三等分任意角的作法探討

◎蔡長青 （咸豐縣中等職業技術學校，湖北 咸豐 445600）

1979 年的九月，進入咸豐一中學習的第一堂數學課上，滿頭銀發的數學老師文淵不但滿懷激情地介紹了高中三年數學學習的目標和學習方法，還向大家拋出了古代數學的三大難題，即用尺規作圖法求作三等分任意角、化圓為方以及倍立方問題，從此筆者與三等分角問題結下了不解之緣．

三等分角是號稱古希臘三大幾何問題之一，該問題的完整敘述為：只用圓規及一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分．該問題自公元前480 年以來，不少學者進行了長期的探索，甚至不少著名數學家從不同角度論證了用尺規作圖法不可能解決“三等分角”問題，本著吸取前人數學智慧、傳承文明、尊重科學的治學態度，本人就解決使用“尺規作圖法”三等分任意角問題進行了長期的探索，現將偶有所得分享給大家，希望起到拋磚引玉的作用．

一、關于三等分任意角的歷史溯源

1．三等分任意角問題產生的歷史背景

根據歷史記載，公元前480 年，古希臘和當時的波斯國在當時的雅典郊外薩尼克灣展開了一場慘烈的海戰，古希臘大獲全勝，從此雅典作為古希臘的政治、文化、經濟中心逐漸走向繁榮．社會分工逐漸細化，一部分人從繁重的體力勞動中解放出來，出現了專門傳授學問、研究學問的辯論師或稱智者，也就是現代的職業教師．這些人為古希臘文明做出了巨大的貢獻，其中在幾何學上亦留下了三大難題供后人進行研究和探討：

給你一把圓規和直尺（無刻度），經過有限次的步驟，能否：

①對任意角作三等分？

②作已知立方體的二倍體積的立方體圖形？

③作與已給的圓面積相等的正方形？

以上三個問題分別稱為三等分角問題、倍立方問題和化圓為方問題，也稱古希臘三大幾何難題，這些問題看起來很簡單，但是，2400 多年來，不少數學家或數學愛好者為了解決這三個問題，耗費了許多心血，都沒有取得成功．

2．三等分任意角可能無法用“尺規作圖法”求解

1637 年笛卡兒（Rene Descartes，1596—1650）創立了解析幾何學后，有數學家依據解析幾何，認為找到了通過尺規作圖法不能解決三等分任意角問題的依據．

1837 年法國數學家旺策爾（Pierre Laurent Wantzel，1814—1848）首先證明了“倍立方”和“三等分任意角”不可能用尺規作圖解決．

1873 年埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）證明了e 是超越數；1882 年德國數學家林德曼（Lindemann，1852—1939）證明了π 也是超越數，從而“變圓為方”的不可能性也得以確立．

1965 年以前，數學家華羅庚曾寫文章告誡青少年——用直尺和圓規三等分任意角是不可能的，不要為這道難題花費精力．

2001 年華中師范大學數學系的王中華亦在《數學通訊》上發文并證明使用尺規作圖“三等分任意角”是不可能的．

二、 “三等分任意角”仍有研究的價值

1．高中數學教學的需要

為了加強普通高中的數學教學，在新版的《普通高中數學課程標準》中增加了“三等分角與數域擴充”問題，讓三等分角問題真正進入我國高中數學教學領域，有利于擴展學生的數學視野，激發學生的學習興趣，提高學生解決問題、分析問題的能力．

2．可以促進人的數學思維的發展

古希臘的三大幾何難題，幾千年來盡管耗費了歷代數學家不少的心血，但是在解決這類問題的過程中，不僅促進了數學思想的發展，而且在人類其他思想史上亦具有重大意義．

三、預備知識

1．“尺規作圖法”

關于尺規作圖法，以科學出版社出版的《數學大辭典》中的規定為主要參考依據：

尺規作圖法又稱初等幾何作圖法或歐幾里得作圖法．僅用直尺（無刻度）和圓規（兩腳足夠長）兩種工具按照下述步驟進行有限次的組合來完成的幾何作圖方法．

（1）過兩點可畫一條直線（或一條射線），連接兩點成一線段．

（2）延長線段成一條直線或射線．

（3）以定點為圓心定長為半徑可畫圓或圓弧．

2．初等幾何知識

本文涉及的初等幾何知識，我們還是沿用科學出版社出版的《數學大辭典》中的相關論述：

（1）關于角的分類

平角：兩邊組成一條直線的角，或一條射線在平面內繞著它的端點旋轉，轉到和原來位置構成一條直線時所形成的角．1 平角＝180°．

直角：平角的一半，一直角＝90°．

銳角：大于0°小于直角的角．

鈍角：大于直角小于平角的角．

（2）關于三角形和圓的幾個基本知識

等腰三角形的定義及性質：兩邊相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的兩個底角相等．

三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對的弧的度數．

圓周角定理：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．

顯然，同弧所對的圓心角等于圓周角的2 倍．

3．關于圖學的幾點相關知識的說明

（1）圖學是幾何學與行為科學有機結合的綜合性學科．

圖學一開始就是由理論幾何學與行為科學有機構成的．從平面幾何開始，發展到畫法幾何、工程圖、地形圖等，人們在制圖過程中總要依據幾何原理，經過人的科學行為（制圖）表達完成各類制圖工作．

（2）圖學是理論與實踐相結合的科學，圖學允許可逆．無論“同時行為”還是“第三度行為”，都是在允許行為可逆基礎上進行的，行為本身就是四維的運動（時間維、空間維），允許可逆自然是在四維時空中進行的．

四、三等分任意角的作圖方法

以銳角為例，使用“尺規作圖法”三等分任意角的作圖步驟如下：

第1 步：給定任意角∠AOB．

第2 步：作邊OA 的反向延長線OC．

第3 步：以O 點為圓心，R 為半徑長畫⊙O，圓弧與邊OB 交于F 點．

第4 步：在⊙O 上，以E 點為圓心，R 為半徑長畫⊙E，⊙E 與OA 的反向延長線交于D 點，配合使用圓規和直尺，確保圓心E 與D，F 三點在同一直線上．

第5 步：連接OE，最終形成如圖所示的幾何圖形．

需要特別說明的是在作圖過程中，第4 步圓心的確認很關鍵，有可能需要“多次逼近”才能確定．

五、三等分任意角的證明

通過以下兩種方法分別證明前面的作圖方法可以三等分任意角．

方法一：

在⊙E 中，

因為∠ODF 為圓周角，∠OEF 為圓心角

所以∠OEF＝2∠ODF．

因為OE＝OF，

所以△EOF 為等腰三角形，

∠EFO＝∠OEF＝2∠ODF，

∠AOB＝∠ODF＋∠EFO＝3∠ODF，

故有

方法二：

在△DEO 中，因為DE＝OE，

所以△DEO 為等腰三角形，

所以∠ODE＝∠EOD，

∠OEF＝2∠ODE，

因為OE＝OF，

所以△EOF 為等腰三角形，

所以∠EFO＝∠OEF＝2∠ODF，

∠AOB＝∠ODF＋∠EFO＝3∠ODF，

六、結 論

通過以上的作圖和證明，我們有理由認為對“三等分任意角”的作法有革命性的突破．

1．作圖過程中嚴格遵守“尺規作圖法”的要求，且在有限的步驟內準確三等分角．

2．通過初等幾何理論對所作圖形進行了嚴密的證明，結果正確．

3．整個作圖過程符合圖學是理論與實踐相結合的科學觀點：圖學允許可逆，無論“同時行為”還是“第三度行為”，都是在允許行為可逆基礎上進行的．

路曼曼其修遠兮，吾將上下而求索．