2020年高考“平面向量”專題解題分析

陳利民

摘 ?要：平面向量兼具“數”與“形”的雙重特性，是溝通代數與幾何的重要工具，形成了自身獨特的知識體系和思想方法體系. 文章通過對2020年高考數學試卷中向量試題的分析，明確考什么、怎么考，進而對向量復習提出建議.

關鍵詞：2020年高考;平面向量;幾何背景;知識體系

向量是近代數學最重要和基本的數學概念之一，是高中生必須理解和掌握的數學概念. 向量具有大小和方向兩個特征，兼具“數”與“形”的雙重特性，是溝通代數與幾何的重要工具，形成了自身獨特的知識體系和思想方法體系. 學習掌握好向量知識的關鍵在于要求學生在理解掌握向量基本概念、基本運算的基礎上，必須充分理解向量豐富的實際背景和幾何背景，綜合運用代數方法和幾何方法，在解決一些與物理、數學有關的實際問題中發展數學學科核心素養，提升數學運算能力和綜合分析思維能力.

2020年高考數學試卷對向量內容的考查整體呈現平穩有序、題量適中、難度適當的特點. 重點考查向量的基本概念、基本定理、加減法、數量積運算等核心知識，特別是從數形結合的角度考查向量的代數特性和幾何特性，通過建立坐標系，實現代數方法（坐標運算）與幾何直觀（向量運算）的完美融合. 2020年高考向量試題從較高的要求上考查了向量與函數最值、不等式、數列的關系，體現了高考在知識交會點命題的特點. 總體來說，試題表述簡明扼要、背景豐富，較好地考查了學生對向量內容的理解和掌握情況.

一、一覽眾山小

分析梳理2020年高考數學試卷，對向量內容的考查在試題分布、分值比重、難易程度方面統計如下表所示.

從上表可以看出，2020年高考所有數學試卷都對向量內容進行了考查. 在命題的數量上控制合理，基本上都是一道選擇題或一道填空題，分值為4分或5分，部分試題（如全國Ⅰ卷文科第21題、江蘇卷第18題、上海卷第20題）在解析幾何解答題的題干或者問題求解中涉及向量表述，充分體現了向量的工具性特性.

從試題的難度來看，全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷和北京卷對向量問題的考查側重基礎知識與基本運用，試題以中等題和容易題為主，而上海卷、浙江卷、江蘇卷、天津卷則對向量問題的考查要求較高，需要運用向量的基礎知識，結合幾何背景，或與函數和不等式聯系，綜合運用數學知識解決問題，體現了較高的數學素養要求.

從試題的知識點分布來看，對平面向量的考查幾乎涵蓋了向量所有重要的知識點，包括向量的概念、向量共線定理、平面向量基本定理、向量的數量積運算、向量平行與垂直、向量夾角問題等，江蘇卷、浙江卷和上海卷對綜合運用向量知識解決問題的要求較高，綜合考查學生對向量的幾何背景、數量積運算、向量與三角形、向量與函數和不等式結合理解與掌握的程度.

二、上下而求索

1. 重視考查平面向量的基本概念和運算

平面向量的概念和基本運算構成了向量知識體系的主干，包括平面向量共線定理、平面向量基本定理、平面向量數乘運算、向量數量積運算等，特別是與數量積運算有關的長度問題、平行問題、垂直問題、夾角問題更是歷年高考考查的重點，解決這類問題的關鍵是熟練掌握基本概念與公式，在具體情境中合理選擇運算方法，對學生的運算能力有一定要求.

該題有一定難度，綜合考查平面向量知識的應用、余弦定理的應用，以及數學運算能力. 解答該題的關鍵是根據[P，A，D]三點共線的條件設出[PA=λPD][λ>0]，然后結合題設條件求出[λ]的值，再利用解三角形知識中的余弦定理解決問題.

三、策略相輝映

平面向量是高中數學的重要概念之一，是溝通代數與幾何的重要工具和橋梁，是高考必考內容之一. 高考考什么、如何考，直接影響著中學教什么、如何教. 2020年高考向量試題在向量的核心知識點上命題，一些試題源于教材又高于教材，重點考查向量問題的一般處理方法. 因此，對于高三階段的向量復習，教師應當幫助學生追本溯源，構建向量知識結構體系;引導學生緊追“數”和“形”兩條主線，重視向量的幾何背景;倡導學生舉一反三，形成解決向量問題的一般思路.

1. 追本溯源，理清向量知識結構體系

概念、定理與運算法則是知識運用的前提，如果沒有對主干知識的理解，那么對向量體系的掌握也就無從談起. 因此，在高三向量復習中，教師的首要任務就是幫助學生梳理、建構向量的主干知識體系，明晰向量的概念和兩個定理，熟練掌握向量數量積的運算及其幾何意義，掌握向量平行、垂直的數量表示，掌握與長度、角度有關的運算技巧及坐標運算等核心知識.

2. 數形結合，充分重視向量的幾何背景

向量具有大小和方向，具有數與形兩方面的特征. 從核心知識點來說，向量服從平行四邊形法則和三角形法則，具有明顯的幾何特征，向量的數量積運算也具有幾何特征，特別在平行與垂直、長度與角度運算中起到紐帶作用. 因此，復習中要特別重視數形結合思想. 例如，三角形四心問題的向量表述務必引導學生在理解的基礎上掌握. 教師要通過典型例題，引導學生明晰諸如三點共線的充要條件、距離為定長引發的圓、極化恒等式、絕對值三角不等式、阿波羅尼斯圓等常見模式，掌握這些常見模式應用的前提條件，引導學生既要善于轉化圖形關系，把向量問題幾何化，使問題簡潔直觀，又要把幾何問題向量化，通過平面向量運算解決一類幾何問題. 數形結合、類比聯想是解題的核心思想.

3. 舉一反三，初步形成問題解決思路

在知識體系構建、數學思想方法提煉的基礎上，教師要善于收集、整理近幾年高考試題和各地模擬試題中的典型問題，引導學生通過舉一反三進行重點強化訓練，逐步形成解決向量問題的一般思路. 例如，幾何直觀相對明確的問題，要盡可能理解其幾何背景，挖掘出其幾何意義，使問題表述簡明直觀，便于尋找解題的切入點. 又如，涉及平面向量數量積的計算問題時，優先考慮三種常規方法，即定義法、基底法、坐標法. 定義法局限性較大，如果沒有模和夾角，很難直接套用. 如果幾何意義也不明顯，就要考慮基底法是否適用，合理選取一組向量基底，把其余向量用基底表示，再進行運算;如果圖形背景較為直觀，就要建立坐標系實現坐標轉化，把幾何問題轉化為代數運算是比較好的選擇. 幾種方法各具特色，教師要引導學生進行甄別，合理選取方法求解問題，提升高三復習效率.

參考文獻：

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