探究度量空間的教學

賈利東　王慧

摘 要 度量空間是泛函分析中學習的第一個抽象空間，為進一步學習更一般的Banach空間、Hilbert空間奠定了重要的基礎。通過對”度量空間”教學設計的闡述，使得初學者能體會到泛函分析的高度概括性、應用的廣泛性以及表述形式的簡潔性。

關鍵詞 度量空間 教學

中圖分類號：TP391文獻標識碼：A

0引言

為了給點集概念一個空間框架，法國數學家弗雷歇首次提出度量空間的定義，奠定了抽象空間的理論。對于初學者突然面對這么抽象的概念，很自然的會思考：度量空間的產生背景、與其它概念的關系以及有何應用等問題？通過本文對度量空間教學的設計，使更多學生能體會到度量空間的定義是合情合理的、非常自然的。

1教學設計

1.1來源

（1）人們在處理物理系統的狀態時可以通過觀測決定，而這些觀測值總是近似的，人們常常考慮近似值逼近準確值的任意程度，這反映在數學上就是”極限”。

（2）我們都知道微積分的重要性是不言而喻的，然而連續、微分、積分、級數等都是由”極限”定義的。

（3）極限概念盡然如此重要，我們希望把這一概念推廣到更一般的空間上，為此，我們下面回顧數列極限定義。

（4）數列：，用語言描述為：

1.2在集合上定義距離

（1）我們把極限概念移植到一般空間上的前提是：如何把距離的概念定義在一般集合上。我們首先回顧在平面上兩點之間距離的定義。

（2）設，是平面上的兩點：，，兩點間的距離為

即是從到上的一個映射，其中;

同時上面的距離滿足4條基本性質：

① ，即兩點之間的距離大于零;

② ，即任意一點到其自身的距離為零;

③ ，即從到的距離等于從到的距離;

④ ，即兩點之間線段最短。

（3）在一般集合X上定義距離。

① 是從到上的一個映射，其中;

② 滿足平面距離的四條基本性質。

設計意圖：培養學生如何從一個特殊問題經過抽象化得到一般問題的這種方法，在數學上叫做”得意忘形”法。

2度量空間的定義

設是非空集合，對的任意兩點，均有唯一一個非負實數與之對應，且滿足：

設計意圖：讓學生知道：一是證明度量空間關鍵是證明三角不等式;二是例1說明在同一個集合上可以定義不同的距離使之成為不同的度量空間;例2說明對于任意非空集合都可以定義度量空間，并且例2經常用于舉反例;例3是無窮維的度量空間。

4結束語

學習完度量空間的體會是：將具體問題抽象化是有價值的.通過以下幾點加以說明：（1）是一個具體問題被納入抽象空間的框架之內，原本很復雜的對象（函數，數列，矩陣，變換，曲線，曲面）現在不過是空間中一個點而已。無論這個點內部原來有多大的復雜性，都一概被抹去，在今后的研究中不再起任何作用，這樣導致問題得到簡化。（2）是通過與歐幾里得的對比，抽象空間能獲得一定的直觀形象，因此在抽象空間中進行的邏輯論證更好讓人理解.經過抽象化處理的問題往往更直觀，這也是泛函分析的奧妙所在。（3）是抽象化方法用高度概括的形式統一了外觀上極不相同的問題，從而溝通了一些初看起來互不相關的領域，這就為獲取新知識開辟了更多的渠道。

參考文獻

[1] 胡適耕.泛函分析[M].高等教育出版社，2013.

[2] 孫炯等.泛函分析[M].高等教育出版社，2010.

[3] 張恭慶等.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社，2018.