直線與拋物線關系中的兩個推廣結論

福建省德化第三中學 (362500) 莊明麗

直線與拋物線的交點問題、位置關系是高考的重要考點，考查方式多樣化，如定點、定值、相切、范圍等等，這類問題的解答通常都具有通性通法，不外乎利用方程思想結合一元二次方程根與系數的關系加以解決，但是往往運算量較大，很多學生不一定能得出最終的結果.若是能利用一些二級結論在解題(尤其是選填題)中加以運用，勢必能達到事半功倍的效果.本文從一道引例的解答中獲得靈感，深入探究并拓展與推廣，最終獲得兩個實用的一般性結論供借鑒與應用.

(1)求點C的軌跡方程；

(2)經過點F(1,0)的動直線l與點C的軌跡方程交于A,B兩點，在x軸上是否存在定點P(異于點F)，使得x軸為∠APB的角平分線？若存在，求出P的坐標；若不存在，請說明理由.

思考：第二步的結論即在x軸上存在點P(-1,0)使得x軸為∠APB的角平分線即kPA+kPB=0，而kOP=0即kPA+kPB=0=kOP.我們把本題第二小步的結論記為結論1，即：

結論1 過拋物線y2=4x焦點F(1,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點.已知P(-1,0)，連接PA,PB，則kPA+kPB=kOP.

點P(-1,0)剛好與焦點F(1,0)的橫坐標互為相反數，這是巧合還是具有一般性呢?點P(-1,0)剛好是拋物線y2=4x的準線與x軸的交點，如果是準線上的其他點是否也滿足kPA+kPB=kOP呢？經過探究發現，結論1可以做以下推廣：

圖1

推廣1 如圖1，過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點.已知點P為準線上的點，連接PA,PB，則kPA+kPB=kOP.

查閱這幾年高考，2018年全國卷Ⅲ的填空題第16題的立意與此類似，原題如下：

已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點．若∠AMB=90°則k=2．

本題可以用常規方法解答，還可以用推廣1的結論：設直線AM,BM的斜率分別為k1,k2，根據已知條件和推廣1有k1·k2=-1,k1+k2=kOM=-1，從而可求得k1,k2，便可以得到直線AM或者BM的方程，也就不難求出A或者B點坐標，那么問題也就解決了.

推廣1中直線l過焦點F，且點P的橫坐標跟焦點F的橫坐標互為相反數，如果直線l不是過焦點而是過定點x軸上的其他定點，且點P所在直線方程為此定點的橫坐標的相反數，對應的結論會不會成立呢？

圖2

推廣2 如圖2，過點C(n,0)(n>0)的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點，點P所在直線的方程為x=-n，連接PA,PB，則kPA+kPB=kOP.

證明：設直線l的方程為x=ty+n，聯立

2018年全國卷Ⅰ的文科試題就考過這樣的一道題，立意與推廣2類似，題目如下：

設拋物線C：y2=2x，點A(2，0)，B(-2，0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點．

(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN．

簡證第二步：由推廣2的結論知kBM+kBN=kBO=0,即BN,BM斜率互為相反數，故∠ABM=∠ABN.

從推廣2的證明過程中可以發現這個結論跟n>0沒有關系，所以推廣2還可以再推廣：

推廣3 如圖3，過點C(n,0)(n<0)的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點，點P所在直線的方程為x=-n，連接PA,PB，則kPA+kPB=kOP.

圖3

證明過程與推廣2一樣，這里就不重復了.從推廣2和3看出，不管直線所過定點在x軸的正半軸還是負半軸，都會有kPA+kPB=kOP.如果拋物線開口向左，那么結論同樣成立.焦點在x軸成立，那焦點在y軸會不會也有這樣的結論呢？用同樣的方式探究發現這結論kPA+kPB=kOP并不成立.焦點在y軸的拋物線方程變為x2=2py(p>0)，再結合推廣2的證明過程，不難看出焦點在y軸時的結論只要把那些斜率倒數一下就可以了.

圖4

開口向下的也同樣有此結論.

因此拋物線具有這樣的性質：

(1)過定點C(n,0)(n≠0)的直線l與拋物線y2=±2px(p>0)交于A,B兩點，點P所在直線的方程為x=-n，連接PA,PB，則kPA+kPB=kOP.

由此可見，學習數學知識若是經常性地做一些探究、推廣、歸納、總結，長此以往，可以激發和提高我們的發散思維能力和創新思維能力.拋物線中還有很多類似的結論等著我們去發現.比如上面2018年全國卷Ⅲ的填空題第16題的原題如下：

已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與c交于A，B兩點．若∠AMB=90°，則k=2．