2020年高考“不等式”專題解題分析

王云劍

摘 ?要：從解不等式、基本不等式及其應(yīng)用、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題、不等式“跨界”綜合問題四個(gè)方面對(duì)2020年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中與不等式相關(guān)的試題進(jìn)行分類評(píng)析和綜述，并提供解題指導(dǎo)和備考建議.

關(guān)鍵詞：不等關(guān)系;函數(shù)思想;“跨界”交會(huì)

本文將從不等式解法、基本不等式及其應(yīng)用、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題和不等式“跨界”綜合問題這四個(gè)方面對(duì)2020年全國各地的高考數(shù)學(xué)試卷中與不等式相關(guān)的試題進(jìn)行解法分析、試題評(píng)析和綜述.

一、解不等式

【評(píng)析】求解一次不等式、二次不等式是高考的必考點(diǎn)，是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)的基本載體. 往往結(jié)合集合的運(yùn)算、常用邏輯用語、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)綜合考查.

【評(píng)析】該題考查含參數(shù)三次不等式的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的三次函數(shù)值恒大于等于0的問題. 根據(jù)已知條件求出三次函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)行分類討論即可解決. 該題解法體現(xiàn)出不等式與函數(shù)之間相互包含、轉(zhuǎn)化的關(guān)系，更能體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用水平，是對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查.

【評(píng)析】絕對(duì)值不等式問題的本質(zhì)是絕對(duì)值的定義，即[a=a，a≥0，-a，a<0.] 根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行分類討論，即可把問題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式問題. 解題易錯(cuò)點(diǎn)有三個(gè)：一是分類不全有遺漏，如遺漏[a=0]的情況;二是忽視分類的前提條件;三是分類后混淆各類之間的關(guān)系. 分類討論后需要在每類的自變量取值范圍內(nèi)求出對(duì)應(yīng)的解集，然后求并集方能得到原不等式的解集. 該題體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的考查.

二、基本不等式及其應(yīng)用

【評(píng)析】運(yùn)用基本不等式解題要注意其成立的三個(gè)條件，即“正、定、等”缺一不可.“正”是要先判斷參數(shù)是否為正值;“定”是要看參數(shù)的和或積是否為定值;“等”是要驗(yàn)證等號(hào)能否成立. 驗(yàn)證等號(hào)是否成立時(shí)主要注意兩點(diǎn)：一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi);二是多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)是否同時(shí)成立. 學(xué)生容易遺忘“正”和“等”這兩個(gè)條件.

【評(píng)析】多選題是2020年高考中出現(xiàn)的新題型，較單選題的得分難度增大，更能考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度和理解運(yùn)用能力，能更好地體現(xiàn)高考試題的梯度和效度.

三、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題

【評(píng)析】線性規(guī)劃問題實(shí)質(zhì)是求二元一次方程及二元一次不等式關(guān)系的問題. 可以結(jié)合作出的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的方向和傾斜程度，確定在何處取得最值. 這類試題比較獨(dú)立，相對(duì)容易掌握，主要是對(duì)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.

四、不等式“跨界”綜合問題

高考中的對(duì)不等式知識(shí)的考查常與函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、向量、三角函數(shù)等進(jìn)行“跨界”綜合. 下面結(jié)合三類常考的試題進(jìn)行分析，體會(huì)、總結(jié)解決不等式綜合問題的常見策略.

1. 比較大小問題

【評(píng)析】比較大小時(shí)，一般策略是將所求與特殊值（如[0，1]）進(jìn)行比較. 該題根據(jù)已知條件先將[b，c]與[45]進(jìn)行比較，然后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或運(yùn)用作商（差）法進(jìn)行比較. 比較大小的本質(zhì)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用. 該題主要考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【評(píng)析】例12與例11類似，都是與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合考查不等關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)共性，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解. 主要考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.

2. 最值和取值范圍問題

【評(píng)析】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線之一，是研究實(shí)際問題的主要工具，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值（最值）的有效工具. 不等式與導(dǎo)數(shù)的“跨界”考查主要從以下幾個(gè)角度設(shè)計(jì)問題：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）含參數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值;（3）實(shí)際生活中的優(yōu)化問題. 一般來說，此類試題難度偏大，主要是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的綜合考查.

五、綜述

不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在，相等關(guān)系與不等關(guān)系是對(duì)立統(tǒng)一的，因此，不等式與函數(shù)知識(shí)息息相關(guān). 在復(fù)習(xí)過程中，建議注重理解不等式與函數(shù)等知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，抓住客觀事實(shí)的本質(zhì)，在熟悉知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上，對(duì)問題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，逐漸提高分析問題和解決問題的能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》注重發(fā)展學(xué)生的“四基”“四能”，新高考立足“一核”“四層”“四翼”，通過高考命題實(shí)現(xiàn)“教、學(xué)、考、評(píng)”的一致化. 結(jié)合新高考命題的方向和對(duì)各地高考試卷的分析，給出如下不等式的備考建議.

1. 重強(qiáng)基

熟悉、理解有關(guān)不等式的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn)是解題的基礎(chǔ). 布盧姆認(rèn)知目標(biāo)分類學(xué)將認(rèn)知領(lǐng)域分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造六個(gè)層級(jí). 熟練記憶、理解概念性知識(shí)和事實(shí)性知識(shí)，才能進(jìn)行進(jìn)一步的分析和創(chuàng)造. 例如，不等式[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 a>0，b>0]在試題中的應(yīng)用頻率較高，準(zhǔn)確記憶并能在具體問題中識(shí)別出參數(shù)意義是正確運(yùn)用的前提.

2. 結(jié)構(gòu)化

在掌握不等式基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)注意知識(shí)結(jié)構(gòu)化. 在知識(shí)的交會(huì)處命題是不等式高考命題的規(guī)律，因此在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)注重梳理知識(shí)和學(xué)科間的內(nèi)在聯(lián)系，把握不等式蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.

3. 會(huì)解題

閱讀審題是解題的第一關(guān)，分析試題的結(jié)構(gòu)有助于發(fā)現(xiàn)思維角度，進(jìn)一步聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，合理分析、轉(zhuǎn)化問題，綜合運(yùn)用數(shù)或形的方法，選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，最終高效地解決問題. 在備考中，應(yīng)該注重解題技巧的積累，注重養(yǎng)成從多種思維角度分析問題的習(xí)慣，注重解題反思，這樣才能不斷提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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