2020年高考“立體幾何”專題命題分析

張培強 魏賢剛

摘 ?要：2020年高考數學試卷中的立體幾何試題，著重對空間幾何體點、線、面的位置關系與數量關系進行考查，創新試題情境，彰顯育人功能，注重貼近教材，強調通性、通法，達到考查學生直觀想象、邏輯推理和數學運算等素養的目的，對新高考立體幾何的命題有較強的引領作用，對立體幾何的復習備考有很好的指導價值.

關鍵詞：立體幾何;直觀想象;命題分析

立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系. 高考立體幾何試題注重考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等素養，體現在直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等方法上，著重考查點、線、面位置關系的判斷與證明，以及空間角、體積的計算問題.

2020年高考數學共13份試卷，北京卷、上海卷、天津卷、江蘇卷、浙江卷均是自主命題，全國卷除了傳統的文、理分科的全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷外，還增加了兩份文、理不分科的新高考試卷，分別由山東、海南使用. 每份試卷都對立體幾何內容進行了考查，以學生所熟知的空間幾何體為載體，考查學生用文字語言、圖形語言和符號語言表達立體幾何問題，用嚴密的邏輯思維思考問題，用嚴謹的邏輯推理證明問題，用準確的計算解決問題.

一、考查內容分析

2020年高考數學立體幾何命題嚴格依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》），認真貫徹“五育并舉”教育方針，依托基本空間幾何體，著重考查學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養，以及綜合運用數學思想方法分析問題和解決問題的能力.

1. 布局合理，涵蓋全面

2020年高考立體幾何試題都圍繞著空間幾何體點、線、面之間的位置關系，空間向量及其應用等考點展開，其中全國卷具體考查情況如表1所示.

可見，在全國卷中，立體幾何的題量多為“兩小一大”，即兩道選擇題或填空題和一道解答題，分值為22分，約占總分值的14.7%，大都覆蓋了選擇題、填空題、解答題全部題型. 而全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷的理科試卷中均有兩道選擇題、一道填空題和一道解答題，分值為27分，約占總分值的18%，傳遞了新高考試卷中單項選擇題、多項選擇題、填空題、解答題或各有一題的信號.

2. 差異縮小，比重相當

2020年的13份高考數學試卷中，文、理不分科的自主命題試卷進一步增多. 自主命題試卷中，僅有江蘇卷文、理科試題有差異，在文、理科同卷的基礎上，在附加題中理科考查了空間向量. 文、理科分卷的全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷的立體幾何試題，大部分小題（選擇題和填空題）文、理科都相同，只有個別試題的題號不同. 另外，解答題的第（2）小題因文、理科要求不同而設問不同，但是問題背景與第（1）小題基本一致. 這種設置方式為不分文、理科的新高考試卷做足了準備. 全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）中的解答題采取的設問方式是第（2）小題考查空間角的計算.

3. 通性、通法，難度穩定

2020年高考中的立體幾何解答題，幾乎都采用了延續多年的“證明+計算”的設問方式，即第（1）小題主要考查點、線、面位置關系的證明，第（2）小題考查角、體積的計算. 題型穩定，方法穩定，注重考查立體幾何的通性、通法. 從試題難度來講，多數試題難度適中，穩定在中、低檔題的位置，試題設計相對常規，注重對數形結合、轉化與化歸等重要數學思想方法的考查，注重對數學學科核心素養的考查，對培養學生數學抽象、直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養有積極意義.

4. 優化情境，創新方式

對于2020年的高考命題，教育部考試中心指出要“充分體現德智體美勞全面發展要求，并綜合考慮疫情因素和學生復習備考的實際情況，在保持命題總體穩定的情況下，優化試題情境設計”. 2020年高考中的立體幾何試題以生活情境和優秀傳統文化的真實情境為載體，突出素養導向的命題立意，考查立體幾何的基礎知識和基本技能，凸顯應用性和創新性，充分體現了立體幾何的核心知識和育人功能.

二、命題思路分析

2020年高考立體幾何的命題，實踐了《標準》的命題要求，力求將知識、能力與素養融為一體. 試題以柱、錐等常見的幾何體為載體，重點考查學生的空間想象、邏輯推理、數學閱讀和數學表達等關鍵能力，突出通性、通法，強化數學運算，挖掘知識間的內在聯系，穩定中有創新.

1. 回歸基礎，考查幾何本質

延續了2019年的高考命題風格，2020年高考的13份數學試卷的選擇題和填空題多以點、線、面的位置關系判斷和計算為主，重視對立體幾何基本定義、公理、定理、性質的考查，有利于指導教學回歸教材、回歸基礎，有利于考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力.

【評析】該題將點、線、面的位置關系與命題的真假性、邏輯聯結詞綜合在一起，多側面、多層次考查學生對相關知識的掌握情況. 學生需要在明確簡單命題與復合命題真假性關系的基礎上，對所給四個命題的真假性進行判斷. 所給命題都是空間中最基礎的點、線、面的位置關系，在學習新課時曾做過判斷題. 該題的設問方式恰恰是為不分科后的高考多項選擇題的命制做鋪墊. 該題體現了“緊扣考試大綱，重視基本定義和定理的考查”的命題思路，指明了教學方向，教師要引導學生注重對數學基本概念的學習，加強概念辨析，深入理解概念.

與此題命題思路相同的還有浙江卷的第6題，與此題中的命題[p1]聚焦點相同，與充分、必要條件結合;全國Ⅲ卷文（理）科的第19題考查了四點共面的證明;上海卷第15題考查了直線與平面交點位置的確定.

2. 遵循常規，突出核心考點

在2020年高考數學立體幾何理科解答題中，試題的設問幾乎都是先證明后計算，全面考查學生的空間想象能力、邏緝推理能力、運算求解能力，以及分析問題和解決問題的能力. 在證明部分多是以平行或垂直的位置關系為主;在計算部分大都是求線面角大小，而全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷中計算的是二面角. 文科解答題涉及的幾何體模型與理科相同，一般也是先證明后計算，計算多以幾何體體積為主. 而全國Ⅲ卷進行了適度創新，兩道小題均是位置關系的證明，也是少有的不涉及計算的解答題.

【評析】該題以圓錐開題，研究體內正三棱錐中的線面位置關系，圖形新穎，蘊含著豐富的信息量，為不同層次的學生提供了想象的空間和思考的平臺. 該題的幾何圖形載體看似復雜，考查的卻都是常規知識點，對學生的邏輯推理能力和計算能力進行了考查. 第（1）小題考查線面垂直的判定，通過計算可得正三棱錐側棱的垂直關系. 第（2）小題考查二面角的求解，幾何法的思維難度大，對平面幾何的運算要求高，宜建系運用向量法解決. 兩種方法的靈活選擇需要學生有較強的立體幾何的綜合解題能力，體現了讓不同學生在數學上得到不同的發展.

2020年高考立體幾何試題中所考查的幾何體如表2所示，基本上都能直接建立空間直角坐標系進行求解，凸顯了向量在解決立體幾何問題中的重要作用，不設置障礙從邏輯思維上難為學生，而以問題解決為目標.

3. 緊扣教材，引導教學回歸

高考試題變化莫測，卻也始終繞不開教材. 對教材中的例、習題進行適當的改編、拼接、組合和推廣形成高考試題是命題的一個傳統和特色. 2020年高考立體幾何試題都能在教材上找到原型，體現了高考命題回歸教材、貼近高中數學教學的改革思路，從而正面引導中學數學教學淡化“題型套路”，以教材為本，發展數學思維，促進學生對數學本質的理解.

【評析】該題以學生熟悉的側棱垂直于底面的陽馬幾何體為載體，在考查學生空間想象能力的同時，還考查了模型識別等綜合能力. 第（1）小題通過側棱垂直于底面正方形能聯想到[AD]與[BC]都與平面[PDC]垂直，雖然交線[l]在圖形中看不見，但是綜合分析即能洞察問題的本質，其實就是三個平面兩兩相交，產生的三條交線兩兩互相平行，就是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修2）》第65頁A組習題的第6題，也出現在新人教A版《普通高中教科書·數學（必修）》第二冊第143頁習題的第7題，在其他版本的教材中也同樣是經典例、習題. 第（2）小題添加了側棱與底面邊等長的條件，就把這個幾何體變得更為學生所熟悉，實為由正方體截割而來. 在熟悉的環境中解決新問題，學生的心理是積極的，易于發揮出真實水平，能夠較好地考查學生的直觀想象和數學運算素養.

該題是教育部考試中心為山東和海南命制的新高考試卷中的立體幾何題. 由此可見，新高考試卷中對立體幾何解答題的考查沿用理科試題的設問方式，其他自主命題試卷中也是這種設問方式，而且多數都是考查線面角的求解，如北京卷第16題、浙江卷第19題、天津卷第17題和上海卷第17題.

4. 注重轉化，錘煉思維品質

轉化與化歸的思想貫穿立體幾何的始終，是處理立體幾何問題的基本思想. 2020年高考數學立體幾何試題仍然注重考查學生的轉化與化歸能力. 在線面位置關系的證明上，始終在線線、線面、面面的平行或垂直之間轉換，較好地考查了學生綜合運用判定定理和性質定理解決問題的能力，體現了對直觀想象和邏輯推理素養的考查;在有關計算的問題上，要求學生能在空間與平面之間相互轉化，簡化問題，綜合考查學生的思維水平.“空間問題平面化”是解決這類問題的指導思想.

【評析】該題以平面展開圖為背景，考查學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算素養. 需要將空間關系轉化為平面關系，得到平面展開圖中盡可能多的邊角關系，從而解決問題，體現了轉化與化歸的思想. 將幾何體的側面展開時，基本元素在從空間展開到平面的過程中需要重新確定位置，要重點關注展開前后變化的量與不變量，抓住這些特征才能對新圖形進行準確分析，進而有效解決側面展開、翻折等問題.

【評析】該題以底面是正三角形的三棱柱為載體，考查線線平行、面面垂直的證明，以及四棱錐體積的計算，考查學生的轉化與化歸能力. 第（1）小題線線平行的證明是利用公理4實現線線平行之間的相互轉化，面面垂直的證明是通過線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉化. 第（2）小題所求四棱錐的底面是清楚的，但是由于高不在幾何體內而不易求解，利用過點[B]且與底面平行的直線[BC]轉化高，該三棱柱可以看成是正三棱柱被“推歪”了，因此過點[M]做底面的高，垂足恰好落在[PN]上，再結合條件即可求解. 等體積轉化是求解幾何體體積的常用策略，往往能化難為易，化隱為顯，達到事半功倍的效果.

5. 關注綜合，甄別關鍵能力

近幾年的高考試題中出現了以多個簡單幾何體組合為問題背景的立體幾何試題，利用球與多面體、球與旋轉體的內接與外切等位置關系，構造復雜的問題情境，考查學生綜合處理問題的能力. 這類試題要求學生在面對多個不同的幾何對象時，能清楚它們之間的位置關系，并運用立體幾何知識進行綜合探究，可以體現學生的幾何思維水平和直觀想象素養.

【評析】該題以圓錐和球的組合為背景，圓錐的大小是確定的，體內的球可大可小，圖形位置關系相對開放，與2016年全國Ⅲ卷文科第11題、理科第10題的命題思路一致，考查學生分析問題與解決問題的能力，以及學生的直觀想象、數學建模素養. 所求半徑最大時，即為球內切于圓錐時，利用球心與圓錐的位置關系，轉化到圓錐的軸截面中，進而得解. 試題設置了相對開放的環境，體現了高考命題從能力立意到素養導向的轉變，考查方向從對常規問題的解決技能轉到了對開放問題的探究能力，對日常教學有很好的引領作用.

【評析】該題以直四棱柱和球的相交為載體，探尋球面與側面的交線，考查直棱柱的結構特征，直線與平面垂直的判定，球的定義、性質等. 試題未給出圖形，需要學生根據題設條件的相互聯系構建出空間圖形，解題的關鍵是在整體圖形與局部圖形的轉換中，將相對零散的題設條件集中于球與截面這一基本關系中，很好地考查了學生想圖、畫圖、析圖的能力，體現了學生的應用意識和創新意識. 該題突出了對學生綜合、靈活運用知識解決問題能力的考查，對學生的空間想象能力、推理論證能力、數形結合思想要求很高，屬于較難的題目.

與球有關的組合體問題是全國卷中的常客，對空間想象能力的要求較高，因此常作為選擇題和填空題的壓軸題出現. 2020年的全國卷中都有對此類問題的考查，且多以球與其他幾何體的切、接、交、截的形式呈現，不偏不怪、中規中矩，對高中數學教學具有極強的指導意義. 當然，也有其他幾何體的組合形式，如全國Ⅰ卷文科的第19題，將正三棱錐放于圓錐內部，研究三棱錐的體積.

6. 設置情境，凸顯問題解決能力

素養導向的高考數學命題注重對情境化試題的考查. 試題情境是試題的材料和介質，反映試題的立意. 2020年高考中的立體幾何試題情境主要體現出多樣化和真實化的特點，重在將求解題目轉變為問題解決，在解決問題的過程中進行情境教育.

例8 （全國Ⅰ卷·文 / 理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐（如圖5）. 以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ? ?）.

【評析】該題的問題背景中融入了古代世界建筑七大奇跡之一的胡夫金字塔，賦予幾何體真實的背景和濃厚的人文氣息. 根據題意畫出正四棱錐圖形，將題設描述的面積等量關系轉化為圖形關系，再列出方程即可求解. 胡夫金字塔從外形上看頗具美感，該題的結果亦和黃金分割數有聯系，美育教育自然融入了數學教育，引導學生感悟數學的審美價值. 胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，由十萬多名工匠共用約20年的時間才完成，體現了古埃及人民的智慧與創造力，足以激發學生學習立體幾何的興趣，促使他們養成嚴謹的數學思維習慣.

【評析】該題的問題背景融入了我國古代計時儀器，在揭示計時原理的過程中，滲透了地理學科的知識，體現了學科綜合，反映了數學知識和方法的科學價值、應用價值. 解決該題需要學生將實物圖形抽象成幾何模型，在文字語言與圖形語言之間靈活轉換，主要考查學生的抽象概括能力和空間想象能力，滲透著“用數學眼光觀察世界”的問題研究意識. 日晷的計時，體現了我國古代數學智慧的傳承與發展，既使學生關注優秀的中華傳統文化，又讓學生感受到數學的實際應用，使他們養成良好的數學學習習慣.

【評析】該題以現實問題情境為依托，將勞動實踐與立體幾何進行了有機結合，“六角螺帽毛坯”幾字言簡意賅，再現了加工零件的場景，引導學生關注勞動、尊重勞動，體現了勞動教育的要求. 試題注重對基礎知識和基本技能的考查，求棱柱和圓柱的體積，貼近高中教學實際. 試題情境簡潔，關注生活，使學生體會到數學的應用價值，有利于激發學生學習數學的熱情，對在中學數學教育中實施“五育并舉”有著很好的導向和促進作用.

三、復習建議

綜觀2020年高考中的立體幾何部分試題，在題型、題量、分值、難度、知識點分布等方面都保持了相對穩定，突出了對基礎知識、基本技能、基本數學思想方法的考查. 同時，在問題情境的創設上求新求變，進行了積極的嘗試，孕育了一批精彩的情境化試題，有力推動了高中數學立體幾何教學的變革. 為使2021年高考的立體幾何復習更有針對性、實效性，建議從以下幾個方面備考.

1. 研究高考，明確方向

新一輪高考改革正在進行之中，“一核”“四層”“四翼”的高考評價體系，推動著高考命題由能力立意向素養導向的變革. 在不分文、理科后，高考數學試題的命制會更加重視考查學生對基礎知識、基本技能的掌握程度，考查學生關鍵能力的發展水平. 研究近兩年的全國高考試題，能很好地把握新高考試卷在立體幾何考查上的動向，有效指導備考復習，為學生的可持續發展和終身學習打下堅實的基礎.

2. 回歸教材，把握本質

教材是落實數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要教學資源，也是歷年高考命題的重要素材. 通過對教材中的幾何公理、定理、性質進行系統梳理，實現線線、線面、面面之間的熟練轉化，形成基本的幾何素養. 通過對教材中的例題和習題進行變式拓展、深度挖掘，提煉通性、通法，準確把握立體幾何的本質. 以教材中例題的解答過程為答題模板，強化學生的過程書寫，做到會做即得滿分，提高復習效率.

3. 借助模型，提高能力

學習立體幾何應置身于空間之中. 通過實物模型或計算機軟件呈現的空間幾何體（如GeoGebra軟件能很好地呈現三維立體圖）幫助學生認識空間幾何體的結構特征，逐步形成直觀想象素養. 對于學生來說，球的相關問題是有一定難度的. 究其原因主要是空間想象能力的欠缺，有關多面體外接球問題的球心法、模型法應讓學生熟練掌握. 識圖作圖是立體幾何學習的基本素養，應加強對學生作圖能力的訓練，促使其將心中所想的空間圖形正確畫在平面的紙上，在平面與空間之間正確轉化.

4. 強化運算，優選方法

解決立體幾何的證明與計算問題時，綜合法能很好地考查學生的邏輯思維能力，對理性思維要求較高，向量法則把立體幾何的證明與計算都轉化為空間向量的計算問題，使復雜問題簡單化、程序化，需要較強的數學運算能力. 在教學中，應鼓勵學生運用向量方法與綜合方法，從不同的角度解決立體幾何問題，積累解題經驗，在具體的問題情境中，能結合個人實際，靈活選擇、運用向量方法與綜合方法，提高解題效率.

四、模擬題欣賞

參考文獻：

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