數學解題教學中的化歸思想與深度學習

顧文銓

摘? ? 要：數學解題教學中教師要運用化歸思想，達成知識關聯，形成方法遷移，構成思想整合，促進深度學習，培養核心素養.

關鍵詞：核心素養;深度學習;化歸思想

數學解題思想是靈魂，知識模塊是軀體，軀體的驅動需要靈魂的指引.本文以2020年溫州市數學二模卷中一道題的課堂講解為例，嘗試讓學生在化歸思想的引領下，經歷深度學習過程，使學生的解題思想、能力得到有效提升，這樣有利于數學核心素養的提升.

一、化歸思想與深度學習的案例

（一）開門見山，引入化歸，達成知識關聯

化歸思想，其實我們在日常分析問題，解決問題時經常用到，只不過絕大多數情況下我們只是停留在怎么解決所遇到的問題的層次，從而導致我們目光較淺，沒有認識問題實質.所以在解題教學中，教師要讓學生跳出只追求解題結果的局限，能夠高屋建瓴，從解題思想的高度來對待所遇到的問題.

本節課開始，投影打出標題：化歸思想.緊接著給出引例，三例齊出：

（1）5個大學生分配到三個單位，每個單位至少分配一人，有（? ）種分配方法;

（2）5個義工分別到3個社區參加服務，每個社區至少去一個，有（? ）種安排方法;

（3）5本不同的書獎勵給3個同學，每人至少一本，有（? ）種獎勵辦法.

這個時候，我們不再讓學生一個個題目算完，也不需要把這三個題目做完，而是引導學生分析出問題本質都一樣，我們可以將各種情境化歸成我們熟悉的問題.將這個問題串用作本節課的開頭，激發學生的學習興趣，增強其學習的信心.

（二）一題多解，各自化歸，形成方法遷移

在解決問題時，思維受阻則需要我們將其化歸到另外的情形，這種化歸是解決問題的有效策略，也是獲取成功的思維方式.常見的化歸方法有這些：換元變形，將無理式化為有理式，高次化成低次式;特殊和一般的轉化，一般問題特殊化，特殊問題一般化尋求解題思路;主元思想、正難則反等.在一題多解時，將其上升到思想方法的高度.正所謂欲窮千里目，更上一層樓.站在思想的高度，就有統攬全局的魄力和信心.

我們使用化歸思想，總是基于這樣的一個流程：從不熟悉問題到解答中，我們將問題轉化成熟悉的、方便易解的問題，然后解決轉化出的問題，從而解決問題.這里涉及知識的遷移與聯系，和SOLO分類理論不謀而合.

方法溯源：柯西不等式在選修教材中出現幾年，雖然再次退出舞臺，但它的影響仍在.因為本題結構和柯西不等式結構類似，所以我們可以聯想，將其轉化成柯西不等式使用的結構形式，從而達到解題的目的.

（三）方法小結，理解化歸，構成思想整合

以上五種方法，無一例外都用到了化歸的思想.化歸思想在使用過程中，構成思想整合基本原則：①熟悉化原則，將陌生的問題化歸熟悉的問題.比如方法二，經過處理，變成我們非常熟悉的含參二次方程有解，求參數范圍的問題.②簡單化原則，將復雜問題簡單化，通過解決簡單化問題最終達到解決復雜問題的目的.比如方法一，通過換元，將原先看不出具體意義的代數式變成圓的方程，配上后面的直線方程，思路一下清晰.③和諧化原則，通過結構的變換，將其和已知的一些不等式建立一一對應的聯系.比如方法五，我們通過結構的配湊，將其構造成柯西不等式的使用結構，達到妙解的目的.

二、對化歸思想與深度學習的幾點思考

（一）化歸思想教學有效提升學生的數學核心素養

核心素養是個體在解決復雜的現實問題過程中表現出來的綜合性能力，新的課程標準給出數學六個核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析.這六個方面的達成無一不涉及化歸思想，因此，專家認為數學教學核心素養是關聯與化歸[1]?.

運算能力貫穿于學生整個學習生涯，首先知道怎么算，其次需要算出結果.在這個一題多解過程中，針對不同的解法，總是配合相應的復雜程度不一的運算量.正確求解出最后結果，這對學生的運算能力要求很高.一個不動筆的課堂是沒有生氣的，學生在已有思路或者在教師引導下得到解題思路，然后通過一番計算得到最終結果，自身運算能力得到提升，信心得到提升，運算能力這個核心素養最終得到落實.

邏輯推理能力在各個方法的轉化過程中得到訓練.如何將一個問題轉化到另外一個熟悉的問題上去，這里是通過一系列知識的關聯而成的.問題A化歸成問題B，問題B化歸成問題C，有一些定理、公理我們將其轉化.比如這里的方法三：為什么會想到三角換元，這是因為平方和等于常數，條件和這個非常相似，我們才建立起這個聯系，通過換元手段實現知識遷移.

在分析過程中，學生的數學抽象、直觀想象也得到提升.數學核心素養，我們在落實過程中不是單一的，而是很多綜合在一起落實下去，潤物細無聲地落實下去.

（二）學生經歷化歸思想是促進深度學習過程

深度教學是指教師借助一定的活動情境帶領學生超越表層的知識符號學習，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，挖掘知識內涵的豐富價值，完整地實現知識教學對學生的發展價值，是在滿足學生需求的基礎上，對學生潛在學習能力的激發.本節課中，我們通過一題多解，對自身知識體系不斷進行重組提升.從以往的見題解題，解題再解題上升到化歸思想的高度.由以往的數據不同、情境不同導致題目不同的現象得到緩解，學生對于題目類型的歸類能力得到提升，做一題通一類.在化歸思想的指引下，新題、難題在固有知識的組合分解下，為我們的求解提供了可能.比如方法三，在該視角下，已知一個二元等式，求一元線性目標式最值，我們都可以借助于判別式法這個通法來處理.掌握好一次式設t，帶入消元，得到二次含參方程，利用判別式求解參數范圍，即目標式范圍.這樣我們就撇去數據的不同、代表元的不同，從根本上認識此類問題.

（三）深度學習提升學生高階思維水平

本節課主題化歸思想，題目難度屬于SOLO分類層次理論中的關聯結構水平，是一種高階思維.SOLO分類層次是從簡單到復雜、從具體到抽象的思維結構.思維結構由低到高依次為前結構水平（P）、單點結構水平（U）、多點結構水平（M）、關聯結構水平（R）和抽象拓展結構水平（E）.解決此類問題需要我們能夠將設定的情境或已經經歷過的范圍內利用相關知識進行概括.而我們的深度學習，也恰恰就是抓住問題本質，不同的知識點進行交匯，建立起聯系從而達到解決問題的目的.這里的一題多解，每一個方法對應都是一個知識點，然后我們將它應用到這個具體問題中來.解決問題是深度學習的最終目的，我們教師在課堂上要多給學生創造機會，讓其完成自身的知識積累.

解題數學，不能全部以應試、做題為主，不僅要重視培養能力和講授知識，更加要注意育人，力求通過具體的教學過程，讓學生形成正確價值觀念促進其全面發展.不僅要授之以魚，更要授之以漁.通過深度學習，進一步落實數學核心素養，構建其知識體系，加深其對知識的理解，提高其知識加工的能力，把零散的、碎片化的知識模塊有機地組合到一起，多打磨，多推敲，讓數學解題教學彰顯獨特的教學風格.

參考文獻：

[1]朱培培.數學課堂教學引入部分的關聯與化歸——以圓的概念引入為例[J].教學月刊·中學版（教學參考），2018（4）：20.