在比較中探索算理 在實踐中深化算法

屠明杰

摘要：“除數是一位數的筆算除法”是多位數除法的基礎，在日常生活中有廣泛的應用。筆算除法與筆算加、減、乘法有很大的差異。算理是計算過程中的道理，解決“為什么這樣算”的問題，算法是計算的方法，解決“怎樣算”的問題。如何在多種方法的比較溝通中，幫助學生深入理解筆算除法的算理，掌握筆算除法的算法，筆者對本課進行了實踐和思考。

關鍵詞：筆算除法;算理;算法;小學數學

“筆算除法”是人教版小學數學三年級下冊第二單元《除數是一位數的除法》的內容。本單元主要包括口算除法、筆算除法和用估算解決問題三部分，其中“筆算除法”是本單元的教學重點。本課是在學生已經掌握表內乘法，能正確地口算100以內加、減法及有余數除法的口算基礎上進行學習的。它既是表內乘法及口算除法的進一步發展，又是進一步學習除數是兩位數、多位數除法的重要基礎，起著承上啟下的作用。本課的教學目標為：讓學生經歷一位數除多位數筆算的探索過程，掌握一般的筆算方法，能正確地計算一位數除多位數，并能用乘法驗算。使學生能夠積極參與探索算法和解決問題的活動，同時培養學生認真計算、書寫工整的習慣。

一、嘗試解答，參與探究

學生的學習過程是一個認知的過程，也是一個探索的過程。有效的數學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體。本單元從一開始就用具體熟悉的情境（分書）人手，在對情境中數學信息的分析的基礎上引出問題，讓學生理解計算是解決問題的方法，產生計算的需要，從而形成學習的內部動機。

師：這里有8本美術書要平均分給4個班，每個班可以得到幾本？

生：2本。

師：那如果是80本書平均分給4個班呢？

生：20本，因為8÷4=2，所以80÷4=20n

師：那我們在分80本書的時候是一本一本分嗎？

生：不是。我們可以十本十本分，每個班級分到2個十本。

師板書：8個十除以4是2個十，就是20。

接著讓學生分800本書。

生：一百一百地分，8個百除以4，每個班得到2個百，就是200。

接著讓學生分120本書。

生：如果要一百一百地分，只有1個百不夠分，就把120看作12個十，12個十除以4等于3個十，就是30。

學生有了分書的感受，對口算除法中為什么可以先不看被除數后面的0有所感受，從而在探究過程中逐漸理清事物的本質。然后，學生展示自己的想法，全班交流，使他們在民主寬松的情境下自我檢查反思，逐步體驗成功，增強自信心。

二、比較聯系，理解算理

本單元的計算教學多是在學生原有的知識基礎上進行的，數學知識在內容上包含了深刻的思維和豐富的知識，在學習過程中學生會出現思維斷層。因此要找準新舊知識之間的聯系，多采用對比的方式促進知識的遷移類推，促進學生的有效發展。在講授筆算除法第一個例題時，繼續沿用分書的情境：42本書平均分給2個班，每個班可以分到幾本？讓學生先獨立思考，并用自己的方法把答案算出來。課堂展示的四種方法是逐漸遞進、不斷上升的。

（一）對比：方法一與方法三

師：看看它們之間有什么聯系和相同的地方？

（師指方法一中的“21”，是怎么算出來的）

生：二二得四，一二得二，我能想到2乘21會得到42。

師：方法三里下面一個42怎么得來的？

生：2×21。

師：它們都表示什么意思？

生：2個21。

（二）對比：方法二與方法四

這兩種方法是新舊知識之間的跨越，從橫式出發引導學生尋求豎式中的對應數位。學生質疑“20在除法豎式中的哪兒？”使得溝通不再停留于表面，而是將溝通融人一個整體，“2在十位上，表示2個十”體現的是豎式中位值制的原則，“2個十乘2就是4個十，所以是40，在對應的數位下面寫好4，表示分掉4個十。”可見口算與豎式算理是一樣的，只是形式不同。這樣指引學生感悟橫豎式之間的內在聯系，將其延伸至思維深處。

（三）對比：方法三與方法四

師：仔細觀察，比一比這兩個豎式一樣嗎？哪里不一樣？

生：少了一層樓。

師：為什么方法四還要多蓋一層樓呢？

生：方法四體現了分的過程，方法三其實是直接想到了答案寫在上面，和口算沒什么區別。

師：我們能不能把方法四直接簡寫成方法三的形式？

生：不可以，如果遇到復雜的，不能直接想出答案，就不能一層樓解決了。

師：是的，在我們以后學到被除數、除數的位數更多的除法時，會更加體會到這一點，需要我們一步步除，一步步分，最后求出答案。

師：像這樣用豎式計算的除法，就是我們今天要學習的筆算除法。（揭題）

這兩種豎式方法，學生很清楚地發現少了一層樓的步驟，那么關鍵問題“下面一層能省去嗎？”揭示了問題的本質，這是除法算理的體現，適用于每一道筆算除法的通用的規范格式。

相對于加法、減法和乘法，筆算除法總顯得比較另類，前者的筆算都是從個位算起，而除法卻要從高位算起。這是對學生先前學習經驗的挑戰，這個教學過程中不僅要讓學生掌握筆算除法的過程、理解每個步驟的算理，還要體會到規范豎式的優勢。

三、循理入法，明確算法

（一）強化算法，規范語言

教師帶領學生規范書寫，規范的書寫格式可以表達學生的運算思路和計算方法、步驟，防止錯寫漏寫數字和運算符號，同時引導學生完整敘述筆算過程。先讓幾個語言表達能力強、思維敏捷的學生說，接著同桌相互說，這樣多次敘述算法，避免了豎式計算開始就出錯的現象，很好地強化了算法。

（二）知識遷移，類推算法

在完成兩位數除以一位數的基礎上，出示三位數除以一位數的筆算，讓學生獨立嘗試解決。這樣在原有兩位數除以一位數除法的基礎上，推動新知識的學習，不僅可以取得事半功倍的教學效果，還能調動學生學習的積極性，讓他們學會如何探究，形成遷移類推的思想和方法。

（三）歸納提升，形成模型

組織學生回顧用豎式計算的步驟、方法，討論交流“筆算除法要怎么算？”。學生發現在除任意一位的時候，都要經歷“除、乘、減”這三步，并且完成這三步以后要把被除數的下一個數“落”下來，繼續除。學生整理出了“除、乘、減、落”這樣的步驟以后，每算一層都按這樣的順序重復去做，思路就比較清晰了。教材并未給出文本法則，意味著教學時無須學生機械記憶，而要把重點放在引導學生基于個體經驗進行適當的歸納總結，使得原有的計算經驗更加清晰。

四、強化練習，提高質量

教師要遵循學生的認知規律，適當地運用基本練習、改錯練習、綜合練習等，滿足各層次學生的需要，使每個層次的學生都有事可做。

（一）抓住易錯知識，突出針對性

針對學生易錯的或者預測學生可能會錯的的題設計針對性練習，幫助學生真正掌握算法。在小結注意點時，提醒學生如果有余數要余著繼續算，如果不能整除，要想最大能商幾，這樣才能保證余數要比除數小，每一步要算清楚算完整。通過這樣針對性的練習，幫助學生掌握“筆算除法”的算法，避免學生在算法上出現的錯誤，使教學獲得較好的效果。

（二）訓練計算速度，關注開放性

在基本練習的基礎上，設計答案不唯一的開放題，學生自主探索不同的除法豎式，有利于開拓學生思路，展開發散思維，培養學生的創新意識。同時也有利于訓練計算的速度，比比看，誰編得又多又對。

（三）加強理法聯系，重視應用性

這道題需要綜合運用一位數的乘、除法知識，第（1）小題學生一般會用逐一嘗試的方法，由能否正好除盡得到整數商來判斷。教師可引導學有余力的學生觀察題目中數據的特點，應用基本的乘、除法口算做出判斷。例如，根據125的個位數是5，判斷出文具的單價不可能是8元，然后通過筆算進行驗證。讓學生體會這種先通過口算或估算找到解題思路，最后用筆算來驗證的解題方法，提高學生解決問題的能力。

算理為計算提供正確的思維方式，保證計算的合理性和正確性，算法為計算提供快捷的操作方法，提高計算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探析有助于學生探索算法、掌握算法。在小學數學課程中，計算教學占據著較大的比重。新課程視野下的計算教學雖然在具體的要求與處理上有了一些實質性的變化，但只要把握好“算理”和“算法”這兩條主線，努力踐行新課程的教學理念，就會達到筆算除法教學的理想狀態。