問題轉化成類比問題加以解決．所以，結構類比思想可以幫助學生自主地形成知識體系，讓學生對知識進行整體把握．

課例三：探究“矩形、菱形、正方形的判定”

教師提問：請大家回憶并交流，平行四邊形的判定條件有哪些？ 這些條件是如何得到的？

學生回顧：根據平行四邊形的邊、角、對角線的性質得出逆命題，經歷比較、猜想、驗證的探究過程，從而得出平行四邊形的判定條件．

教師追問：矩形有哪些性質？

學生：既然平行四邊形的判定條件是根據平行四邊形的性質探究得到的，而矩形又是特殊的平行四邊形，那么也應該根據矩形的性質得出矩形的判定條件．

教師引導，學生為主體，運用結構類比思想探索矩形的判定條件．首先，學生由矩形的性質進行逆向思考：邊、角、對角線滿足什么條件的四邊形才能是矩形？ 然后，學生猜想、嘗試、分析、證明、總結，從而明確矩形的判定條件．

探究“菱形的判定”時，教師先引導學生結構類比矩形的判定條件的探索過程和方法，結合菱形的性質得出菱形的判定條件，最后結構類比矩形和菱形的判定條件的探索過程和方法，進行知識的升華，得出正方形的判定條件．

這樣，運用結構類比思想一步步形成了環環相扣的知識鏈，從而把從平行四邊形到矩形、菱形最后到正方形這一系列知識融合為整體，便于學生準確高效地把握各種平行四邊形的性質和判定．

四、用有限類比思想增強學生的應用意識和開放性思維

當遇到無限的問題時，如曲線，可以先研究類似的有限問題，如直線，再把解決有限問題所用的方法應用到解決無限問題中，這就是有限類比思想．有限類比思想有助于培養學生的開放性思維，增強學生的應用意識．

課例四：探究“反比例函數的圖像和性質”

教師提出：請回憶一次函數的表達式中的自變量和函數值的取值范圍是什么．

學生：自變量x 和函數值y 都可以取任意實數．

教師：一次函數的圖像是什么樣的？ 畫圖像的一般步驟是什么？

在教師的引導下，學生運用有限類比思想提出新的問題：既然一次函數的圖像是直線，也就是說直線是一次函數的圖像，那么曲線是哪種函數的圖像呢？

教師：反比例函數的表達式中的自變量和函數值的取值范圍是什么？ 反比例函數的圖像是什么形狀的？ 如何畫呢？

學生運用有限類比思想進一步發現問題：一次函數的表達式中的自變量和函數值都可以為0，所以一次函數的圖像可以與坐標軸相交．但是反比例函數的表達式中的自變量x≠0，函數值y≠0，所以反比例函數的圖像是曲線，而且不能與坐標軸相交．

教師：畫反比例函數的圖像需要描幾個點呢？

學生運用有限類比思想更進一步發現問題：畫一次函數的圖像時，根據“兩點確定一條直線”只描兩個點便可以準確畫出，但是要想比較準確地畫出反比例函數的圖像就需要多描點．然后學生類比畫一次函數的圖像的步驟，即列表、描點、連線，繪制出反比例函數的圖像．

運用有限類比思想，學生根據一次函數的圖像的有關知識進行拓展延伸，得到反比例函數的圖像的新知．

結 語

綜上所述，類比思想對于初中數學教學有著十分重要的意義．類比思想能讓復雜的問題簡單化，讓抽象的問題具體化，讓分散的知識體系化，可以使學生不滿足已有知識現狀，勇于提出新問題，激發他們的創新意識和應用意識，從而使數學的教與學更加高效，更有價值．