用向量法推證的三角形一個有趣定理

廣州大學附屬中學 (510006) 朱驚濤

圖1

圖2

該結論的簡單形式如下：

在該定理中，分別令x=1、y=1、z=1可以得到它的三種特殊化情形，如圖3、圖4、圖5所示：

圖3 圖4 圖5

該定理有助于解決一些三角形內的線段比例問題，并可以推出一些有趣結論或證明一些經典的定理，試看以下一些例子.

圖6

圖7

圖8

該結論說明形如圖9的圖形模塊，必有性質：

圖9

例4 (證明梅涅勞斯定理)如圖10，如果一條直線與ΔABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么

圖10

通過例4、例5、例6可知該定理的特殊情況實質上是與梅氏定理、塞瓦定理、三角形比例線段和定理相通的.利用該定理還可以解決一些立幾和解幾中的相關問題，試再看以下兩例：

圖11

例7 如圖11，證明正四面體的內切球與外接球的半徑之比是1∶3.

圖12

例8 (2019年高考浙江卷)如圖12，已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得ΔABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記ΔAFG,ΔCQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的準線方程；

析解：(1)易得拋物線方程為y2=4x，p=2，準線方程為x=-1.

圖13

類似于梅氏定理和塞瓦定理，該定理亦可逆向用于判斷三點共線，如下所述：

圖14

證明過程可用“同一法”，即連接D、E交直線AF于點G′，證明G′與G重合即可，過程略.