著眼問題解決，整合教材內容

楊亞軍

摘 要 立足學情，著眼問題解決，通過整合教材內容，以培養和發展學生分析問題、解決問題的意識與能力為教學目標，設計課堂教學的組織與實施.讓學生在問題解決的嘗試與實踐交流中，進一步領會不等式的不同證明方法的特點，實現在應用、比較中理解、掌握不同方法的適用類型和優劣.在此過程中培養學生的邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素。

關鍵詞 整合 設計 實踐

中圖分類號：G634.6文獻標識碼：A

教學目標的恰當科學設定，教學活動圍繞目標達成的有效設計與組織，以及教學活動中教師及時的反饋與引導，是教師教學的核心能力。教學設計立足這三個方面進行，教師在教學中就能更好地落實課程標準要求，幫助學生夯實“四基”、提高“四能”，會更有利于發展學生的數學學科核心素養。下面就以《不等式的證明》為例跟大家交流一下我對本節內容的設計與教學實踐。

《不等式的證明》是選修4-5《不等式選講》第一章第4節（北師大版）的教學內容，共4課時。按教材的編排思路和習慣的教學設計，本節內容依次引導學生應用比較法、分析法、綜合法、放縮法、幾何法、反證法證明不等式，并歸納相應方法的特點及適用情境。

基于學生在此前的數學課程學習中，已對運用比較法（作差、作商）、綜合法、分析法、反證法等方法證明恒等式、不等式、有關定理或命題有了一定的實踐體驗，對有關的證明方法特點和基本證明步驟也比較熟悉的實際，我在本節教學中著眼問題解決進行設計、組織。我力圖通過充分挖掘典型題目的價值，以問題解決為重點，在問題解決的過程中，在師生探討、分享、實踐的過程中，實現進一步理解、鞏固不等式的各種證明方法。

本節課的教學目標：用不同方法證明一個有趣的不等式（“糖水”不等式）;回顧已學過的不等式證明的方法;以此鞏固“四基”、發展“四能”，打破方法對學生思路、思維的禁錮。

本節課的教學活動設計：問題驅動，鼓勵學生分享、展示自己的解決方法或想法;教師及時的反饋、引導、啟發，鼓勵學生嘗試、修正，啟迪學生思考，指導學生歸納。力求克服教材按證明方法逐類安排例題的弊端：容易導致學生或被給定的方法禁錮、或被一道道題目牽著走，不利于對學生思維廣度和深度的訓練，也不利于對學生問題解決意識與能力的培養。

作為本節內容的起始課，我以學生熟悉的“糖水不等式”為研究載體，按以下方式鼓勵、引導學生探索不同的證明思路和方法，嘗試把學生的注意力緊緊引導在問題證明的思路和方法探索上。

給出問題：已知>>0，>0，讓求證：<。讓學生調動自己所學，嘗試對此熟悉的結論給出嚴格的數學證明。

學生容易想到作差比較法（目標式左、右結構都比較簡單，作差比較法又是基本方法），操作起來也沒什么困難。在此基礎上，教師引導學生考慮此題可否通過作商比較完成？學生實踐后，可行，但本質上似乎還是依賴于作差。進而引導學生思考、歸納作差比較法與作商比較法的適用情境以及使用時的注意事項。

有學生想到了分析法，讓學生實踐后，切身感受分析法確實也是挺好的一種途徑。學生小有成就感。有了分析法，當然也就有了綜合法的證明。分析法探尋證明思路，綜合法表述證明過程，各用所長。

繼續鼓勵學生放開思路大膽嘗試，有學生想到了反證法，讓學生實踐，也挺順利。學生小有驚喜。

事實上，課堂上還真有學生從結構方面聯系到了直線的“斜率”，結合圖形給出了直觀解釋。其細節上雖有些瑕疵，師生共同予以修正、完善。不少學生眼前一亮，從結構出發聯想、構造圖形，以前自己可從沒這樣想過。

最后，我從分式的結構出發，引導學生探索通過放縮進行證明的新途徑。注意到 =? =? ，Ha<0，得到<，結論亦可得到證明。

還可以通過構造函數，利用函數性質證明不等式，如設=1+（>0），其中<0，利用該函數在（0，+∞）遞增，顯然有<成立，故所證結論成立。

學生從一開始的不以為然，到有點感覺，到小有成就，到小有驚喜，直到到眼前一亮，學生的思路越來越開闊，學生的思維越來越活躍，學生的體驗與感受也越來越深刻。現在讓學生回頭看看，對這個問題的解決方法雖各有千秋、各有特點，但都是緊緊圍繞問題的解決，或是利用了自己的所長（熟悉的方法、技能、經驗），或是利用了自己發現的結構特點，通過聯想或變形，實現了對問題的多樣性解決。以此提醒學生在今后的學習學習中，不一定要刻意追求方法的多樣性，但對一道題目或嘗試進行多角度思考、或嘗試進行變式訓練，這樣做遠比簡單的一道道刷題，更有利于提高數學學科能力。

上述實踐探索過程，雖然只有一道題目，但已經涵蓋了教材在本節（4課時）編排的證明不等式的7種方法。這次設計與實踐，我個人認為是一次成功的、有益的探索。尤其作為選修教材的教學，在學生的數學方法與數學能力已經有了相對充足的儲備這一前提之下，課堂教學的設計若能以問題驅動為線索，以問題解決為根本，在解決問題的實踐中應用、理解、歸納方法，這樣學生對有關方法的認識才會是有血有肉接地氣的。也能讓學生在實踐中體會方法只是解決問題的有效手段，方法固然重要，但能用恰當的方法解決問題才是王道。

這次實踐，也讓我對本節后續內容的教學，有了明晰的實施方向。雖然接下來的幾節課，要分別圍繞證明不等式的上述7種方法進行深入實踐、應用。但我決定繼續采用問題驅動的方式，通過精選例題，讓學生嘗試用自己熟悉的、能想到的方法解決問題。避免傳統的某幾道例題緊緊圍繞某一種證明方法的定向式訓練，讓學生在問題分析、思路探索嘗試、方法識別應用中深刻認識方法、掌握方法，提升能力。

在今后的教學中，我們在進行教學設計時，能立足自己所教學生的實際，結合教學內容的特點，對教材內容進行科學的整合;能對教學方式做恰當嘗試與轉變，突出學生的主體地位，突出對學生思維的訓練;能注重對典型素材的挖掘和利用，以問題驅動為抓手，真正實現用教材教。這是實現提高課堂教學效率，提升課堂教學質量的一條有效途徑。長期堅持下去，必能在培養、發展學生的數學學科能力與數學核心素養上取得更佳效果。

參考文獻

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