一道高考題的推廣

上海市七寶中學(xué) (201101) 吳祖豐

(浙江省2019年數(shù)學(xué)高考第21題) 過焦點F(1,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點，點C在拋物線上，△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q(點Q在點F點右側(cè))．

圖1

(1)求拋物線的方程及準線方程；

一、試題解答

本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線中的“非對稱性問題”，主要涉及圓錐曲線中設(shè)點、設(shè)直線的切入問題，其最大難點在于三角形面積的表示以及復(fù)雜的函數(shù)運算以及最值求解.可以設(shè)直線、設(shè)點、也可以通過面積比值化簡后再進行最值運算，但三種方法沒有大的本質(zhì)區(qū)別，最終都是殊途同歸通過函數(shù)求出面積比的最值.

分析：通過常規(guī)的設(shè)直線來表示三個點之間的關(guān)系，進而用斜率m表示出面積比.由于本題面積比是一個非對稱性問題，因此用m表示時相對較為繁瑣，化簡計算需要一定的時間，具體解法如下.

二、試題拓展

對于圓錐曲線問題，常常可以把一種曲線的性質(zhì)推廣到其他曲線，本題亦可作如下拓展：

1.變定曲線為任意拋物線

評注：將固定拋物線改為任意拋物線，其它條件不變，此時求得重心坐標為則為G(p,0).

2.變定點為任意點

評注：在變式1的基礎(chǔ)上把定點變?yōu)閿?shù)軸正半軸上的任一點，發(fā)現(xiàn)結(jié)論與定點的位置并無關(guān)系.

3.變拋物線為橢圓

4.變定點變曲線

評注：在變式3的基礎(chǔ)上再進一步加強條件，定點變成了橢圓長軸上的非焦點，此時要取到面積比的最值需要保證定點的范圍.

三、問題本質(zhì)探究

繼續(xù)深入探究可以發(fā)現(xiàn)，問題的本質(zhì)其實與拋物線或橢圓并無關(guān)系，同樣也可以將本題結(jié)論延拓到雙曲線，或者直接把問題從圓錐曲線中剝離出來.下面運用向量工具證明該模型中的最值結(jié)論.

圖2

四、總結(jié)反思

從上述探究不難發(fā)現(xiàn)，本題的模型可以從拋物線上三點推廣到橢圓或雙曲線上三點，也可以拓展到任意三點，直接“架空”曲線.從這個角度來講，本題失去了圓錐曲線解析的本質(zhì)，但確實給人以耳目一新的感覺，或許這樣是試題已經(jīng)很難用“難或簡單”加以評論，因為它本身就是在考查學(xué)生的綜合素養(yǎng).那么，如何在有限的時間里，實現(xiàn)“透過表象看本質(zhì)”？相信只要在平時的教學(xué)過程中注重對問題本質(zhì)的探究，注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，注重學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，那么還是有可能快速破解此類問題的，或者至少會進行多角度嘗試并簡化運算.