金中平

[摘要]計(jì)算能力是學(xué)生思維能力的載體。要提高學(xué)生的計(jì)算能力，就要先弄清楚支撐這一能力的著力點(diǎn)。如果把學(xué)生的計(jì)算能力看作一座大廈，那么20以?xún)?nèi)的加減法、表內(nèi)乘法以及計(jì)算策略就是它的基石。

[關(guān)鍵詞]計(jì)算能力;支撐點(diǎn);算理;計(jì)算策略

[中圖分類(lèi)號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）29-0076-02

計(jì)算能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基石，是學(xué)生思維能力的載體，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有力保障。課程標(biāo)準(zhǔn)在“數(shù)與代數(shù)”板塊對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力也提出了明確的要求，且每一個(gè)學(xué)段的達(dá)成目標(biāo)都有具體的細(xì)化。計(jì)算能力主要考查兩個(gè)維度：計(jì)算的準(zhǔn)確率和計(jì)算的速度。如果把學(xué)生的計(jì)算能力看作一座大廈，那么20以?xún)?nèi)的加減法、表內(nèi)乘法以及計(jì)算策略就是它的基石。

一、20以?xún)?nèi)的加法和減法

數(shù)數(shù)、數(shù)的分與合是學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)加減法的“原材料”，順著數(shù)是構(gòu)建加法，倒著數(shù)是構(gòu)建減法。“萬(wàn)丈高樓起于壘土”，20以?xún)?nèi)的加減法是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)計(jì)算最基本的支撐。

1.20以?xún)?nèi)的加法

加法是四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，20以?xún)?nèi)的加法就是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)。20以?xún)?nèi)的加法在學(xué)習(xí)“數(shù)數(shù)”和“數(shù)的分與合”的基礎(chǔ)上分三個(gè)層次遞進(jìn)學(xué)習(xí)：10以?xún)?nèi)的加法，十幾加幾（不進(jìn)位），20以?xún)?nèi)的加法（進(jìn)位）。“數(shù)數(shù)”的能力很重要，加法的核心就是加l。10以?xún)?nèi)的加減法和十幾加幾（不進(jìn)位）的內(nèi)容不難，學(xué)生易于掌握。20以?xún)?nèi)的加法（進(jìn)位）難度加大，這里運(yùn)用了湊整的數(shù)學(xué)方法——湊十法。而后續(xù)學(xué)生還將學(xué)習(xí)兩位數(shù)加兩位數(shù)、多位數(shù)相加、小數(shù)加法、分?jǐn)?shù)加法、簡(jiǎn)單的同類(lèi)項(xiàng)合并等。

兩位數(shù)加兩位數(shù)，比如45+38，在計(jì)算時(shí)要做兩個(gè)運(yùn)算——5+8和4（個(gè)十）+3（個(gè)十）+1（個(gè)十），5+8是20以?xún)?nèi)的進(jìn)位加，4+3+1是10以?xún)?nèi)的加法。多位數(shù)相加和小數(shù)加法只不過(guò)是計(jì)數(shù)單位在進(jìn)一步擴(kuò)展，每一個(gè)數(shù)位上的運(yùn)算都是一次20以?xún)?nèi)的加法運(yùn)算（相同計(jì)數(shù)單位的累加），分?jǐn)?shù)加法中“分母不變、分子相加”也是分?jǐn)?shù)單位的累加。在筆算乘法時(shí)把乘得的積相加，每一個(gè)相同數(shù)位上的數(shù)字相加，仍然是做20以?xún)?nèi)的加法。

“湊十法”是學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)進(jìn)位加的一般方法，湊整（十）后轉(zhuǎn)化成10加幾。不僅要讓學(xué)生熟練準(zhǔn)確地計(jì)算，還要讓學(xué)生經(jīng)歷湊整的過(guò)程（移動(dòng)小棒），這樣學(xué)生才能真實(shí)地感知這種數(shù)學(xué)方法的優(yōu)越性，為簡(jiǎn)便運(yùn)算做好鋪墊、埋下伏筆。加法的兩個(gè)運(yùn)算律——交換律和結(jié)合律，在簡(jiǎn)便運(yùn)算中經(jīng)常應(yīng)用。如134+79+66.先算134+66=200就是在湊整，只不過(guò)這個(gè)“整”在變大。再比如68+99，很多教師會(huì)這樣教：68+99=68+100-1，并總結(jié)出“多加幾就減幾”。其實(shí)還可以從68里面拿1個(gè)給99湊成100，即68+99=（68-1）+（99+1）=67+100。這兩種思路殊途同歸，本質(zhì)都是湊整，但后者降低了學(xué)生的思維梯度。

2.20以?xún)?nèi)的減法

減法是加法的逆運(yùn)算。20以?xún)?nèi)的減法是在學(xué)習(xí)“數(shù)數(shù)”和“數(shù)的分與合”的基礎(chǔ)上分三個(gè)層次遞進(jìn)：10以?xún)?nèi)的減法，十幾減幾（不退位），20以?xún)?nèi)的減法（退位）。這里的退位減難度系數(shù)進(jìn)一步增加，應(yīng)用到“破十法”。在以后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還將學(xué)習(xí)兩位數(shù)減兩位數(shù)、多位數(shù)減法、小數(shù)減法、分?jǐn)?shù)減法。這些減法都可以分解成一個(gè)個(gè)20以?xún)?nèi)的減法去完成，跟上面的加法類(lèi)似，在此不再贅述。

“破十法”比較抽象，這不僅是退位減的方法，在簡(jiǎn)便運(yùn)算中也將一以貫之。如246-98，教師一般這樣教：把98看成100，多減了2，再加2，即246-98=246-100+2，總結(jié)出“多減幾就加幾”。其實(shí)還可以由“破十法”繼續(xù)深入——破百，46不夠減98，從246里面拿100去減98得2再加146，即246-98=100-98+146。把舊知中的方法加以遷移去解決新的問(wèn)題，通過(guò)喚醒記憶引起共鳴，這樣學(xué)生接受新知就會(huì)容易一些。教學(xué)中如果只是讓學(xué)生去記住一個(gè)結(jié)論（算法），對(duì)于“多加幾就減幾”“多減幾就加幾”，學(xué)生在實(shí)際的計(jì)算中就往往容易搞混。

基于以上兩點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握20以?xún)?nèi)的加減法，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力影響深遠(yuǎn)。

二、表內(nèi)乘法

乘法是特殊加法的升級(jí)版，求相同加數(shù)的和用乘法算更簡(jiǎn)便。在解決實(shí)際問(wèn)題中會(huì)常碰到“幾個(gè)幾相加”和“幾和幾相加”，雖都可以用加法計(jì)算，但前者用乘法會(huì)簡(jiǎn)便得多。在教學(xué)乘法的意義、乘法口訣時(shí)，一定要讓學(xué)生動(dòng)手寫(xiě)寫(xiě)加法算式和乘法算式，一方面可深入理解乘法和加法本是一家，另一方面在對(duì)比中體會(huì)乘法的簡(jiǎn)便性。關(guān)于乘法有這么幾個(gè)板塊：兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、多位數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法。這些乘法的計(jì)算都是遵循各自的算法去完成若干個(gè)表內(nèi)乘法。除法是乘法的逆運(yùn)算，本質(zhì)上是用乘法去倒推，從表內(nèi)除法用乘法口訣求商開(kāi)始。一個(gè)稍復(fù)雜的除法要用到乘法（每次的商與除數(shù)相乘）、加法（乘的過(guò)程中有進(jìn)位要加）、減法（被除數(shù)減商與除數(shù)的積），這也是學(xué)生覺(jué)得除法難學(xué)和除法計(jì)算容易出錯(cuò)的一個(gè)原因。

乘法滿(mǎn)足三大運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配率。運(yùn)算律的應(yīng)用就是為了使計(jì)算簡(jiǎn)便，其本質(zhì)還是“湊整”。因此，理解乘法的意義并熟記乘法口訣是學(xué)生計(jì)算能力第二塊基石。

三、理解算理，講究計(jì)算策略

算法和算理互為表里，是體現(xiàn)學(xué)生計(jì)算能力的一條明線和一條暗線。不理解算理只關(guān)注算法，學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率不會(huì)高，也很難做到舉一反三、優(yōu)化算法，更難做到對(duì)知識(shí)進(jìn)行正遷移。

1.理解算理

算理，是指計(jì)算中每一步的道理，也是計(jì)算的思維方式，解決“為什么這么算”的問(wèn)題。幫助學(xué)生理解算理可以從以下幾個(gè)方面著手。

首先，利用教具的演示和學(xué)具的操作理解算理。比如，一年級(jí)“9加幾”這節(jié)課，它是進(jìn)位加法的起始課，因此要讓學(xué)生把湊整的方法理解透。教學(xué)中讓學(xué)生動(dòng)手操作小棒，經(jīng)歷“湊”的過(guò)程，幫助學(xué)生理解算理。這一方法在低年級(jí)比較適用。

其次，利用基本圖形（圓圈、方陣點(diǎn)子圖、面積圖、線段圖等）理解算理。在二年級(jí)剛學(xué)習(xí)除法時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、圈一圈幫助學(xué)生理解除法的意義。在有余數(shù)的除法里，學(xué)生很難理解為什么余數(shù)必須比除數(shù)小，若畫(huà)圖表示，學(xué)生就能直觀地感知到余數(shù)大于除數(shù)時(shí)，說(shuō)明余數(shù)里還有一個(gè)（或幾個(gè)）除數(shù);兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，可以用方陣點(diǎn)子圖來(lái)幫助理解每次乘得的積;可用長(zhǎng)方形的面積圖從另一個(gè)視角來(lái)直觀理解乘法的分配率。

再次，利用數(shù)學(xué)史理解算理。全國(guó)著名特級(jí)教師夏永立老師曾上過(guò)一節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的復(fù)習(xí)課，他展示了兩位數(shù)乘兩位數(shù)在不同國(guó)家的算法、中國(guó)古代的算法，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上說(shuō)出自己的理解。課堂貫穿古今、縱橫中外，學(xué)生興趣很濃，達(dá)到了很好的學(xué)習(xí)效果。其實(shí)這些算法不同的外在表現(xiàn)形式背后有著相同的算理。

2.講究計(jì)算策略

（1）計(jì)算（口算或筆算）過(guò)程中對(duì)不同算法的擇優(yōu)

在以生為本的課堂中，我們提倡算法多樣化，尊重每一個(gè)學(xué)生自主思考的結(jié)果，但最后一定要在比較中優(yōu)化算法。例如，9+5等于多少？可能學(xué)生會(huì)說(shuō)出很多種算法：先拿9根小棒，再拿5根小棒放到一起，再數(shù);從9后面接著數(shù)5個(gè)數(shù);從5拿l和9湊成10，再用10加4等于14。第三種方法是湊整法，比前兩種數(shù)的方法更優(yōu)，同時(shí)也為后面的用運(yùn)算律簡(jiǎn)便運(yùn)算奠定思維基礎(chǔ)。再比如計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，先約分再計(jì)算比把分子分母分別乘后再約分要簡(jiǎn)便。

（2）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)選擇合理的計(jì)算策略

一是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要和實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)選擇。例如這樣的三個(gè)問(wèn)題：①政府禮堂有40排座位，每排有25個(gè)，能坐下1000人嗎？②椅子的單價(jià)是28元，買(mǎi)46把，帶1300元夠嗎？③植樹(shù)隊(duì)要種28行樹(shù)，每行19棵，購(gòu)買(mǎi)600棵小樹(shù)苗夠嗎？很多學(xué)生看到這種問(wèn)題的提問(wèn)方式就會(huì)想到估算，其實(shí)解問(wèn)題①無(wú)須估算，直接口算就行;估算解決不了問(wèn)題②，因?yàn)轭}中的數(shù)據(jù)很接近準(zhǔn)確值，多估或少估都不能解決問(wèn)題，用筆算比較好;用估算能解決問(wèn)題③，多估（ 30x20=600）都?jí)蛄耍瑢?shí)際肯定夠。這需要學(xué)生有很好的數(shù)感。

二是根據(jù)題目的要求來(lái)選擇。夏永立老師在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的復(fù)習(xí)”時(shí)有這么一道練習(xí)題：連一連，不計(jì)算，直接判斷。

75x48 ? ?1794

26x69 ? ?3600

36x69 ? ?972

82x11 ? ?2484

8lx12 ? ?902

解決這一題需要學(xué)生從大處著眼、統(tǒng)覽整題。比如，26x69和36x69兩個(gè)積的個(gè)位都是4，而有4的結(jié)果有兩個(gè)，只要比較26x69和36x69的大小就能很快找到答案。這樣的練習(xí)設(shè)計(jì)不僅溝通了口算、估算、筆算之間的聯(lián)系，還讓學(xué)生感悟到解決問(wèn)題時(shí)選擇合理的計(jì)算策略比一味地埋頭苦算更快捷。

在整個(gè)小學(xué)階段，計(jì)算板塊的內(nèi)容在數(shù)學(xué)教材中占有很大的比重。因此，學(xué)生計(jì)算能力的強(qiáng)弱在很大程度上決定了其數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)的優(yōu)劣。不要覺(jué)得計(jì)算只要多做題就可以了，更不能簡(jiǎn)單地把學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤率高歸因?yàn)榇中模瑢W(xué)生錯(cuò)誤的背后往往都有深層次的原因。要想學(xué)生計(jì)算能力這座大廈穩(wěn)固，就要找準(zhǔn)它的受力支撐點(diǎn)，并把它夯實(shí)、筑牢。

[參考文獻(xiàn)]

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[2] 張?zhí)煨ⅲl(fā)展思維培養(yǎng)智慧：從運(yùn)算教學(xué)看數(shù)學(xué)教育的發(fā)展[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（21）：45-48.

（責(zé)編 羅艷）