極點處留數(shù)的計算方法與技巧

小結(jié)　常水珍　王華敏

摘 要 本文將利用函數(shù)在極點的特征，對極點處的留數(shù)的計算方法進行分析，并結(jié)合函數(shù)在極點的去心鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)展開式，給出復(fù)變函數(shù)的留數(shù)計算的又一計算技巧。

關(guān)鍵詞 極點 留數(shù) 鄰域 積分

中圖分類號：G642文獻標(biāo)識碼：A

函數(shù)的留數(shù)的計算，是我們復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)的重點和難點，留數(shù)的計算也提供了我們計算周線積分的又一方法。因此，留數(shù)的計算方法研究，顯得尤為重要。孤立奇點的不同的特征，對應(yīng)有該點處的留數(shù)的特殊的計算方法。我們下面給出極點處的留數(shù)的計算技巧，方便學(xué)生掌握并應(yīng)用它的結(jié)論求出相應(yīng)點的留數(shù)解決其它問題。

根據(jù)留數(shù)的定義，運用極點的鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式的的系數(shù)來求，是我們求留數(shù)的一般方法。但很多函數(shù)展開過程比較復(fù)雜，我們希望根據(jù)極點的特征，尋找極點處的留數(shù)的求法。下面我們分類尋找極點處留數(shù)的計算方法及使用技巧和關(guān)鍵點。

首先給出如下定理1、2。定理1、2證明方法類似，我們僅給出定理2的證明，進而分析二者的各自的適用范圍。

由例3、4可知，一般定理1都可以運用，但必須保證整個分式求導(dǎo)簡單，且極限計算簡單。 運用定理3，對分子分母各自求導(dǎo)，還是適當(dāng)簡化了運算，但也需要導(dǎo)數(shù)好求，才能快捷計算出答案，讀者可以根據(jù)情況做出選擇。若極點的階數(shù)更高一些呢，我們運用定理3，估計計算也比較復(fù)雜，期待以后能夠找到更簡單的計算方法。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2] 王見勇.無窮遠點的留數(shù)計算及留數(shù)定理的推廣[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004（07）.

[3] 張家驥等.淺析留數(shù)在積分中的應(yīng)用[J].科技信息，2007，36（04）.