高中數(shù)學解題中等價轉(zhuǎn)化思想的應用研究

江海波

摘 要：解答高中數(shù)學習題時，引導學生運用一些解題思想，可使其少走彎路，快速得出正確結果，促進學生解題能力的提升.其中等價轉(zhuǎn)化思想在解答數(shù)學習題中較為常用.為提高學生應用該思想的意識與能力，授課中既要注重講解該思想的一些理論知識，又要講解相關例題，給其更好的應用于解題中提供參考.

關鍵詞：高中數(shù)學;等價轉(zhuǎn)化思想;應用;研究

等價轉(zhuǎn)化思想是指運用所學知識將原來難度大，不易解答的問題轉(zhuǎn)化為難度小，方便解答問題的一種思想.高中數(shù)學解題中應用的等價轉(zhuǎn)化思想分類較多，主要包括等體積轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、方程根與圖象交點的轉(zhuǎn)化等.為保證解題的正確性，轉(zhuǎn)化后不能改變問題的本質(zhì).

一、等體積轉(zhuǎn)化的應用

等體積轉(zhuǎn)化在高中數(shù)學立體幾何習題中較為常用.該類轉(zhuǎn)化思想的應用難度并不大，應用時應把握“等體積”這一關鍵.授課中為提高學生應用該等價轉(zhuǎn)化思想解題的意識，應為學生總結該思想能夠解答的問題，包括幾何體的體積、點到面的距離、幾何體某一面的面積等.另外，在課堂上講解相關例題，使學生體會轉(zhuǎn)化的具體過程，更好地消化、吸收這一重要的轉(zhuǎn)化思想.同時，思考該思想適用的題型，遇到類似題型，及時找到解題思路，少走解題彎路.

例1 如圖1，在棱長為1的正方體

ABCD-A1B1C1D1中，AA1和B1C上分別存在E、F兩點，則三棱錐D1-EDF的體積為（）.

A.1B.12

C.14D.16

該題難度并不大，關鍵在于找到正確的解題思路.因E、F兩點在AA1和B1C上的具體位置未知，因此，采用直接法難于求解.此時可考慮等體積轉(zhuǎn)化法求解，即借助VD1-EDF=VF-EDD1進行解答.

由圖不難得出S△EDD1=12×D1D×AD=12.而點F到面EDD1的距離為AB=1，則VF-EDD1=13×S△EDD1×AB=13×12×1=16.D為正確選項.

應用等體積轉(zhuǎn)化思想解答數(shù)學習題時應具備靈活的頭腦，既要能夠從整體上把握題干，又要充分挖掘隱含條件，做好巧妙的轉(zhuǎn)化，降低解題難度.正如上題之所以將三棱錐置于正方體之中，實則間接地告知學生點F和底面EDD1的距離為1.

二、正與反轉(zhuǎn)化的應用

正與反的轉(zhuǎn)化屬于等價轉(zhuǎn)化的一種，在高中數(shù)學解題中應用范圍較廣，既可用于解答集合習題，又可用于解答函數(shù)、概率等問題.為使學生感受到正與反轉(zhuǎn)化在解題中的簡便之處，應結合學生所學做好相關例題的講解，給其以后應用于解題中帶來良好啟發(fā).同時，鼓勵學生多做訓練，能夠根據(jù)問題的正面，準確地找到其反面，如此才能保證轉(zhuǎn)化后解題結果的正確性.

例2 已知m∈R，已知命題P：|m-5|≤3.命題Q：函數(shù)f（x）=3x2+2mx+m+43有兩個不同的零點，求使命題“P或Q”為真命題的實數(shù)m的取值范圍.

命題“P或Q”為真命題存在三種情況，討論起來較為麻煩，容易出錯，因此可將其轉(zhuǎn)化成命題的反面，得出結果取反，則能在保證結果正確的基礎上大大提高解題效率.

針對命題P不難求出m的取值范圍為：2≤m≤8.命題Q中要想滿足函數(shù)f（x）=3x2+2mx+m+43有兩個不同的零點，則應滿足Δ=4m2-4×3×（m+43）>0，得到m>4或m<-1.當兩個命題均為假，則滿足m<2或m>8，-1≤m≤4，得到-1≤m<2，則滿足題意的m的取值范圍應為（-∞，-1）∪[2，+∞）.

運用正與反轉(zhuǎn)化解答有關命題的習題時應具體情況具體分析，思考從正面解答是否進行分類討論.如需要考慮的情況較多則應進行轉(zhuǎn)化，從反面入手解答即可，應用中不可思維定勢，生搬硬套.

三、方程根與圖象交點轉(zhuǎn)化的應用

方程的根與函數(shù)圖象交點關系密切，將兩者進行轉(zhuǎn)化在解題中較為常見.為使學生掌握相關的轉(zhuǎn)化思路，靈活應用于解題中，授課中講解轉(zhuǎn)化的注意事項，對方程進行適當?shù)囊祈棧业絻蓚€函數(shù).同時，繪制函數(shù)圖象前應充分挖掘題設隱含條件，找到準確的定義域范圍，保證函數(shù)圖象繪制的正確性.另外，結合具體的問題情境，為學生講解方程根與函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化的具體應用，使其通過聽講，準確把握轉(zhuǎn)化的一些細節(jié).

根據(jù)經(jīng)驗求解方程根的個數(shù)通常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點問題.題目中f（x）為分段函數(shù)，而g（x）函數(shù)并未直接給出，因此，解題的關鍵在于確定函數(shù)g（x）表達式以及繪制函數(shù)圖象上.

圖2根據(jù)函數(shù)f（x）的表達式求出函數(shù)g（x）的表達式.當2-x≤2，即當x≥0時，g（x）=3-（2-|2-x|）=|x-2|+1.當2-x>2，即x<0時，g（x）=3-（2-x-2）2=-x2+3.在同一平面直角坐標系中繪制出兩個函數(shù)的圖象，如圖2所示，兩個函數(shù)圖象的交點為兩個，對應f（x）-g（x）=0根的個數(shù)為2個.

運用方程根與函數(shù)圖象交點轉(zhuǎn)化思想解題時，先不要急于動筆，應認真觀察，將原方程拆分成熟悉的函數(shù)，或確定未知函數(shù)的表達式，而后根據(jù)所學繪制函數(shù)圖象，找到函數(shù)交點問題也就迎刃而解.

等價轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的重要思想之一.為使學生牢固掌握該思想，靈活用于解題中，授課中應做好常用等價轉(zhuǎn)化思想的匯總與相關知識的講解，并結合例題講解其具體應用，給學生更好的應用于解題中帶來良好的示范，使其把握該思想在解題中的應用關鍵.

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[責任編輯：李 璟]