2020年高考“數列”專題解題分析

王曉光 梁豪豪

摘 ?要：通過對2020年各份高考數學試卷中數列試題的對比研究，可以看到，2020年高考依然覆蓋了數列的全部知識點，包括等差（比）數列中基本量的運算、性質、通項公式、求和公式的綜合應用，以及利用新定義考查數列的定義等. 注重對數學思想方法的考查，如方程思想、類比思想、數學建模思想、分類討論思想等. 亮點頻現，更注重了對學生數學學科核心素養的考查.

關鍵詞：數列;試題分析;解法分析;回歸基礎

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出數列是一類特殊的函數，是數學中重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具，是反映自然界變化規律的基本數學模型，在高考中占有較大的比重和較重要的考查地位. 2020年的各份高考數學試卷中對數列的考查既有比較容易的基礎題，也有要求較高的壓軸題. 下面分三個方面對其進行分析.

一、試題分析

綜觀2020年高考數列試題，主要是以基礎知識為載體考查基本能力，題型涉及選擇題、填空題及解答題，主要圍繞等差（比）數列基本量的運算，等差（比）數列的性質，新定義數列的考查及數列求和、求通項的綜合應用這幾方面考查. 同時，注重考查分類討論、轉化與化歸、類比、歸納推理等重要數學思想.

【評析】等差（比）數列的性質也是在高考中經常考查的知識點，應用它們解決數列問題往往可以收到簡化運算、提高運算效率的效果. 近幾年的高考對等差（比）數列性質的考查形式越來越新穎，2020年全國Ⅱ卷理科第4題以實際生活做背景，而此題是利用等差數列構造另一個數列來考查，對學生的能力又提出了更高的要求. 類似的還有北京卷第8題. 在教學過程中教師應該引導學生多觀察發現等差（比）數列的性質，并靈活應用.

3. 利用新定義的數列考查數列相關知識和能力

【評析】利用新定義考查數列的相關知識是近幾年高考中經常出現的試題類型，通過數列綜合應用旨在考查學生閱讀理解、抽象概括、邏輯推理、分析問題、解決問題的能力. 這類試題綜合性較強，要求學生能在短時間內提取出題目中的關鍵信息，轉化為學過的數列知識，對學生全方位能力提出了較高要求.

4. 數列求通項公式、求和公式的綜合運用

【評析】已知數列的遞推關系式求通項公式是考查學生對數列基礎知識掌握情況的又一種重要方式，常用到累加法、累乘法、分奇偶項討論等具體方法，這些在各份高考試卷中都有所體現. 數列求和問題，常考的方法有錯位相減法、裂項相消法、分組求和法，這些方法在日常教學中處于非常基本的地位. 全國新高考Ⅰ卷第18題第（2）小題，若用列舉歸納法，則會變得相對簡單. 因此，教師在平時的教學中要加強對教材內容的教學，重視對教材中習題的引申和適當變形;全國Ⅲ卷理科第17題考查了數學歸納法，這道題如果不用數學歸納法，而采用別的證明方法，對大多數學生來說就會困難得多. 高考試題對高中數學知識的全面考查，對今后的教學有很好的導向和促進作用.

二、解法分析

1. 方程思想

【評析】此題背景新穎，利用了北京天壇的圜丘壇. 處理此類題型的關鍵在于讀懂題意，并能從具體情境中提煉出數學知識，構造相應的模型，進而求解. 分析題意可知此題考查的是“等差數列的‘等段和’仍為等差數列”這一知識點. 只要分析清楚該等差數列的首項、公差及項數，便可順利解決此題. 此題也是借助實際背景考查等差數列基本性質的問題.

4. 分類討論思想

【評析】此題第（2）小題考查了等差數列和等比數列對應項乘積構成的新數列的求和問題. 這正是教師在平常教學中強調得比較多的錯位相減法. 解題思路比較簡單，但是運算量稍大，尤其是等比數列的公比為負數，給運算又帶來了一些困難. 當然也可以用方法2求解，利用待定系數法把此數列寫成一個數列的后一項減前一項的形式，再用疊加法求得，利用此法運算量稍小.

【評析】此題設計得非常巧妙，很多學生看到條件[am+n=aman]會感覺比較陌生，但是當取[m=1]時，問題就轉化為了相鄰兩項間的關系，由等比數列的定義就可以判斷出[an]是等比數列，然后再用等比數列前[n]項和公式即可解得[k=4.] 此題的亮點在于巧妙地考查了等比數列的定義.

總之，2020年高考中，數列考點變化不大. 從知識結構角度來看，回歸教材、重視基礎，考查了數列的核心知識及本質特征，兼顧了數列與其他知識的綜合;從方法能力角度來看，靈活多樣、突出本質，考查了數列的基本思想和方法，兼顧數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養的發展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]王崢，胡水林，張金良. 2019年高考“數列”專題命題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2019（7 / 8）：64-69，94.

[3]苗孟義，張金良. 2019年高考“數列”專題解題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2019（7 / 8）：70-79.