一道質檢解析幾何題的探究*
——以2020年福建省高三質檢理科第19題為例

福建省漳州市第三中學 (363000) 吳 攀

1.分析試題，探究解法

試題以橢圓為載體證明線段長度相等，題目包含了直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識.考查推理論證能力，運算求解能力，以及數形結合，化歸與轉化，函數與方程等思想；要求考生具有直觀想象，邏輯推理，數學運算等核心素養.

本題要求學生通過代數運算解決幾何問題，要求學生會通過合理引參表示出直線，合理假設直線在一定程度上會減少運算量，能根據幾何關系合理轉化也是處理解析幾何問題的常用手段，解析幾何試題可以培養學生的運算能力，要求學生懂得合理的選擇算法算理，掌握恰當的運算策略解決問題，以提高學生的數學運算核心素養．

2.解題反思，拓展延伸

在試題講評的過程中，我們常常引導學生做解題反思：題目數據改一改，還會嗎？題目的結論是否具有一般性，能不能推廣？條件和結論對調，還能不能成立？基于以上反思，我們得到以下變式：

點評：問題的本質沒有改變．因為l1為橢圓的右準線，考慮將直線l2移至過右焦點F，通過改變數據，發現結論仍然成立．

進一步，我們自然會提出問題：對于任意給定的橢圓，直線l2過橢圓的焦點F，直線l1為橢圓的準線，點D是否為線段MG的中點？

下面給出這個結論的一種簡便證明方法.

圖1

通過以上證明我們得到結論：

結論1 過橢圓的焦點F的直線l與橢圓交于兩點A,B，過點A做F相應準線的垂線，垂足為C，若此準線與橢圓對稱軸交于點G，則直線BC與x軸的交點D必為線段FG的中點．

連接AB′，同理可證得DF=DG，所以A,D,B′三點共線，從而得到結論2.

結論2 過橢圓的焦點F的直線l與橢圓交于A,B兩點，過點A,B分別做F相應準線的垂線，垂足為C，B′，則直線BC與AB′的交點必為線段FG的中點．

我們進一步探究，以上結論在雙曲線和拋物線中是否成立？利用變式2同樣的證法，我們得到以上結論在雙曲線和拋物線中同樣成立，于是我們得到一個統一結論.

結論3 圓錐曲線的焦點弦的端點在相應準線上的投影與另一端點的交叉連線的焦點必過定點，且定點平分焦點與準線和對稱軸的交點連線段.