2020年高考“不等式”專題命題分析

房增軍

摘 ?要：通過(guò)對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)試卷中不等式內(nèi)容的梳理和不等式典型試題的評(píng)析，研究這一專題內(nèi)容的命題規(guī)律，提出相應(yīng)的復(fù)習(xí)建議，為2021年高考備考提供幫助.

關(guān)鍵詞：不等式;考查內(nèi)容;命題思路;復(fù)習(xí)建議

在2020年全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)試卷中，不等式依然是重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一. 對(duì)這部分內(nèi)容的考查，各份試卷均體現(xiàn)出題型穩(wěn)定、難度適中的特點(diǎn)，既考查了基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力，又關(guān)注了核心素養(yǎng);既突出了基礎(chǔ)性、綜合性，又適度體現(xiàn)了創(chuàng)新性. 考查方式主要是通過(guò)與其他知識(shí)的交會(huì)，重點(diǎn)考查不等式的基本運(yùn)算、基本性質(zhì)和基本應(yīng)用.

一、考查內(nèi)容分析

1. 題量和分值

在大部分試卷中，涉及不等式內(nèi)容的試題有4～5道，分值大多在20～25分. 對(duì)不等式內(nèi)容的考查，一般與其他知識(shí)融合在一起，幾乎涉及到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié). 在解答題中，不等式內(nèi)容大多都是一個(gè)考點(diǎn).

在13份高考數(shù)學(xué)試卷中，全國(guó)Ⅰ卷文科卷中不等式內(nèi)容所占的分值比例最小，約15分;題量和分值所占比例最大的是浙江卷和天津卷，這兩份試卷中不等式內(nèi)容所占分值都在30分左右.

2. 考查內(nèi)容

不等式部分考查的主要內(nèi)容有：與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)相結(jié)合考查比較兩個(gè)數(shù)的大小;通過(guò)具體實(shí)例考查不等式的性質(zhì);與集合相結(jié)合考查簡(jiǎn)單不等式的解法;與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相結(jié)合解含參數(shù)的不等式;求解簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題;利用基本不等式求函數(shù)或變量的最值;由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍等. 在考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的同時(shí)，也考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 在解答題中多與函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合命題，涉及含參數(shù)不等式的求解、不等式證明、函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí).

3. 試題類型與難度

選擇題、填空題和解答題中都有對(duì)不等式進(jìn)行考查的試題. 選擇題和填空題以中、低檔試題為主，主要是與集合運(yùn)算、函數(shù)的基本性質(zhì)等知識(shí)或數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合，個(gè)別試題考查含參數(shù)的不等式問(wèn)題，其中與函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合的試題難度相對(duì)較大;解答題則主要是與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列相結(jié)合命制壓軸題，具有一定的綜合性，難度較大.

4. 文、理科的差異

全國(guó)Ⅰ卷、全國(guó)Ⅱ卷和全國(guó)Ⅲ卷對(duì)不等式內(nèi)容的考查，文、理科均有一定的差異. 例如，全國(guó)Ⅰ卷理科卷的選擇題和填空題中有3道試題考查不等式相關(guān)內(nèi)容，文科卷中僅有2道;全國(guó)Ⅱ卷理科卷的選擇題和填空題中有3道試題與不等式相關(guān)，文科卷中卻有5道. 涉及不等式的中檔以上的試題，多數(shù)試卷都通過(guò)設(shè)置不同的試題或者設(shè)計(jì)姊妹題的方式，降低文科中不等式相關(guān)試題的難度.

二、命題思路分析

在2020年的13份高考數(shù)學(xué)試卷中，與不等式相關(guān)的試題在保持穩(wěn)定的同時(shí)，又有適度的創(chuàng)新. 下面按照13份試卷中涉及不等式的試題類型，分別對(duì)其命題思路進(jìn)行分析.

1. 考查不等式的解法

不等式的解法是不等式部分的重要內(nèi)容，每年的高考試題中都有考查. 與集合的運(yùn)算相結(jié)合進(jìn)行考查的試題，基本上都出現(xiàn)在選擇題中，試題比較基礎(chǔ). 全國(guó)Ⅰ卷文（理）科、全國(guó)Ⅲ卷理科、天津卷都在選擇題中直接考查了不等式的解法，以一元二次不等式為主. 這類試題主要考查學(xué)生對(duì)一元二次不等式解法的掌握情況，考查學(xué)生相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力，以及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力. 這幾份試卷中所涉及的一元二次不等式都能在教材的例題、習(xí)題中找到原型. 對(duì)不等式解法的考查，也體現(xiàn)在指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式等相關(guān)知識(shí)中，而作為工具，在解答題中求解變量的取值范圍也不可避免地要涉及到不等式的解法.

2. 考查不等式的性質(zhì)

學(xué)生需要理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì). 與不等式相關(guān)的選擇題大多涉及不等式的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)的掌握情況. 其中，例5、例6是對(duì)不等式性質(zhì)的直接考查，屬于基礎(chǔ)題;例7是對(duì)基本不等式形式的考查;在例8對(duì)不等式性質(zhì)的考查中，綜合了基本不等式、指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，注重命題的創(chuàng)新，令人耳目一新，這是新高考數(shù)學(xué)命題的方向，值得關(guān)注.

3. 考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

線性規(guī)劃問(wèn)題所考查的內(nèi)容比較基礎(chǔ)，考查方式比較固定，在全國(guó)Ⅰ卷、全國(guó)Ⅱ卷、全國(guó)Ⅲ卷、浙江卷、上海卷中都有所涉及，基本上沒(méi)有與其他知識(shí)進(jìn)行融合. 主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中已經(jīng)刪除了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，因此在北京卷、天津卷、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷中都沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行考查，涉及線性規(guī)劃內(nèi)容的試題也只是以知識(shí)點(diǎn)覆蓋為主，并沒(méi)有拓展創(chuàng)新的意向. 針對(duì)這類試題，學(xué)生可以先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

4. 考查比較大小

比較大小是高考的常考題型，常常與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等相結(jié)合進(jìn)行命制. 當(dāng)利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，通常利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷. 例12和例13體現(xiàn)了文、理科考查的差異，難度上理科明顯高于文科. 例13通過(guò)比較數(shù)值的大小，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題. 例12考查比較法，運(yùn)用基本不等式比較兩個(gè)數(shù)的大小，進(jìn)一步考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化. 該題考查了對(duì)數(shù)式的大小比較和換底公式，涉及基本不等式、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，借助中間量比較大小，綜合考查推理能力，屬于難題，有創(chuàng)新導(dǎo)向. 例14考查指數(shù)冪和對(duì)數(shù)值的大小比較，涉及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5. 考查基本不等式

學(xué)生需要理解基本不等式[ab≤a+b2 a>0，b>0，]能夠結(jié)合具體實(shí)例，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題. 基本不等式是不等式中的核心內(nèi)容，也是高考的高頻考點(diǎn)，幾乎在每份試卷中都是重點(diǎn)考查內(nèi)容. 在選擇題和填空題中，一般以直接考查為主;而在解答題中，利用基本不等式求最值往往作為解答過(guò)程的一個(gè)環(huán)節(jié)，在求變量的最值和恒成立問(wèn)題中，基本不等式是考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 例15考查了求雙曲線焦距的最小值問(wèn)題，該題所設(shè)計(jì)的運(yùn)用基本不等式求最值的方法，是解題過(guò)程中最重要的一環(huán);而例16、例17則是直接考查利用基本不等式求最值. 要熟記公式，同時(shí)還要掌握其變形及逆用.

6. 考查函數(shù)性質(zhì)與不等式的結(jié)合

不等式恒成立問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，常在壓軸題中出現(xiàn). 解答題命題通常結(jié)合二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等考查參數(shù)的取值范圍、最值、函數(shù)零點(diǎn)，以及不等式證明等. 由于存在參數(shù)，需要分類討論，有較強(qiáng)的綜合性，難度較大，因此經(jīng)常以此提高試卷的區(qū)分度. 分離參數(shù)法是解決恒成立問(wèn)題最常用的方法，常結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及基本不等式等解題. 如果不能分離參數(shù)，一般采用分類討論的方法，分類要恰當(dāng)、嚴(yán)謹(jǐn)，討論要做到不重、不漏.

例22主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)分類討論思想的掌握情況. 例23考查抽象函數(shù)的恒成立問(wèn)題，以及對(duì)數(shù)學(xué)的理解. 例24三步設(shè)問(wèn)，層層遞進(jìn)，考查二次函數(shù)在R和給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法. 試題有明確的幾何意義，屬于綜合性難題.

三、復(fù)習(xí)建議

1. 立足教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

對(duì)于數(shù)學(xué)能力的考查增加了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的要求，在復(fù)習(xí)不等式時(shí)，應(yīng)該抓牢基礎(chǔ)，并結(jié)合“一核”“四層”“四翼”的新高考評(píng)價(jià)體系要求，立足教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，重視教材中的例題和習(xí)題，做到融會(huì)貫通、舉一反三. 教材是高考考試內(nèi)容的具體化，是學(xué)生解題能力的基本生長(zhǎng)點(diǎn). 不等式是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，與其他知識(shí)聯(lián)系緊密，將教材知識(shí)連接成為一個(gè)完整的系統(tǒng). 掌握不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，有利于學(xué)生解決不等式的綜合問(wèn)題，為整體復(fù)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

對(duì)不等式相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)要以常規(guī)題為主，對(duì)通性、通法進(jìn)行訓(xùn)練，淡化技巧性要求. 同時(shí)，要適當(dāng)對(duì)教材中的典型例、習(xí)題進(jìn)行變式、引申和推廣，從而提高學(xué)生的解題能力.

2. 研究高考，關(guān)注變化

隨著《標(biāo)準(zhǔn)》的頒布，新高考對(duì)不等式部分的要求也發(fā)生了變化，刪除了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、推理與證明、不等式選講等內(nèi)容，試題形式也有所創(chuàng)新，考查方式也更加靈活，這是新高考的總體導(dǎo)向. 在復(fù)習(xí)備考中，教師要及時(shí)關(guān)注這些變化，加強(qiáng)研究，細(xì)心推敲每份高考試卷中對(duì)不等式相關(guān)內(nèi)容的考查方式，關(guān)注相同點(diǎn)，甄別不同點(diǎn)，突出主干知識(shí)，把握命題方向，指導(dǎo)后續(xù)復(fù)習(xí). 根據(jù)這些變化加強(qiáng)針對(duì)性訓(xùn)練，將涉及不等式的典型高考試題、疑難問(wèn)題分類講解，讓學(xué)生感悟并概括某一類問(wèn)題的解題思路，消除畏難情緒，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn).

3. 注重聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

從以上高考試題中不難發(fā)現(xiàn)，高考對(duì)不等式內(nèi)容的考查，更多的是與其他知識(shí)融合在一起，突出不等式的工具性. 在不等式內(nèi)容的復(fù)習(xí)備考中，一定要注重多聯(lián)系其他知識(shí)，把不等式作為一種解決問(wèn)題的重要工具，在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量、三角函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線等各個(gè)不同的知識(shí)情境中反復(fù)應(yīng)用，重點(diǎn)強(qiáng)化對(duì)不等式基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

要重視函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類與整合思想等在解決不等式問(wèn)題中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)意識(shí). 由于不等式應(yīng)用的廣泛性，在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，重要的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)常能夠起到關(guān)鍵性作用. 在日常訓(xùn)練中，要培養(yǎng)學(xué)生在整體高度上思考試題涉及了哪些數(shù)學(xué)思想和方法，這些思想方法起到哪些作用，在什么情況下可以運(yùn)用這些方法等，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的意義.

四、模擬題欣賞

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.