撥開云霧，探究本源,打造高效課堂
——以平行線證明為例

高海強

(重慶市云陽縣紅獅初級中學 重慶 云陽 404511)

對待數學教學中所設置的情景，不僅要探索解決它的途徑，給出它的嚴格證明，而且還應該繼續深入思考，并作多方面的探索。例如，同樣條件尋求可能出現的多種結論，以廣開思路，增強分析和解決問題的能力；溯源探幽，以弄清問題產生的“來龍”；推廣題意，以看出問題發展的“去脈”；因為弄清問題的“來龍去脈”，正是理解深入的標志之一。進而適當變換題目的形式和條件，為靈活運用奠定基礎，再廣泛聯想，從橫向對比中挖掘出聯系，真正的究其本源，達到高效。

1.設置情景，廣開思路，培養發散思維

對于同一個問題，改變題目中某些條件，結論有什么變化呢？這樣既能廣開思路，以收到培養發散思路之效，又能幫助學生加深對問題的認識。因為同一情景素材，條件略有改動，結論又有什么變化規律呢？往往是從各自的側面，相異的渠道反映出，條件與結論之間的聯系。對此，不妨看如下情景材料：

例1、如圖：已知，AB∥CD,求證：________(猜想結論，并給予證明.)

當E點在平行線AB與CD之間時，如圖3，則：∠B+∠D=∠BED。

證明：過點E作EF∥AB,則有EF∥CD .

∵EF∥AB(作圖)

∴∠B =∠1(兩直線平行，內錯角相等.)

∵AB∥CD , EF∥AB

∴EF∥CD(平行公理的推論)

∴∠D =∠2(兩直線平行，內錯角相等.)

∴∠BED =∠1+∠2 =∠B+∠D

即：∠B+∠D =∠BED

(2)當點E在E1或E5時，如圖4，結論相似，即：∠1 =∠D,∠2 =∠B .

證明：∵AB∥CD (已知)

∴∠1 =∠D,∠2 =∠B (兩直線平行，內錯角相等.)

(3)當點E運動到E2或E4的位置時，如圖5,結論相似,即：

∠2 =∠3+∠4 ，∠7 =∠5+∠6 .

證明：∵AB∥CD (已知)

∴∠1 =∠2(兩直線平行，內錯角相等。)

∵ ∠1=∠3+∠4(三角的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和)

∴∠2=∠3+∠4

同理：∠7=∠5+∠6

(4)當點E運動到E3時，如圖6，則：∠B+∠E+∠D=360°

證明：過E3作E3F∥AB,由平行公理的推論可得，E3F∥CD 。

∵E3F∥AB,

E3F∥CD，

∴∠1+∠B=180°，

∠2+∠D=180°(兩直線平行，同旁內角互補。)

∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°

即：∠B+∠E+∠D=360°

(5)當∠BED=90° ,BF是∠ABE的平分線，DF是∠CDE的平分線，如圖7，則：

∠F= 1/2∠BED=45°

證明：過F作FG∥AB,由平行公理的推論可得，FG∥CD 。

∴∠1 =∠2 ，∠3 =∠4,(兩直線平行，內錯角相等。)

∴∠BFD =∠2+∠3 =∠1+∠4 ,

又由(1)∠BED =∠ABE+∠CDE ，

∵∠BED =90° ，∴∠ABE+∠CDE=90° (等量代換)。

∵∠1= 1/2∠ABE , ∠4= 1/2∠CDE(角平分線的定義)，

∴∠1+∠4 = 1/2 ∠ABE+ 1/2 ∠CDE

= 1/2 (∠ABE+∠CDE)=45°

即：∠BFD =1/2 ∠BED=45°

2.溯源探幽，弄清問題的“來龍”；變形推廣，看出問題的“去脈”

對于“一元二次方程根的判別式”來說，教師在講完新知以后，可以安排學生進行“實戰演習”，即用根的判別式去判別方程的情況.為了進一步加深學生的理解運用，教師除了要讓學生判別“x2-2x+5=0”這樣的完整的實數方程以外，也要讓學生嘗試去判別一些帶字母的方程式，如“(2m2+1)x2-2mx+5=0”，這樣的式子需要學生進一步開動腦筋，運用自己的理性思維去判別不同取值范圍下方程根的分布情況.總之，習題的設置既要幫助學生對所學內容進行鞏固，還須有一定的延伸拓展，能發展學生的抽象思維。

總之，我們在數學教學中應合理、科學地設置情景，讓學生探索結論，并對此進行證明。從而讓學生弄清問題的“來龍去脈”，甚至由此發現巧妙的解法，以及有趣的結論，達到舉一反三的效果，同時以培養學生能提出數學問題，解決數學問題的能力。