2020年高考“立體幾何”專題解題分析

莊后偉 朱慧

摘 ?要：對2020年高考數學13套試卷中的立體幾何試題進行系統整理與分析，從試題考點、解題方法的角度進行梳理與總結，研究高考立體幾何試題的命題規律與方向，為新一輪高三數學復習備考提供指導.

關鍵詞：2020年高考;立體幾何;解題分析

立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系，是高中數學知識的重要組成部分，作為考查學生空間想象能力和邏輯推理能力的主要載體，是高考數學的重點考查內容. 綜觀2020年高考數學13份試卷中的立體幾何試題，延續了近幾年的命題風格，充分體現了對立體幾何基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的考查. 試題注重基礎，立足教材，難度適中，結合生活實際，融入數學文化，滲透了對學生直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象等數學學科核心素養的考查，凸顯了高考命題從能力立意到素養導向的轉變.

一、試題特點

2020年的13份高考數學試卷中的立體幾何試題共計27道（文、理科相同試題不累計），其中全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷、全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷中的立體幾何試題共計14道，覆蓋選擇題、填空題和解答題，其中選擇題或填空題中有2道涉及數學文化滲透、4道涉及球的接、切、交問題、2道涉及三視圖，還有2道與其他知識進行融合;解答題在每道小題的設置上力求證明與求解并重，全方位考查學生的邏輯推理和數學運算等素養. 與2019年相比，2020年高考全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷立體幾何在題量上仍基本保持“兩小一大”（2道選擇題或填空題，1道解答題）的格局，且文、理科小題在考查內容和表述方式上完全相同，共計22分. 文、理科對應的解答題背景第（1）小題完全一致，第（2）小題則因文、理科的要求不同而出現不同的設問. 全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷的理科試卷均有2道選擇題、1道填空題和1道解答題，共計27分. 整體來看，全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷在立體幾何知識的考查上始終保持穩定，題型搭配協調，其他各卷與全國卷情形一致.

1. 題型和題量分布合理，難度和分值相對穩定

2020年高考在立體幾何知識的考查上，題型和題量為常規的“兩小一大”，分布合理，試題難度中等，分值穩定在22分或27分左右，均保持相對穩定. 但與2019年相比，需要注意以下變化：（1）全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷均恢復了對三視圖的考查，只是難度不大;（2）全國Ⅰ卷和全國Ⅱ卷都以立體幾何題作為填空題壓軸題，且保持一貫的不提供圖形風格，使得難度略有上升;（3）對與球相關的組合體的考查，全國卷每一套中都有涉及，球變得炙手可熱起來.

2. 核心知識重點考查，載體規則

立體幾何知識的考查重點始終聚焦在基本圖形的基本關系、基本空間幾何體的表面積和體積的計算，以及利用空間向量解決立體幾何問題這些核心知識上，而考查所用到的載體多以常見的柱體或錐體為主，均為規則幾何體，尤其在解答題中體現得更為明顯.

3. 滲透數學文化，落實立德樹人

將我國古代數學成就或世界物質文化遺產融入試題情境之中，使學生在感受數學的偉大與數學美的同時，民族自豪感與使命感也油然而生，真正達到了春風化雨、潤物無聲的效果，有利于落實新時代教育立德樹人的根本任務.

例如，全國Ⅰ卷文（理）科第3題選取的埃及胡夫金字塔素材，不僅展現了數學美，還將學生的眼光引向了世界;全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）選取的日晷素材，讓學生切身感受了一把我國古代數學的偉大成就.

二、解法分析

1. 空間幾何體的結構特征

立體圖形與我們的生活息息相關，《普通高中數學課程標準（2017年版）》中明確指出，通過立體幾何初步的教學，使學生經歷直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質、建立空間觀念的過程，并對該部分知識提出了具體的學業要求——掌握基本空間圖形的概念和基本特征，能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關系和基本結果.

【評析】此題將立體幾何中的基本圖形和世界文化遺產進行有機結合，主要考查正四棱錐的概念及其相關計算，考查學生的作圖能力和數學計算能力，發展學生的直觀想象和數學運算素養. 解決問題的關鍵是要熟練掌握基本空間圖形的概念和基本特征，明確圖形的性質和基本關系，將空間圖形問題轉化為平面圖形問題.

2. 空間幾何體的三視圖及應用

盡管新高考已經將三視圖列為刪除內容，但作為近幾年高考數學常考的熱點內容，其在學生的觀察能力和空間想象能力的培養，以及直觀想象和數學抽象素養的提升方面所起到的作用，使得在2020年高考中三視圖的考查熱度不減，在全國Ⅱ卷理科，全國Ⅲ卷文（理）科、北京卷和浙江卷中均有對三視圖問題的考查，且多以三視圖為背景，側重考查空間幾何體的表面積和體積，只是難度不大，且都以選擇題的形式出現.

【評析】此題以兩個柱體的組合體為背景，主要考查了根據三視圖判斷點的位置，對學生識圖、用圖的能力和空間想象能力要求較高. 解題的關鍵是掌握三視圖的畫法規則，能夠根據三視圖還原立體圖形的直觀圖.

【評析】此題主要以三視圖為載體考查幾何體的表面積，同時考查學生的分析能力和空間想象能力. 解題的關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當地分析，從中發現幾何體各元素間的位置關系及數量關系，掌握根據三視圖畫出立體圖形的直觀圖的方法，還要注意多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理. 相似題還有北京卷第4題.

3. 空間幾何體的體積

體積反映了空間幾何體所占空間的大小，是刻畫和描述幾何體特征的一個重要基本量. 全面理解、熟記各種常見幾何體的體積計算公式，是對學生學習立體幾何的基本要求. 對于簡單組合體體積的計算，關鍵在于準確把握組合體的結構特征.

【評析】此題以生活中常見的六角螺帽為背景，貼近生活實際，試題源自蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學2（必修）》第192頁例3，主要考查正六棱柱和圓柱的體積，考查學生分析問題的能力和數學運算的學科素養. 解決此類問題的關鍵是準確把握組合體的結構特征，將其轉化為簡單的柱體或錐體，明確相應的基本量.

4. 公理、定理與其他知識的融合

公理和定理是認識和理解空間點、線、面位置關系的理論支撐，是判斷和證明空間基本圖形位置關系的有力依據. 要通過直觀感知、操作確認等體會描述基本圖形位置關系的命題，并學會用準確的數學語言表達這些命題，提升直觀想象和數學抽象素養.

【評析】此題以立體幾何基礎知識為背景，將立體幾何問題與邏輯命題有機融合，既考查復合命題的真假，又考查空間中與線面關系有關的命題真假的判斷，考查學生的推理能力，多側面、多層次考查學生對相關知識的掌握情況. 解題的關鍵在于熟練掌握立體幾何中的公理、定理，明確含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷. 與其他知識融合考查是2020年高考立體幾何知識考查的一大亮點. 相似題有：全國Ⅰ卷理科第16題將三棱錐的展開圖與解三角形知識融合到了一起;浙江卷第6題對公理的考查融合到了充分必要條件之中.

5. 球的接、切、交

球是一個很重要的幾何體，高考對球的考查多以球的接、切或截面問題為背景，側重于球的表面積和體積的計算. 2020高考全國Ⅰ卷（文、理科）、全國Ⅱ卷（文、理科）、全國Ⅲ卷（文、理科）、天津卷和全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）中均涉及對球的考查. 其中，天津卷與全國Ⅰ卷（文、理科）、全國Ⅱ卷（文、理科）一致，都是以外接球為背景，全國Ⅲ卷（文、理科）試卷則是以內切球為背景，而全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）則將球與柱體相交的交線問題作為客觀題壓軸題. 可見，球的接、切、交問題是立體幾何考查的熱點，在復習中應引起足夠的重視.

【評析】此題以外接球為背景，考查球的相關問題. 相似題還有全國Ⅱ卷理科第10題（文科第11題），涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應用，考查學生的作圖、用圖能力和空間想象能力，發展直觀想象、數學運算和數學抽象素養. 解題的關鍵是準確作出直觀圖，明確球的性質，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面，求出球的半徑. 關于多面體的外接球的表面積和體積問題，常見題型及常用解題方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑;（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑;（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.

6. 空間基本圖形的平行關系、垂直關系

在立體幾何中，線線、線面、面面位置關系的判定與證明，能很好地培養學生的空間想象能力，發展直觀想象、邏輯推理等素養. 高考對這部分知識最根本的考查在于對線面平行與垂直關系的考查，兩種關系既各自獨立也相互依存，因而判定與證明之間的轉換，空間與平面之間的互化，都對學生的邏輯推理能力提出了較高的要求.

【評析】此題以學生熟悉的長方體為載體，貼近教材，學生對圖中的圖形關系有似曾相識之感. 主要考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查學生的基本分析論證能力和轉化與化歸的能力，著眼邏輯推理素養. 解題時需要緊扣長方體這一基本幾何體的結構特征與性質，推理論證要做到條理清晰、思維嚴謹.

7. 空間角

空間角是定量刻畫空間線線、線面、面面位置關系的基本工具之一，主要包括異面直線所成的角、線面角和二面角. 對于空間角的計算的考查始終是高考的必考內容.

【評析】此題以中國古代數學文化中的日晷為背景，主要考查空間中的線面角，涉及球體有關計算、面面平行、線面垂直的性質，體現對直觀想象、邏輯推理核心素養的考查. 解題的關鍵是畫出過球心和晷針所確定的平面截地球和晷面的截面圖，根據面面平行的性質定理和線面垂直的定義判定有關截線的關系，從而根據點[A]處的緯度，計算出晷針與點[A]處的水平面所成角. 以數學文化為背景的情境類試題，是近年高考考查的一種趨勢，在復習過程中應適度進行該方面的訓練.

【評析】此題與全國Ⅲ卷文科第19題為姊妹題，第（1）小題與文科第19題第（2）小題相同，意在考查利用線線平行關系證明點在面內;第（2）小題重點考查利用空間向量法求解二面角. 試題較好地將幾何證明與向量運算融入到兩道小題之中，借以考查推理能力與計算能力，檢測直觀想象、邏輯推理和數學運算素養. 解題時需要注意利用空間向量法可以計算出二面角[A-EF-A1]或其補角的余弦值，進而可以求得二面角[A-EF-A1]的正弦值.

三、試題解法賞析

對于同一道立體幾何問題的多種不同解法加以分析，通過比較綜合法與向量法等方法的優劣，幫助學生較好地開拓解題思路，培養發散思維和創新能力. 下面以一道解答題為例進行試題的解法賞析.

【評析】此題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，所列解法中主要針對第（1）小題的問題給出不同的解題思路和方法;第（2）小題的考查目的及方向很明確，就是用空間向量法求二面角，由于所給二面角圖形不規則，故該小題不適合使用綜合法解答，故而比較第（1）小題的幾種思路，針對此題選擇哪種也就一目了然了. 復習中，對于空間角的計算還是要明確轉化與化歸的兩種思路：一是綜合法，按照“作—證—算”的步驟，將立體幾何問題平面化，最終將問題轉化為解三角形的問題;二是向量法，建立合適的空間直角坐標系，將圖形關系轉化為坐標運算.

總之，立體幾何是培養學生空間想象能力、推理論證能力，發展學生直觀想象、邏輯推理和數學抽象素養的有力工具. 高考對立體幾何知識的考查經久不衰，且始終緊緊圍繞綜合法和向量法設計試題，需要有針對性地擇優而用. 同時，復習中應充分意識到對學生空間想象能力的培養非一日之功，可借助實物模型、計算機作圖軟件等輔助工具，使學生逐步感受由粗到細、由表及里、由淺入深、從整體到局部、從具體到抽象的發展過程.

參考文獻：

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