整體視角，等價轉(zhuǎn)換，突破難點(diǎn)

韓江 過小明

[摘? 要] 文章研究了2019年鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)第28題. 以線段示意圖為始，利用整體視角、等價轉(zhuǎn)換突破難點(diǎn)、悟透問題，并將問題推廣到一般情形. 在此題的解決過程中，整體視角和等價轉(zhuǎn)換是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵思想方法.

[關(guān)鍵詞] 整體視角;等價轉(zhuǎn)換;中考數(shù)學(xué)

“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同. ”每年中考季都會涌現(xiàn)一批形式新穎、構(gòu)思巧妙、立意高遠(yuǎn)的優(yōu)秀試題，這些試題凝聚了各地中考命題專家的智慧和心血，是廣大一線數(shù)學(xué)教師研究數(shù)學(xué)問題、提升自身修為的優(yōu)質(zhì)素材. 筆者最近研究了2019年鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)第28題，經(jīng)歷初思陷入迷茫、再思略見曙光、深思撥云見霧的過程，以線段示意圖為始，利用整體視角、等價轉(zhuǎn)換突破難點(diǎn)、悟透問題，頗有收獲，現(xiàn)與同行分享.

題目呈現(xiàn)

試題？搖 學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動. 在相距150個單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A，B之間. 機(jī)器人乙同時從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B，A之間. 他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時忽略不計(jì). 興趣小組成員探究這兩個機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種.

【觀察】①觀察圖1，若這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為______個單位長度;

②若這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為40個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為______個單位長度.

【發(fā)現(xiàn)】設(shè)這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個單位長度，他們第二次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個單位長度. 興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖像（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2）.

①a=______;

②分別求出各部分圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像.

【拓展】設(shè)這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個單位長度，他們第三次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個單位長度. 若這兩個機(jī)器人第三次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個單位長度，則他們第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是______. （直接寫出結(jié)果）

解法分析

本題對學(xué)生的閱讀理解能力、抽象概括能力、等價轉(zhuǎn)化能力有較高要求，主要考查了一元一次方程、一次函數(shù)、一元一次不等式、分類討論思想等初中數(shù)學(xué)核心知識與思想方法，具有明顯的區(qū)分度. 本題的思維起點(diǎn)在“【觀察】”，如果我們能夠正確理解題意、研究清楚“【觀察】”，那么整個問題就可以迎刃而解. 下面，談一談筆者對本題的三個層次的思考.

1. 初思，陷入迷茫

初次思考：“【觀察】”①問是一個典型的行程問題，主要涉及路程、速度和時間三種量，又有甲、乙兩個研究對象，題目情境雖熟悉但探究內(nèi)容較復(fù)雜. 已知A，B兩地之間的距離是150個單位長度，第一次迎面相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A相距30個單位長度，甲、乙運(yùn)動速度與運(yùn)動時間均未知，求第二次迎面相遇時相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離.

分析方法：線段示意圖.

因?yàn)榈谝淮蜗嘤鰰r，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A 相距30個單位長度，所以第一次的相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B相距150-30=120個單位長度. 由此可知甲、乙速度之比為1 ∶ 4，即相同時間下，甲、乙路程之比為1 ∶ 4. 設(shè)甲的速度為v，則乙的速度為4v. 所以甲從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時間是 ，乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用的時間為 = . 又 > ，因此第二次迎面相遇時，甲還未到達(dá)點(diǎn)B.？搖？搖？搖？搖？搖

設(shè)第二次迎面相遇時相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個單位長度. 根據(jù)“相同時間下，甲、乙路程之比為1 ∶ 4”，并結(jié)合圖3，得30+150+（150-m）=4（m-30），解得m=90.

用此法亦可得“【觀察】”②問m=120. 但如果仍用相同的方法探究“【發(fā)現(xiàn)】”和“【拓展】”，顯得瑣碎又麻煩，筆者此時陷入迷茫，準(zhǔn)備再次思考.

2. 再思，略見曙光

再次思考：用具體的速度和時間來考慮“【發(fā)現(xiàn)】”問，顯得比較“碎”，能否從“整體”的視角來處理該問？因?yàn)榧椎乃俣?乙的速度，所以0

從“整體”的視角來處理，“【發(fā)現(xiàn)】”問順利解決. 此時略見曙光，繼續(xù)思考“【拓展】”問，但用線段示意圖探究第三次迎面相遇時甲、乙的路程之和，又略顯吃力，筆者繼續(xù)陷入沉思.

3. 深思，撥云見霧

深入思考：筆者仍然畫出線段示意圖（如圖5）. 看到畫出的圖形以后，筆者腦中突然靈光乍現(xiàn)，這個問題難道不是與環(huán)形跑道問題相像嗎？由于只考慮迎面相遇，所以這個問題就等價于環(huán)形跑道中的相遇問題，于是筆者畫出環(huán)形跑道示意圖（如圖6）.

根據(jù)圖6，第一次迎面相遇時，甲、乙的路程之和是150個單位長度;第二次迎面相遇時，甲、乙的路程之和是450個單位長度;第三次迎面相遇時，甲、乙的路程之和是750個單位長度;……;第n次迎面相遇時，甲、乙的路程之和是[150+300（n-1）]個單位長度.

？搖？搖因?yàn)?50÷150=5，所以第三次迎面相遇的時間是第一次迎面相遇時間的5倍. 因此第三次迎面相遇時，甲所走的路程是5x個單位長度. 因?yàn)?

利用環(huán)形跑道模型分析問題，抽絲剝繭，撥云見霧，徹底將本題分析透徹.

解后感悟

筆者首先借助線段示意圖分析，用常規(guī)的方法解決“【觀察】”問，再從整體視角優(yōu)化解法，最后將線段形行程問題等價轉(zhuǎn)化成環(huán)形跑道問題，經(jīng)歷陷入迷茫、略見曙光、撥云見霧的心路歷程，打通所有關(guān)節(jié)點(diǎn)，最終順利完成整個問題的解決，并將問題推廣到一般情形，即第n次迎面相遇. 在本題的解決過程中，整體視角和等價轉(zhuǎn)換是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵思想方法. 整體思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師在平時的教學(xué)中要有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從整體視角分析問題、解決問題，這不僅有助于學(xué)生找到解決問題的便捷方法，而且有助于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì). 在數(shù)學(xué)問題的探究過程中，經(jīng)常會遇到陌生的、未知的、復(fù)雜的問題，通過等價轉(zhuǎn)換，可以將陌生的化為熟悉的，將未知的化為已知的，將復(fù)雜的化為簡單的. 可以這樣說，數(shù)學(xué)解題過程就是一個不斷等價轉(zhuǎn)換的過程.