淺談初中幾何證明

李欣沅 余安娜

【摘 要】《證明》這一章給數(shù)學(xué)帶來的影響等同于《幾何原本》。面對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀误w系，如果教師將教學(xué)重心放在幾何定理的應(yīng)用上，而忽視了證明體系中的公理化過程，將是舍本逐末。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;幾何證明;初中

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師們常常會忽視對八年級上學(xué)期（北師大版）《證明》這一章的講解。多數(shù)教師將本章的重心放在了訓(xùn)練幾何證明題上，弱化甚至無視本章的實際用意。《證明》這一章在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位，還需要從幾何證明的歷史說起。

一、證明的歷史

希臘哲學(xué)鼻祖泰勒斯除了在哲學(xué)領(lǐng)域赫赫有名，在數(shù)學(xué)方面也開創(chuàng)了演繹證明的先河，被稱為“論證幾何學(xué)鼻祖”。據(jù)哲學(xué)家普羅克拉斯所著的《歐幾里得<原本>第一卷評注》中講述，泰勒斯曾率先證明了如下4條命題：（1）圓的直徑將圓分成相等的兩部分;（2）等腰三角形兩底角相等;（3）相交的兩直線形成的對頂角相等;（4）如果一個三角形有兩個角和一邊分別與另一個三角形的對應(yīng)角和邊相等，那么這兩個三角形全等。

對于這些顯而易見的常識，泰勒斯依然力求通過理論知識進行論證，他所做的演繹證明，確保了這些命題的正確性，揭示了定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，為數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建打下了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C基礎(chǔ)。這也標(biāo)志著人們對客觀事物的認(rèn)識從經(jīng)驗感知上升到了理論證明。

隨后的幾百年里，數(shù)學(xué)的發(fā)展涌現(xiàn)出了大量的學(xué)派，具有代表性的有畢達哥拉斯學(xué)派、智人學(xué)派、埃利亞學(xué)派等。數(shù)學(xué)家積累了許多幾何學(xué)的知識，然而不足之處在于，這些知識是零碎的，缺乏系統(tǒng)性，各種公理和證明之間并沒有很強的邏輯關(guān)系。此時，數(shù)學(xué)家歐幾里得將諸多分散的數(shù)學(xué)成果進行歸納梳理，編著成《幾何原本》一書，全書13卷，包含了5條公理、5條公設(shè)、23個定義和467個命題。書中先提出公理、公設(shè)和定義，再由簡到繁予以證明，架構(gòu)出了相對完整的數(shù)學(xué)證明體系，即歐式幾何學(xué)體系。

二、歷史的指引

（一）《幾何原本》中的公理化思想

《幾何原本》中規(guī)定了5條公設(shè)，5條公理如下：

公設(shè)

L1過兩點可以作一條直線。

L2直線可以向兩端無限延伸。

L3以定點為圓心及定長的線段為半徑可以作圓。

L4凡直角都相等。

L5同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交。

公理

L1等于同量的量彼此相等。

L2等量加等量，其和仍相等。

L3等量減等量，其差仍相等。

L4彼此能夠重合的物體是全等的。

L5整體大于部分。

公設(shè)在平面幾何中多表現(xiàn)為作圖，公理則涉及不同類型的大小關(guān)系。以這些公理和公設(shè)作為最初的理論基礎(chǔ)，對其他的命題進行證明，經(jīng)過證明的真命題可以用來證明其他的命題，這種過程被稱作“公理化”。以判定三角形全等的“邊邊邊”“角邊角”“角角邊”“邊角邊”這四個定理在《幾何原本》中的公理化過程為例，《幾何原本》中最先出現(xiàn)的是“邊角邊”（命題L4），然后是“邊邊邊”（命題L8）的證明，最后是“兩角及一邊” （命題L26）的證明。以命題L26的證明為例（僅選擇“角邊角”的證明部分）。

命題L26兩個三角形如有兩個角和一條邊對應(yīng)相等，那么其余的對應(yīng)邊和角都相等。

設(shè)：如圖1，在△ABC、△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，BC=EF。

求證：AB=DE、AC=DF、∠BAC=∠EDF。

證明：假設(shè)AB不等于DE，其中一個比另一個大。假定AB大于DE，BG等于DE;連接GC。

那么，BG=DE，BC=EF，∠GBC=∠DEF;于是△GBA≌△DEF，邊GC等于邊DF，剩余的角亦相等（命題L4）。

于是：∠GCB=∠DFE，而∠DFE被假設(shè)等于∠BCA

∴∠GCB=∠NCA，即大角等于小角，故不能成立。

∴AB與DE是相等的。

又∵BC=EF。∴AB、BC分別等于對應(yīng)邊DE、EF，∠ABC=∠DEF。

∴△ABC≌△DEF（命題L4）。證畢

此證明過程中用到的依據(jù)是命題L26之前證明過的，說明《幾何原本》中已證的命題可用在后續(xù)的證明中。再者，《幾何原本》中有關(guān)“等邊對等角”的證明出現(xiàn)在命題：等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底角形成的兩個補角亦相等。該命題的證明選擇了命題“邊角邊”定理，而非“邊邊邊”“兩邊及一角”（盡管這些判定也可以證明其中的三角形全等），這是因為在該命題之前，得以證明的判定定理只有“邊角邊”。可見《幾何原本》中的“公理化思想”非常嚴(yán)謹(jǐn)。

（二）初中數(shù)學(xué)教材中的公理化思想

以史為鑒，當(dāng)今不同版本的初中數(shù)學(xué)課本的編排也特別注意到了“公理化思想”的滲透。仍以三角形全等的判定方法為例，北師大版教材中各判定方法出現(xiàn)的順序是“邊邊邊—角邊角—角角邊—邊角邊”，人教版教材的順序是“邊邊邊—邊角邊—角邊角—角角邊”，滬教版教材的順序是“邊角邊—角邊角—角角邊—邊邊邊”。

雖然這三個版本教材的編排順序各有不同，但是都對公理化體系都有詳細(xì)的說明。以北師大版教材為例，八年級上冊第七章第二節(jié)《定義與命題》中指出：

本套教科書選用九條基本事實作為證明的出發(fā)點和依據(jù)，我們已經(jīng)認(rèn)識了其中的八條，它們是：

1.兩點確定一條直線。

2.兩點之間線段最短。

3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。

8.三邊分別相等的兩個三角形全等。

由此可見，教材中的其它定理都是以這八條“基本事實”為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的。也正是因為教材將三角形的“邊角邊”“角邊角”及“邊邊邊”作為“基本事實”的存在，故在七年級下冊第四章第三節(jié)《探索三角形全等的條件》中沒有去運用理論證明“邊邊邊”“角邊角”“邊角邊”，而是通過設(shè)計實驗動手操作，讓學(xué)生去感受這些“基本事實”。

對于“等邊對等角”的證明則出現(xiàn)在八年級下冊第一章第一節(jié)《等腰三角形》中，課本中給出的證明方法是取等腰三角形底邊上的中點，作底邊上的中線，利用“邊邊邊”證明全等，進而得到等腰三角形兩底角相等。此證明若在《幾何原本》中作為命題的證明，是行不通的。有些資料中“邊邊邊”的證明恰好用到了“等邊對等角”這一定理，這里的先后順序若無“公理化”的說明，證明就會陷入用結(jié)論證明結(jié)論的混亂中。

三、教學(xué)的重點

（一）讓學(xué)生信服演繹證明

學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何證明時，有些結(jié)論是通過測量、折疊等實驗操作得出的。例如“內(nèi)錯角相等，兩條直線平行”這一發(fā)現(xiàn)，就是通過量角器測量內(nèi)錯角大小，然后讓學(xué)生總結(jié)得出的。又如在證明三角形內(nèi)角和為180°時，教材設(shè)計的證明方案為撕下三角形的一個角，然后將其頂點和一邊與另一個角的頂點和一邊重合擺放，再結(jié)合平行線判定定理進行說明。事實上，實驗總會有誤差，這些操作只能作為輔助我們思考的方法，只有嚴(yán)密的邏輯證明才能讓人真正信服。

（二）滲透公理化思想

雖然教材中所選擇的“基本事實”與《幾何原本》中的有所區(qū)別，但都蘊含了公理化思想，強調(diào)證明主要是由已知事實或結(jié)論來推理未知結(jié)論的過程。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從教材中的9個“基本事實”出發(fā)，證明其他命題。例如，先從“等量代換”這一基本事實出發(fā)去證明“同角（等角）的補角相等”，再由“同角（等角）的補角相等”出發(fā)去證明“對頂角相等”，至此“對頂角相等”可視為定理，再由此定理去證明“內(nèi)錯角相等，兩條直線平行”。這樣的順序千萬不可顛倒，否者就會出現(xiàn)用結(jié)論證明結(jié)論的矛盾。學(xué)生在本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，必須理解公理化思想，才能為后期的證明打下基礎(chǔ)。

（三）在證明過程中體現(xiàn)幾何證明體系

學(xué)生在書寫證明過程時，老師可以試著讓學(xué)生模仿《幾何原本》，將公理和已經(jīng)證明過的定理標(biāo)上序號，在每一次證明新的命題時，若需用到相關(guān)定理，只能用比其序號小的定理來證明。這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀巫C明態(tài)度將使學(xué)生的數(shù)學(xué)證明思路更加清晰，學(xué)習(xí)會有體系。

公理化思想也能應(yīng)用到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中。牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》一書中，模仿《幾何原本》的書寫邏輯，先列出了三條有關(guān)運動的公理——“牛頓三大定律”，再以此為基礎(chǔ)，明了一條又一條結(jié)論。這樣，學(xué)生學(xué)到的就不僅是數(shù)學(xué)本身，更是思維的方法，是人類的智慧。

《證明》這一章，目的就是讓學(xué)生從實驗幾何過渡到論證幾何，讓學(xué)生了解所學(xué)過的諸多幾何命題之間的區(qū)別與聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前接觸過的幾何命題，猶如在《幾何原本》出現(xiàn)之前人們積累的大量幾何知識，這一章正好呈現(xiàn)出歐幾里得編寫《幾何原本》時思考和形成幾何證明體系的過程。由此可見，本章的重要性等同于《幾何原本》給數(shù)學(xué)帶來的影響。面對如此嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀误w系，如果教師在教學(xué)時將重心放在幾何定理的應(yīng)用上，而忽視了證明中的公理化過程，那將是舍本逐末。學(xué)生將無法真正理解證明的意義，也錯過了接觸數(shù)學(xué)知識根源的機會。

【參考文獻】

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[3]汪曉勤，粟小妮.數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019