微析小學生計算能力的支撐點

金中平

[摘要]計算能力是學生思維能力的載體。要提高學生的計算能力，就要先弄清楚支撐這一能力的著力點。如果把學生的計算能力看作一座大廈，那么20以內的加減法、表內乘法以及計算策略就是它的基石。

[關鍵詞]計算能力;支撐點;算理;計算策略

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）29-0076-02

計算能力是數學素養的基石，是學生思維能力的載體，也是學生數學學習的有力保障。課程標準在“數與代數”板塊對學生的運算能力也提出了明確的要求，且每一個學段的達成目標都有具體的細化。計算能力主要考查兩個維度：計算的準確率和計算的速度。如果把學生的計算能力看作一座大廈，那么20以內的加減法、表內乘法以及計算策略就是它的基石。

一、20以內的加法和減法

數數、數的分與合是學習20以內加減法的“原材料”，順著數是構建加法，倒著數是構建減法。“萬丈高樓起于壘土”，20以內的加減法是學生后續學習計算最基本的支撐。

1.20以內的加法

加法是四則運算的基礎，20以內的加法就是基礎中的基礎。20以內的加法在學習“數數”和“數的分與合”的基礎上分三個層次遞進學習：10以內的加法，十幾加幾（不進位），20以內的加法（進位）。“數數”的能力很重要，加法的核心就是加l。10以內的加減法和十幾加幾（不進位）的內容不難，學生易于掌握。20以內的加法（進位）難度加大，這里運用了湊整的數學方法——湊十法。而后續學生還將學習兩位數加兩位數、多位數相加、小數加法、分數加法、簡單的同類項合并等。

兩位數加兩位數，比如45+38，在計算時要做兩個運算——5+8和4（個十）+3（個十）+1（個十），5+8是20以內的進位加，4+3+1是10以內的加法。多位數相加和小數加法只不過是計數單位在進一步擴展，每一個數位上的運算都是一次20以內的加法運算（相同計數單位的累加），分數加法中“分母不變、分子相加”也是分數單位的累加。在筆算乘法時把乘得的積相加，每一個相同數位上的數字相加，仍然是做20以內的加法。

“湊十法”是學習20以內進位加的一般方法，湊整（十）后轉化成10加幾。不僅要讓學生熟練準確地計算，還要讓學生經歷湊整的過程（移動小棒），這樣學生才能真實地感知這種數學方法的優越性，為簡便運算做好鋪墊、埋下伏筆。加法的兩個運算律——交換律和結合律，在簡便運算中經常應用。如134+79+66.先算134+66=200就是在湊整，只不過這個“整”在變大。再比如68+99，很多教師會這樣教：68+99=68+100-1，并總結出“多加幾就減幾”。其實還可以從68里面拿1個給99湊成100，即68+99=（68-1）+（99+1）=67+100。這兩種思路殊途同歸，本質都是湊整，但后者降低了學生的思維梯度。

2.20以內的減法

減法是加法的逆運算。20以內的減法是在學習“數數”和“數的分與合”的基礎上分三個層次遞進：10以內的減法，十幾減幾（不退位），20以內的減法（退位）。這里的退位減難度系數進一步增加，應用到“破十法”。在以后的學習中，學生還將學習兩位數減兩位數、多位數減法、小數減法、分數減法。這些減法都可以分解成一個個20以內的減法去完成，跟上面的加法類似，在此不再贅述。

“破十法”比較抽象，這不僅是退位減的方法，在簡便運算中也將一以貫之。如246-98，教師一般這樣教：把98看成100，多減了2，再加2，即246-98=246-100+2，總結出“多減幾就加幾”。其實還可以由“破十法”繼續深入——破百，46不夠減98，從246里面拿100去減98得2再加146，即246-98=100-98+146。把舊知中的方法加以遷移去解決新的問題，通過喚醒記憶引起共鳴，這樣學生接受新知就會容易一些。教學中如果只是讓學生去記住一個結論（算法），對于“多加幾就減幾”“多減幾就加幾”，學生在實際的計算中就往往容易搞混。

基于以上兩點，在理解的基礎上熟練掌握20以內的加減法，對學生的計算能力影響深遠。

二、表內乘法

乘法是特殊加法的升級版，求相同加數的和用乘法算更簡便。在解決實際問題中會常碰到“幾個幾相加”和“幾和幾相加”，雖都可以用加法計算，但前者用乘法會簡便得多。在教學乘法的意義、乘法口訣時，一定要讓學生動手寫寫加法算式和乘法算式，一方面可深入理解乘法和加法本是一家，另一方面在對比中體會乘法的簡便性。關于乘法有這么幾個板塊：兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數、多位數乘法、小數乘法、分數乘法。這些乘法的計算都是遵循各自的算法去完成若干個表內乘法。除法是乘法的逆運算，本質上是用乘法去倒推，從表內除法用乘法口訣求商開始。一個稍復雜的除法要用到乘法（每次的商與除數相乘）、加法（乘的過程中有進位要加）、減法（被除數減商與除數的積），這也是學生覺得除法難學和除法計算容易出錯的一個原因。

乘法滿足三大運算律：交換律、結合律、分配率。運算律的應用就是為了使計算簡便，其本質還是“湊整”。因此，理解乘法的意義并熟記乘法口訣是學生計算能力第二塊基石。

三、理解算理，講究計算策略

算法和算理互為表里，是體現學生計算能力的一條明線和一條暗線。不理解算理只關注算法，學生計算的準確率不會高，也很難做到舉一反三、優化算法，更難做到對知識進行正遷移。

1.理解算理

算理，是指計算中每一步的道理，也是計算的思維方式，解決“為什么這么算”的問題。幫助學生理解算理可以從以下幾個方面著手。

首先，利用教具的演示和學具的操作理解算理。比如，一年級“9加幾”這節課，它是進位加法的起始課，因此要讓學生把湊整的方法理解透。教學中讓學生動手操作小棒，經歷“湊”的過程，幫助學生理解算理。這一方法在低年級比較適用。

其次，利用基本圖形（圓圈、方陣點子圖、面積圖、線段圖等）理解算理。在二年級剛學習除法時，可以通過畫一畫、圈一圈幫助學生理解除法的意義。在有余數的除法里，學生很難理解為什么余數必須比除數小，若畫圖表示，學生就能直觀地感知到余數大于除數時，說明余數里還有一個（或幾個）除數;兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數時，可以用方陣點子圖來幫助理解每次乘得的積;可用長方形的面積圖從另一個視角來直觀理解乘法的分配率。

再次，利用數學史理解算理。全國著名特級教師夏永立老師曾上過一節“兩位數乘兩位數”的復習課，他展示了兩位數乘兩位數在不同國家的算法、中國古代的算法，讓學生在觀察的基礎上說出自己的理解。課堂貫穿古今、縱橫中外，學生興趣很濃，達到了很好的學習效果。其實這些算法不同的外在表現形式背后有著相同的算理。

2.講究計算策略

（1）計算（口算或筆算）過程中對不同算法的擇優

在以生為本的課堂中，我們提倡算法多樣化，尊重每一個學生自主思考的結果，但最后一定要在比較中優化算法。例如，9+5等于多少？可能學生會說出很多種算法：先拿9根小棒，再拿5根小棒放到一起，再數;從9后面接著數5個數;從5拿l和9湊成10，再用10加4等于14。第三種方法是湊整法，比前兩種數的方法更優，同時也為后面的用運算律簡便運算奠定思維基礎。再比如計算分數乘法時，先約分再計算比把分子分母分別乘后再約分要簡便。

（2）在解決實際問題時選擇合理的計算策略

一是根據實際問題的需要和實際數據來選擇。例如這樣的三個問題：①政府禮堂有40排座位，每排有25個，能坐下1000人嗎？②椅子的單價是28元，買46把，帶1300元夠嗎？③植樹隊要種28行樹，每行19棵，購買600棵小樹苗夠嗎？很多學生看到這種問題的提問方式就會想到估算，其實解問題①無須估算，直接口算就行;估算解決不了問題②，因為題中的數據很接近準確值，多估或少估都不能解決問題，用筆算比較好;用估算能解決問題③，多估（ 30x20=600）都夠了，實際肯定夠。這需要學生有很好的數感。

二是根據題目的要求來選擇。夏永立老師在教學“兩位數乘兩位數的復習”時有這么一道練習題：連一連，不計算，直接判斷。

75x48 ? ?1794

26x69 ? ?3600

36x69 ? ?972

82x11 ? ?2484

8lx12 ? ?902

解決這一題需要學生從大處著眼、統覽整題。比如，26x69和36x69兩個積的個位都是4，而有4的結果有兩個，只要比較26x69和36x69的大小就能很快找到答案。這樣的練習設計不僅溝通了口算、估算、筆算之間的聯系，還讓學生感悟到解決問題時選擇合理的計算策略比一味地埋頭苦算更快捷。

在整個小學階段，計算板塊的內容在數學教材中占有很大的比重。因此，學生計算能力的強弱在很大程度上決定了其數學學科成績的優劣。不要覺得計算只要多做題就可以了，更不能簡單地把學生的計算錯誤率高歸因為粗心，學生錯誤的背后往往都有深層次的原因。要想學生計算能力這座大廈穩固，就要找準它的受力支撐點，并把它夯實、筑牢。

[參考文獻]

[1]夏永立，數學課堂教學探索[M].合肥：安徽科學技術出版社，2017。

[2] 張天孝，發展思維培養智慧：從運算教學看數學教育的發展[J].小學數學教師，2019（21）：45-48.

（責編 羅艷）