淺談配方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

李勁松

摘 要：將一個(gè)式子或式子的一部分通過恒等變形為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和，這種方法稱之為配方法。這種方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形方法，是解題的有力手段之一。初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常在解方程，化簡(jiǎn)二次根式，求二次函數(shù)的最值以及證明等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，若學(xué)生在解題時(shí)能熟練掌握并靈活運(yùn)用，那么學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解題的能力也就明顯提高了。同時(shí)，配方法的應(yīng)用也能培養(yǎng)學(xué)生思維能力，解題技巧和靈活性。本文從幾個(gè)例題中來體現(xiàn)配方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);配方法;應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)是中學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，配方法又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。在教學(xué)中先要求學(xué)生掌握其基本公式：a2±2ab+b2=a±b2，只要對(duì)已知的式子進(jìn)行靈活巧妙的配方，就可以找到解決問題的途徑。結(jié)合我在教學(xué)中的體會(huì)，下面談幾種配方法應(yīng)用的例題。

用配方法解一元二次方程

例1：解方程：2x2+3=7x

解：1化：方程化為一般形式，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，

x2-72x+32=0

2移項(xiàng)：常數(shù)移到方程右邊，

x2-72x=-32

3配方：方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

x2-72x+4916=-32+4916

4變形：方程左邊化成完全平方，右邊合并同類項(xiàng)，

x-742=2516

5求解：用直接開平方法解出方程，

x-74=±54

所以：x1=3，x2=12

用配方法化簡(jiǎn)二次根式

例2：化簡(jiǎn)二次根式：

（1）4+23;（2）13-242

解：（1）4+23=3+23+1=32+23+12=3+12=3+1

（2）13-242=7-242+6=72-242+62=7-62=7-6

用配方法求最值

（一）、應(yīng)用在二次函數(shù)中求最值

例3：某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12米的矩形廣告牌，設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000元，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，面積為S平方米。

（1）求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍;

（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出最高費(fèi)用。

解：（1）∵矩形的周長(zhǎng)為12m，其中一邊為x，則另一邊為（6-x），

∴S=x6-x=-x2+6x0

（2）S=-x2+6x=-x2-6x=-x2-6x+9-9=-x-32+9

∴當(dāng)x=3時(shí)，即邊長(zhǎng)為3m的矩形廣告牌的面積最大，最大面積為9m2，此時(shí)獲得最高廣告費(fèi)用為：9×1000=9000元。

（二）、應(yīng)用在代數(shù)式中求最值

例4：已知代數(shù)式：2x2-10x+15，試說明無論x取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù)，再求出x取何值時(shí)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？

解：2x2-10x+17=2x2-5x+17=2x2-5x+254-254+17

=2x-522+92

∵2x-522+92>0

∴無論x取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù);且當(dāng)x=52時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為92。

配方法在證明題中的應(yīng)用

（一）在一元二次方程中的證明

例5：已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-3m+3x+2m+4=0，求證方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

證明：∵?=-3m+32-4m2m+4

=9m2+18m+9-8m2-16m

=m2+2m+9

=m+12+8>0

∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（二）在二次函數(shù)中的證明

例6：求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線y=2x2-mx+m-3都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

證明：∵a=2>0

∴拋物線y=2x2-mx+m-3開口向上

令y=0，則2x2-mx+m-3=0

?=-m2-8m-3=m2-8m+24=m-42+8

∵?=m-42+8>0

∴無論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)。

（三）、在恒等變形中的證明

例7：已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求證△ABC為等邊三角形。

證明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc

∴2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc）

2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc

a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0

a-b2+a-c2+b-c2=0

∴a-b=0，a-c=0，b-c=0

即：a=b=c

∴△ABC是等邊三角形。

所以，配方法在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，它是代數(shù)中恒等變形的重要手段，是研究等量關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，也是求代數(shù)式和二次函數(shù)最值的重要方法，是初中生必備的一種解題能力。讓我們共同學(xué)好它，用這把利劍在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)道路上披荊斬棘。

參考文獻(xiàn)

[1]施月星，呂秀華.配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1993（04）：31.

[2]特殊化思想與初中數(shù)學(xué)解題[J].全溫.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.1994（03）