淺析數學學習中的分類討論思想

林金山

[摘? 要] 初中數學學習的過程就是不斷運用數學思想進行觀察、分析、比較、判斷、概括和推理的過程. 分類討論思想作為數學思想中的一個分支，具有幫助學生構建數學概念，積累數學經驗，樹立正向的數學觀的作用. 文章從圖形問題、方程問題和實際問題三個角度淺析分類討論思想在解題中的應用.

[關鍵詞] 分類討論思想;方程;圖形;解題

所謂的分類討論思想是初中數學解題過程中常用的一種方法，主要考查學生在思考問題過程中的嚴謹性、邏輯性和全面性，一般需要運用這種方法的問題綜合性都比較強，有一定難度，在試卷中常作為壓軸題. 因此，運用此類解題思想的問題大多屬于區分學生層次的問題. 分類是指將數學現象的異同點，使用各種分類的辦法進行區分，學生在分類過程中感知分類方法及分類思想，感悟分類的本質，加深對知識的理解程度，從而提高解題能力. 其中特別要注意的是分類必須無重復、無遺漏，確保考慮的周全.

分類涉及面及分類原則

想要學好數學，首先要有良好的數學思想，數學思想就是數學學習的靈魂. 其中分類討論思想是數學思想中的重要思想之一，在初中數學學習中起著舉足輕重的作用. 而初中階段涉及分類討論思想的知識點主要有以下三個類別：第一是代數類，其中的方程、絕對值和根的概念，函數部分的概念及坐標所在象限等均有涉及;第二是幾何類中的圖形位置及對應關系，相似或全等類情況;第三是代數與幾何的綜合運用類題型. 分類過程中要遵循以下原則：一是分類的各個部分互相獨立;二是統一分類標準;三是分類需逐級有序地進行;四是常以公式、性質或定理等條件作為分類的標準.

例析分類討論思想的運用

1. 應用于幾何問題中

幾何圖形的學習中三角形作為基本圖形，是初中數學考核的重點之一. 尤其是相似、等腰三角形的問題常涉及分類討論思想的運用，以考查學生的數學思維和邏輯能力.？搖

案例1? 如圖1，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E，F兩點分別在AB，AC上，AD交EF于點H.

（1）求證： = ;

（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？請求出其最大值.

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度，沿射線QC做勻速運動（當點Q與點C重合時就停止運動），假設運動的時間是t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式.

分析? 該題的第（1）問很簡單，只需證明△AEF∽△ABC即可.

至于第（2）問，可根據第（1）問的結論，求出AH的長度為 x，EQ=8- x，矩形EFPQ的面積就是S=x8- x，經化簡整理，可得S=- （x-5）2+20，故當x=5時，S最大，為20.

第（3）問的難度要更大些，可以先求出EF=5，EQ=4，證明△FPC是等腰直角三角形，得PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9. 根據實際，從以下三種情況：0≤t<4，4≤t<5，5≤t≤9進行分類討論. 經討論可得以下幾種函數關系式：

當0≤t<4時，S=- t2+20;

當4≤t<5時，S=-4t+28;

當5≤t≤9時，S= （t-9）2.

此類題型都比較靈活，學生只有掌握分類討論的思想，將三角形的各個知識點結合在一起進行思考才能獲取解題的思路.

2. 應用于方程問題中

方程問題也是初中數學的重點內容之一，分類討論思想一般運用在帶參數的方程問題中.

案例2? 關于x的方程（m-4）x2-（2m-1）x+m=0，m為何值時，方程有實數根？

分析? 本題沒有具體闡述實數根的情況，實數根可能有一個或兩個. 因此，判斷此方程是一元一次方程還是一元二次方程是重要的一步，而判斷標準又由方程的系數來決定. 鑒于此，本題首先要分類討論的是未知數最高項系數m-4：

當m-4=0即m=4時，方程為一元一次方程-7x+4=0，求解，得一個實數根x= ;

當m-4≠0即m≠4時，方程是含有參數m的一元二次方程，根據一元二次方程有實數根，可得Δ≥0，即（2m-1）2-4（m-4）m≥0，解得m≥- .

因此，當m≥- 時，方程有實數根.

由本題可見，含有參數的方程用分類討論思想解題是最佳的途徑，可避免解題過程中因考慮不周全而出現失誤.

應用于實際問題中

數學學習的最終目的在于為生活實際服務. 怎樣利用所學的數學知識解決生活實際問題對于初中階段的學生來說有一定難度，將抽象的數學轉化為實際問題需要從多角度全面地思考問題. 學生的障礙主要表現在方案的選擇上，而分類討論思想對解決此類問題有很大的幫助.

案例3? 電吹風生產廠家有兩種型號的電吹風，A種定價為200元，B種定價為40元，受疫情影響，廠家決定開展一次促銷活動來促進消費，經討論后形成兩套促銷方案：第一種，買A送B;第二種，A，B兩種電吹風都打9折，但兩種促銷方案只能選擇一種. 一位經銷商計劃購買20個A種電吹風和若干個B種電吹風（超過20個），請問他應該選擇哪種促銷方案更劃算？

分析? 哪種方案更省錢跟購買電吹風的數量有關系，因為B種電吹風的數量是未知的，可將B種電吹風的數量假設為x個.

采用方案一所需的費用為：200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）;

采用方案二所需的費用為：（200×20+40x）×0.9=36x+3600（元）.

哪種方案更劃算一些，可進行分類討論：

若方案一劃算，40x+3200<36x+3600，解得20

若方案二劃算，40x+3200>36x+3600，解得x>100.

問題在分類討論中迎刃而解.

總之，分類討論思想在數學中運用較多，師生只有從思想上和行動上都高度重視這種解題思想，將它貫徹落實到各類解題中，通過反復訓練，才能運用自如. 用分類討論思想驅動數學解題，不僅表現在數學思維能力的提升，更表現在數學核心素養的提高.