基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“深度學習”教學實踐

曹洪章 郭懷玉

摘 要：本文基于數(shù)學核心素養(yǎng)的深度學習理論，對《余弦定理》一節(jié)課的教學設(shè)計進行探究，做了一堂基于數(shù)學核心素養(yǎng)的深度學習的教學設(shè)計實踐，談?wù)勅绾芜\用此觀點對《余弦定理》這一節(jié)課進行變革，體現(xiàn)新課標理念。

關(guān)鍵詞：深度學習;數(shù)學核心素養(yǎng);余弦定理

一、深度學習概述

深度學習是機器學習研究中的一個新的領(lǐng)域，其動機在于建立、模擬人腦進行分析學習的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它模仿人腦的機制來解釋數(shù)據(jù)，例如圖像、聲音和文本。深度學習（Deep learning）是美國學者Ference Marton和Roger Saljo在1976年基于大學生對于文本閱讀學習結(jié)果的研究提出的概念，但是國內(nèi)對深度學習的研究起步較晚。2005年黎加厚教授在促進學生深度學習的著作中，首次提出了深度學習的概念。深度學習通過組合低層特征形成更加抽象的高層表示屬性類別或特征，以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布式特征表示。在此之后國內(nèi)研究者，開始關(guān)注深度學習。隨著研究的不斷深入，許多與深度學習關(guān)聯(lián)的研究也開始出現(xiàn)。如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學習過程，課堂教學等。對深度學習的跨學科研究也得到飛速的發(fā)展，如教育學，數(shù)學等學科領(lǐng)域衍生出不同層次的深度學習研究。

基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“深度學習”是指學習者運用高階思維將所學的知識和技能應(yīng)用到新的復(fù)雜情境，逐步形成正確的價值觀和必備品格的認知過程。深度學習是無監(jiān)督學習的一種。學習是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學習，為理解而教，為理解而學，追求建立個性化的有遷移功能的認知結(jié)構(gòu)。本文以余弦定理的一節(jié)教學設(shè)計為實例，開展基于數(shù)學核心素養(yǎng)的深度學習的一次教學實例活動。

二、以《余弦定理》教學設(shè)計為例，基于核心素養(yǎng)的“深度學習”研究

（一）基本背景

余弦定理是人教A版必修5《1.1.2余弦定理》的學習內(nèi)容，是繼正弦定理后學習的一個重要的解三角形定理。該定理實現(xiàn)了邊角的互化，為解決可轉(zhuǎn)化的三角形計算問題提供了重要的理論工具。學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的認識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎(chǔ)和學習興趣。但是學生應(yīng)用數(shù)學知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，分析與解決問題能力不強，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度。我們從具體問題引入，從感性認識到理性認識，從特例抽象出數(shù)學的本質(zhì)，應(yīng)用方程思想去審視、解決實踐問題是學生學習的難點。

深度學習是學生自發(fā)自主地學習，而不是課堂上老師滿堂灌的教，深度學習并不是對昨天課堂的顛覆，而是改進，希望課堂少些學生學習表面的熱鬧，多些能力的成長，特別是思維深度、密度和廣度的增加。

結(jié)合《余弦定理》這節(jié)課，核心素養(yǎng)又有哪些呢？這節(jié)課的根本問題是三角形中幾何元素間的關(guān)系，是探究規(guī)律的思維，是需要幾何直觀形象的發(fā)現(xiàn)和邏輯演繹的嚴密證明。《余弦定理》需要創(chuàng)設(shè)怎樣的情境，通過什么樣的思維活動才能把數(shù)學知識通過數(shù)學活動轉(zhuǎn)化為數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展學生的理性思維（特別是邏輯思維），使學生學會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考，學會使用數(shù)學語言表達與交流，成為善于分析問題和解決問題的人才，在數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程中，培養(yǎng)學生的理性思維，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，以達立德樹人之目的，是這節(jié)數(shù)學課程的主要任務(wù)。

（二）設(shè)計過程

1.創(chuàng)設(shè)新情境，激發(fā)求知欲

基于數(shù)學核心素養(yǎng)的立德樹人目標，容易超出學生現(xiàn)有的知識水平，處于最近發(fā)展區(qū)之外，學生易出現(xiàn)思維斷層，也不利于高級思維的培養(yǎng)。顯而易見，學生還停留在較淺層次的學習程度上。故做如下的教學設(shè)計：聯(lián)系舊知，明確學習意義;復(fù)習舊知。聯(lián)系是教學的第一環(huán)節(jié)，解決為什么學習的問題，目的是讓學生將舊知或經(jīng)驗與新知相聯(lián)系，找到新知的價值，明確學習的意義，產(chǎn)生學習的欲望。

教學實錄片段1：

師：（1）兩個三角形全等的判斷方法是什么？

（2）三角形的正弦定理內(nèi)容 ，主要解決哪幾類問題的三角形？

生：，，，，.

生：兩角一邊，兩邊一對角。（角角邊;兩邊和對角）

師：給予及時的鼓勵和表揚。

點評：回顧舊知，讓新知識建立在舊知之上，研究思路、方法一致，運用類比思想，遵循認知規(guī)律！類比思想才是深度學習的內(nèi)容，學的既不是知識，也不是技巧、技術(shù)，而是思想。

師：你能判斷下列三角形的形狀嗎？

（3）以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形

以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形

以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

（4）在△ABC中，，，你能求邊長嗎？

生1：第一個是直角三角形，勾三股四弦五呀，后兩個我猜可能是銳角三角形和鈍角三角形。

生2：應(yīng)該說第二個是鈍角三角形，第三個是鈍角三角形，可以看出來。

師：判斷的依據(jù)和原因是什么呢？

生3：以最大邊為直徑畫圓，如果第三個頂點在圓內(nèi)就是鈍角三角形，如果在圓外就是銳角三角形。

師：你的直觀想象能力很強，幾何直觀能力超強，邏輯思維也很好。

生：老師我發(fā)現(xiàn)： ，說明，三邊為3，4，5時該式為零，從而判斷是直角三角形，越大這個值就會大于0，就是銳角三角形，反之是鈍角三角形。

師：你回答的真棒，你的觀察力很強，總結(jié)概況能力很棒。你能從特殊看到一般，還會用式子表達出證明，說明你的觀察能力和發(fā)現(xiàn)問題能力很強，你的數(shù)學素養(yǎng)很高，尤其是用數(shù)學語言表達能力很強。

生：老師用來判斷是銳角還是鈍角，太容易了。

師：你有著良好的學習習慣，提前預(yù)習了本節(jié)課，已經(jīng)掌握了一把殺牛刀，不少同學和你用的方法一樣，恭喜你們。這恰恰就是我們今天要講的重點內(nèi)容，你們已經(jīng)初入門徑了。

生：，老師對不？

師：對，給你點贊，這就是我們要學習的余弦定理，那誰還能發(fā)現(xiàn)類似正余弦定理的關(guān)系呢？

點評：教師從幾何畫板引入問題，讓學生對新的環(huán)境有新的求知欲望，激發(fā)了學生的學習興趣，使學生積極嘗試在新環(huán)境新情境中發(fā)現(xiàn)問題。數(shù)形結(jié)合思想滲透，幫助學生分析相關(guān)內(nèi)容，從感性入手，從特殊到一般，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗認知，遵循學生的認知規(guī)律。這種觀點下的引導(dǎo)和創(chuàng)設(shè)問題情境，就是一種深度學習。問題是開放的，可以動手畫圖感知，可以猜想再驗證，可以算出等等。余弦定理要解決的兩類問題，“邊邊邊”和“邊角邊”兩類問題，拋出問題之后，組織學生討論，教師在下面巡視，觀察學生的求解過程。在學生積極參與探究活動的過程中，學生可能發(fā)現(xiàn)到的等量關(guān)系或者不等量關(guān)系如下：， ，，

等，引導(dǎo)學生進行發(fā)散性、開放性思維，從相關(guān)知識入手，選擇簡潔的工具。積極嘗試創(chuàng)新型思維培養(yǎng)的教學活動，重要的不是結(jié)果而是過程，實踐結(jié)果往往令課堂有意外收獲或驚喜，發(fā)現(xiàn)問題往往比解決問題更重要。

生：老師，我知道三角形內(nèi)角和是.

生：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

生：還有面積公式。

師：同學們回答的都很好，這些都是關(guān)系，數(shù)學就是研究幾何元素之間等量或不等量關(guān)系的，那我們今天學習的《余弦定理》就是一種三角形六個元素間的一種等量關(guān)系，大家首先感知了余弦定理，下面誰有好的方法去證明一下你的發(fā)現(xiàn)《余弦定理》呢？

點評：在教師開放性的問題引導(dǎo)下，學生可能從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的積極討論，這就是基于數(shù)學核心素養(yǎng)下的深度學習。它兼有了高觀點，同時情境又貼合學生實際，能引發(fā)學生共鳴，讓學生自己表達自己的思想，學會用數(shù)學觀點去觀察世界，學會用數(shù)學思想去思考世界，學會用數(shù)學語言來表達世界。教師知識提供創(chuàng)設(shè)的情境，并提供時間給學生創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}，這就讓學生思維的廣度和密度得到了訓練。

2.創(chuàng)設(shè)思維活動，開展深度學習

誰有好的方法去證明一下你的發(fā)現(xiàn)《余弦定理》呢？在這樣的開放性問題提出后，大多數(shù)學生都有躍躍欲試的狀態(tài)。利用類比思想想象，嘗試理解新知。“直觀想象”是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，解決“為什么”問題，目的是使學生充分發(fā)揮想象，通過類比、聯(lián)系的方式探索新知，進一步步理解新知。這一環(huán)節(jié)主要采用小組合作探究的方式進行教學，教師通過提問的方式進行引導(dǎo)。

教學實錄片段2：

師：誰有好的方法去證明一下你的發(fā)現(xiàn)《余弦定理》呢？

點評：向量法、幾何法、解析法等方法不限，學生思維空間很大，學生進行深度學習的舞臺就很大。為了比較各組成果優(yōu)劣，鼓勵各組可以用不同的方法板書展示，分組開展探究活動，教師在下面巡視和學生討論時可以進行適當?shù)囊龑?dǎo)、提示。

一組：向量法。

二組：幾何法。

三組：坐標法。

以C點為坐標原點，CA為x軸建立平面直角坐標系，則，.

師：這三種是比較有代表性的解法，還有其它方法有興趣的同學課下可以接著研究，下面誰能有合適的語言表達出余弦定理呢？并說明能解決哪類問題。

用文字語言表示是：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，可以解決兩邊和夾角的問題。

生：還可以變式為：解決三邊求角的問題。

點評：同學間的講解、提示、補充，既有傾聽思考，又有理解表達，幫助學生從主觀想象走向客觀知識，促使學生獲得新知，豐富自身的知識結(jié)構(gòu)，這些正是體現(xiàn)了新課標讓學生達到“三會”目標。找到適合自己知識結(jié)構(gòu)的解法，課堂頓時變得十分熱鬧，經(jīng)過激烈的討論，學生最終達到以下共識：思想決定思路。思維的層次、廣度和密度得以體現(xiàn)。

突破本題的關(guān)鍵在于借助轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學思想對邊角關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，為達成共識需要注意具體轉(zhuǎn)化的策略，學生主要有三種代表性的建議。一是向量法，將第三邊c利用向量差的運算轉(zhuǎn)化為另兩邊的關(guān)系;二是幾何法，利用勾股定理，將斜邊轉(zhuǎn)化為直角邊;三是坐標法，將三角問題轉(zhuǎn)化成圖象，借助于坐標化求距離。

3.學以致用，應(yīng)用新知

教學的第三個環(huán)節(jié)，屬于“怎么辦”問題，應(yīng)用掌握新知，目的是讓學生通過練習操作，學會運用所學的新知和技能解決問題，將課本知識轉(zhuǎn)化成個人技能。經(jīng)過前面環(huán)節(jié)的學習，學生對余弦定理已經(jīng)有了比較全面的理解，接下來還需要進一步對余弦定理進行應(yīng)用和掌握。首先，教師布置如下習題：

例1 在△ABC中，已知 ，求解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）.

例2 在△ABC中，已知 ，解三角形（角度精確到1′）.

點評：應(yīng)用數(shù)學知識求解問題，例題1解決了課堂引入時提出的問題（4），用筆算解題，例題2加強計算器的運算訓練，同時，鞏固好余弦定理相關(guān)知識，體會所學知識和方法在解三角形中的簡單應(yīng)用。

例3 已知△ABC中 求c邊長。

點評：①本題可用正弦定理分析引導(dǎo);②也可應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于c的方程求解。③比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題也可以用余弦定理解決，具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是設(shè)元的方程思想求解問題，并讓學生初步發(fā)現(xiàn)“邊邊角”問題解法，為下面學習做輔墊。基于數(shù)學核心素養(yǎng)的深度學習，重要的是學生學會思考、善于思考，讓學生獨立解答;接著，有針對性地請兩名學生展示解題過程，這兩名學生分別利用正弦定理和余弦定理來解答;通過比較兩種不同的解法，讓學生領(lǐng)悟運用余弦定理解題的優(yōu)越性，同時也能感受到兩個定理在解三角形問題中的利與弊。學生思維得到碰撞，嘗試批判性思維。

4.課堂練習檢測，延伸擴展新知

課堂檢測是教學的第四個環(huán)節(jié)，由教師提供具有典型性問題對學生進行檢測和反饋，讓學生靈活運用已有的知識和技能進行思考與運用，從而延伸和拓展所學的知識，掌握知識的本質(zhì)。

檢測1 銳角△ABC中則取值為（ ）

檢測2 在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若 呢？

點評：第1題符合多想少算的理念，第2題進行變式訓練。用檢測去鞏固所學知識，使學生逐步形成良好的知識結(jié)構(gòu)，提升學生數(shù)學知識應(yīng)用能力。根據(jù)分層教學的需要，可適度調(diào)整此練習檢測或留作課下作業(yè)或課堂測試。

5.歸納總結(jié)反思，交流分享成果

“歸納總結(jié)反思”是教學的最后一個環(huán)節(jié)，目的是讓學生充分展示自己的收獲與反思，在分享和交流過程中達到融會貫通。在這一環(huán)節(jié)中，教師要營造活躍的交流和分享氛圍，讓小組派代表或?qū)W生個人展示和分享自己的收獲，其他學生可進行補充

和點評，教師充當鼓勵者和評價者，對學生的交流和分享進行點評和補充，并以知識結(jié)構(gòu)圖和思維導(dǎo)圖等形式呈現(xiàn)出來的為目的。將學習風格與教學設(shè)計有機結(jié)合，充分關(guān)注和尊重學生的個體差異。基于核心素養(yǎng)的深度學習模式的教學設(shè)計具有目標明確、步驟具體、思路清晰、循序漸進的特點。在教學過程中，師生角色分明，任務(wù)清晰，活動有序。

通過知識回顧，使學生各自體會收獲，養(yǎng)成學生每日反省自身的良好習慣，讓學生因每天能得到進步而自信。在本課的教學設(shè)計中抓住前后知識的聯(lián)系，重視數(shù)學思想的教學，加深對數(shù)學概念本質(zhì)的理解，認識數(shù)學與實際的聯(lián)系，使學生學會應(yīng)用數(shù)學知識和方法解決一些實際問題。學生應(yīng)用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導(dǎo)，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立良好的知識結(jié)構(gòu)。將基于核心素養(yǎng)的深度學習模式應(yīng)用于實際課堂，能有效地提高學生學習的主動性和感悟新知的能動性，是一種值得不斷改進和優(yōu)化的教學模式。

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