極點處留數的計算方法與技巧

小結　常水珍　王華敏

摘 要 本文將利用函數在極點的特征，對極點處的留數的計算方法進行分析，并結合函數在極點的去心鄰域內洛朗級數展開式，給出復變函數的留數計算的又一計算技巧。

關鍵詞 極點 留數 鄰域 積分

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

函數的留數的計算，是我們復變函數學習的重點和難點，留數的計算也提供了我們計算周線積分的又一方法。因此，留數的計算方法研究，顯得尤為重要。孤立奇點的不同的特征，對應有該點處的留數的特殊的計算方法。我們下面給出極點處的留數的計算技巧，方便學生掌握并應用它的結論求出相應點的留數解決其它問題。

根據留數的定義，運用極點的鄰域內的洛朗級數展開式的的系數來求，是我們求留數的一般方法。但很多函數展開過程比較復雜，我們希望根據極點的特征，尋找極點處的留數的求法。下面我們分類尋找極點處留數的計算方法及使用技巧和關鍵點。

首先給出如下定理1、2。定理1、2證明方法類似，我們僅給出定理2的證明，進而分析二者的各自的適用范圍。

由例3、4可知，一般定理1都可以運用，但必須保證整個分式求導簡單，且極限計算簡單。 運用定理3，對分子分母各自求導，還是適當簡化了運算，但也需要導數好求，才能快捷計算出答案，讀者可以根據情況做出選擇。若極點的階數更高一些呢，我們運用定理3，估計計算也比較復雜，期待以后能夠找到更簡單的計算方法。

參考文獻

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