例談幾何畫板在圓的軌跡問題中的應用

蘭州市第五十一中學

圓的軌跡問題是高中數學中學生較難理解的一種問題類型.在以往的教學中，教師習慣于告訴學生“死”的結論，讓學生在記憶的基礎之上進行運用.學生由于缺乏“動”的直觀感受，對此類問題往往一知半解，缺乏深入認同和深刻理解.本文以圓的方程一章中的軌跡問題為例，采用幾何畫板演示的方法，加深學生的直觀印象，并通過變式訓練，讓學生徹底掌握圓的軌跡問題的求解方法，并能靈活運用.

1.直接法

例1平面中已知線段AB，且| |AB＝4，若動點P滿足，求動點P的軌跡方程.

問題分析：直接法求解軌跡方程的基本步驟是：建系、設點、列式、化簡、說明.其中建系、設點是描述軌跡問題的必然之路.此題若以AB為x軸、AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，可以化簡運算，降低解題難度.

代數求解：以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系（圖略），則點A（-2，0），點B（2，0）.設動點P（x，y）.由 條 件可知：，化簡得P點的軌跡方程為：

幾何優化：代數法直接的求解過程很難讓學生完全建立起對此類問題軌跡為圓的認知，而且圓心的偏移也讓學生想象起來有一定的難度.利用幾何畫板動態演示，則很形象地說明P點的軌跡為圓.

圖1

變式1：坐標系中已知線段AB的端點坐標分別為：A（-1，-1），B（2，2），若動點P滿足，求動點P的軌跡方程.

問題分析：此問題已經在具體的坐標系中給定特定的點，難點在于這兩點都不在坐標軸上，所以求得圓的方程會更具一般化.但仍然可以通過代數法進行求解，利用幾何法進行優化［1］.

代數求解 ：設動點P（x，y）.由條件可知 ：3，化簡，得P點的軌跡方程為：

圖2

2.定義法

例2已知直線l∶y＝k（x-4）與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點，當k變動時，求AB中點P的軌跡方程.

問題分析：定義法是利用圓的定義，即到定點的距離等于定長，判斷出軌跡為圓.然后利用幾何關系進行代數求解.本題不難發現OP、CP、OC三邊長滿足勾股定理，易得圓的方程.

代數求解：直線l∶y＝k（x-4）恒過點C（4，0），設中點P的坐標為（x，y），連接OP，易知OP⊥AB，則有OP2+CP2＝OC2，即x2+y2+（x-4）2+y2＝16，化簡得：（x-2）2+y2＝4，再由中點P在圓O內部，可知x2+y2＜4.

幾何優化：一些學生對此類問題的幾何特征挖掘較為困難，原因是對于動態的問題在腦海中把握不變的本質［3］.本題若采用幾何畫板演示，學生不難發現當k變動時，PD的長度保持不變（直角三角形斜邊上的中線始終是斜邊的一半），所以P點的軌跡必然為圓.容易看到，P點在圓O外部時，沒有軌跡.

圖3

變式2：已知線段AB的長度為4，且端點A、B分別在x軸、y軸上移動，求線段AB的中點P的軌跡方程.

問題分析：本題的難點仍然在于對P點的軌跡為圓的挖掘.在代數求解過程中，則可以利用兩點間的中點公式以及距離公式進行轉化求解.

代數求解：設P點的坐標為（x，y），A點的坐標為（x0，0），B點的坐標為（0，y0）.由|AB|=4得，化簡得：由中點坐標公式可得：x＝2x0，y＝2y0.代入得P點軌跡為：x2+y2＝4.

幾何優化：采用幾何畫板將更為直觀地看到：除線段AB同在x軸、y軸兩種特殊情況外，A、B點均能和坐標圓點O構成直角三角形.0P作為斜邊上的中線，始終保持長度為2，軌跡方程為x2+y2＝4.當A、B同在x軸或y軸上時，P點坐標仍滿足上式.

圖4

3.相關點法

例3 已知線段AB的中點P（2，2），點A在圓O：x2+y2＝4上移動，求線段AB的端點B的軌跡方程.

問題分析：此類問題是線段的中點確定，一個端點隨著圓上的另一個端點移動.采用代數法求解應尋找相關點之間的聯系，從而建立方程.此題中主要用到的是中點公式.

求解過程：設P點的坐標為（x，y），A點的坐標為（x0，y0），由中點坐標公式可知：x0＝4-x，y0＝4-y.代入圓的方程可得：（4-x）2+（4-y）2＝4.化簡可得：（x-4）2+（y-4）2＝4.

優化策略：本題中相關點的運動，用幾何畫板進行動態演示，可以形象地展示出B點的軌跡為圓.該圓的方程也可以用特殊位置求解.即連接OB兩點，根據圖象不難求得軌跡圓的圓心為（4，4），半徑為2.

圖5

變式3：已知線段AB的端點B（4，4），點A在圓O：x2+y2＝4上移動，求線段AB中點P的軌跡方程.

問題分析：本題改變條件，變為線段的一個端點確定，另一個端點在圓上運動，求隨之引起的中點變化軌跡.仍然可以利用上述代數方法求解.

求解過程：設P點的坐標為（x，y），A點的坐標為（x0，y0），由中點坐標公式可知：x0＝2x-4，y0＝2y-4.代入圓的方程可得：（2x-4）2+（2y-4）2＝4.化簡可得：（x-2）2+（y-2）2＝1.

優化策略：本題中相關點的運動，用幾何畫板進行動態演示，可以形象地展示出P點的軌跡為圓.該圓的方程也可以用特殊位置求解.即連接OB兩點，根據圖象不難求得軌跡圓的圓心為（2，2），半徑為1.

圖6

總之，圓的軌跡問題是高中數學中的重要內容，是綜合性較強的問題，主要考查學生動態思維能力和圖象感知能力.在此類問題的教學中，教師應避免灌輸式地講授，直接告訴學生“死”的規律和方法，而應該用動態演示的方法，讓學生直觀感知到知識內在的原理.通過幾何畫板的演示，可以較為容易地實現培養學生動態思維能力的目標，從而讓學生提煉方法，把握運動本質，真正做到舉一反三.