初中二次函數動點問題解題策略研究

黃湖

[摘? 要] 近幾年，二次函數與動點相結合的試題是中考中的重要題型. 因為該類型的題目通常需要將二次函數與其他數學知識相結合，并且動點問題與不動點問題相比，需要考慮的方面更多，所以很多學生無法正確解答，這是現階段初中數學二次函數教學中一個十分常見的現象. 基于此，文章立足于數學教學的角度，分析了二次函數動點問題的解決方法，希望以下內容的研究具有一定參考價值.

[關鍵詞] 初中數學;二次函數;動點問題;解題方法

《義務教育數學課程標準（2011版）》中對數學教學提出了新的要求，在原有基礎知識以及基礎技能教學之上，又需要數學教師完成學生的數學思想及生活經驗教學，而如何通過數學知識以及教學活動完成上述教學目標成為廣大一線教師必須考慮的問題之一. 本文主要立足于二次函數知識，對較為典型的動點問題案例進行剖析，以求可以達到新課程標準的教學要求.

精心選題，相機引導

例題教學一直都是初中數學教師常用的一種重要教學方法，尤其是對于二次函數知識的講解有著重要輔助作用. 而為了保證教學質量，教師需要在課程開始之前做好例題的篩選，保證講解的例題具有代表性，同時，如果現有例題尚未達到教學要求，教師可以根據教學需求對例題進行適當改編，這也是一個優秀教師需要具備的技能之一. 就目前的教學情況而言，例題的優劣顯然會成為決定課堂教學質量的重要因素之一.

例題? 如圖1，現有一直線與直角坐標系交點為點A、點B，并與O點構成△ABO. 直線可以表示為“y=- x+1 ”. 之后以O點為圓點，轉動△ABO形成△CDO，此時點A，C，D都在拋物線“y=ax2+bx+c ”上，試求出以下問題答案.

（1）確定點A，B，C，D的準確坐標參數;

（2）求解二次函數表達式;

（3）在直線BG（G為拋物線頂點）上是否存在一點F，構成△ABF與△CDO相似，并且說明理由.

解：（1）根據圖形情況可以確定上述四點具體坐標.

（2）在確定A，C，D坐標之后，二次函數表達式呼之欲出，y=-x2+2x+3.

（3）如圖2所示，我們首先以頂點G為基準，向直角坐標系y軸作垂線，這樣就得到了點H，那么根據直角坐標系坐標以及勾股定理就可以知曉，GH=OB，BH=OA，GB=AB，所以∠GBA是一個直角，那么上述問題最終可以轉化為證明 = 或 = . 因此具體的解決方法將會有以下兩種情況.

①首先證明 = 的情況. 除了BF長度未知，其他線段長度均可以通過直角坐標計算得出，因此BF的最終長度應該是 . 那么我們以F為基準點，同樣向y軸作垂線，得出點N，此時將會有 = ，如果我們將點F的坐標設定為（x，y），那么NF=x= ，所以最終F點的坐標分為兩種情況，分別為 ，2，- ，0.

②接著證明 = 的情況，證明方法相同，此時的F點我們稱之為F ，因為BF=3，所以F 坐標為（3，10）.

得到的三種情況的F點坐標便是兩個三角形相似的所有可能性.

解析? 上述例題其實是一個十分典型的二次函數動點綜合問題，題干及問題簡單整潔，但是所考查的知識內容十分全面，不僅包含直角坐標系、二次函數，還包含圖形旋轉以及三角形. 想要正確解答上述例題，要求學生具備完善的數學思想，如數形結合及方程思想等. 三個問題相互關聯且層層遞進，第三個問題中的動點問題為學生與教師的研究、交流提供了穩定平臺.

點睛? 對上述例題內容進行分析可以發現，考查的主要內容集中于第三個問題，而面對動點存在與否，學生需要抓住一個關鍵點就是“找”. 簡單而言，學生首先需要確定的是動點是否存在，確定之后還要分析動點存在幾個，這其中需要學生合理應用定理以及公式，完成推斷并假設. 通常情況下，可以將上述整個流程確定為以下幾個步驟，第一步“設問”、第二步“尋找”、第三步“驗證”，這也是學生解題最為清晰的一種思路.

變式追問，互動生成

數學教學不單單是讓學生得出最終答案，最為主要的是讓學生“吃透”一類題型的特點以及原理，只有這樣學生在解決問題時才能得心應手，并且做到舉一反三. 而為達到上述目的，筆者認為教師可以采用“變式追問”的方法深化學生理解，提高學生認知. 筆者對例題的第三個問題進行改編，以求達到“變式追問”的目的.

1. 探究面積問題

變式1? 如圖3，在拋物線上有一動點M，并且這一動點僅存在于直角坐標系的第一象限內，那么當M在哪個位置時，以M，A，C為頂點的三角形面積最大？并且確定最大面積為多少.

首先我們對問題進行分析，有一動點M僅存在于第一象限內，并且需要求得與這一動點相關的三角形最大面積，因此應該確定M的坐標，此時我們姑且設定其坐標為（m，n），根據二次函數方程可以得出“n=-m2+2m+3”. 我們以M點為基點，向x軸作垂線，交線段AC于點G，交x軸于點H，那么解題方法可以有以下兩種.

方法1：如圖3所示，我們可以將目標三角形的面積表示為兩個三角形面積的和，也就是△CMG以及△AMG的面積和. 那么S = MG·OH+ MG·AH，這樣問題就迎刃而解了.

方法2：我們可以確定直線AC的函數方程，想要M點與A點、C點構成的三角形面積最大，就需要過M點的拋物線切線與AC相互平行，設定平行時的M點拋物線切線交y軸于點N，那么直線MN的函數方程則可以表示為y=-x+b，這樣可以確定x2-3x+b-2=0，b的最終結果為 ，這樣面積以及點坐標的求解就可以簡單完成.

2. 探究特殊三角形

變式2? 在拋物線的對稱軸之上有一個動點P，那么什么情況下，以P，C，D為頂點的三角形為等腰三角形？

根據二次函數基本性質，我們可以直接確定拋物線對稱軸的橫坐標，也就是“- =1”. 因此P點的坐標可以確定為（1，x），所以PD2，PC2，DC2都可以應用代數式進行表示，并且有PD2=x2+4，PC2=x2-6x+10，DC2=10. 因為是動點，所以存在以下幾種情況：

①如果PD與PC是三角形的兩個腰，那么就會有PD2=PC2，最終確定x的值為1.

②如果PD與DC是三角形的兩個腰，同樣成立PD2=DC2，最終確定x的值為± .

③如果PC與DC是三角形的兩個腰，同樣成立PC2=DC2，最終確定x的值為0或6，但是當x數值等于6時，三點無法構成一個三角形，所以該結果不成立.

所以最終求解的動點P應該有四種可能性.

綜上所述，二次函數的動點問題十分具有教學代表性，廣大教師不能僅僅將其看作是一種類型題，而是應該基于該種題目，挖掘題目內在的教學作用. 只有這樣學生才能獨立形成完整的數學思維，進而達到舉一反三的效果. 并且教學過程中，教師的引導十分重要，從人文角度出發，教師應該給予學生更多的自信心.