指向核心素養的數學教科書習題研究

劉超 李妍 汪曉慧

【摘 ? 要】借助鮑建生習題難度模型，對人教版、蘇教版教科書“圓”教學主題的課后習題進行了綜合難度計算與分析后發現，我國現行教科書習題設置傳承了“雙基”教育理念，但在習題情境的真實性、凸顯實際應用價值、習題類型多元化、習題對學科大概念思想的滲透、習題的學科整合與跨學科整合水平、習題滲透德育美育等方面與核心素養的培養要求還有一定的差距。作為數學教育重要載體的教科書習題應進行以下幾個方面的改進：指向核心素養的教科書習題不僅要有真實情境與任務的介入，還應適度提升習題的符號運算水平和學科大概念水平，同時必須關注表現性評價的需求以及加強數學文化的滲透。

【關鍵詞】核心素養;教科書習題;學科大概念;德育;美育

以核心素養推進基礎教育改革與發展是當下教育發展的重心。以培養“全面發展的人”為宗旨的核心素養育人理念促使課程體系不斷重構、課堂教學不斷變革。就數學學科而言，數學教育對發展學生核心素養的獨特貢獻，主要體現在科學精神、學會學習和實踐創新上。數學的力量在于解決實踐過程中遇到的、前人未解決的問題;數學的價值在于激發學生的心智，使其學會聰明地發現問題、思考問題與解決問題。所以，從核心素養培養的視角研究現行教科書中的習題是一項非常重要的工作。

研究內容方面，我們選取了人教版和蘇教版教科書“圓”教學主題的課后習題作為研究對象。之所以選取該主題，是因為圓是平面圖形中從直邊到曲邊衍變的最為特殊的一個圖形，它有效地銜接了平面圖形、立體圖形之間的聯系，對涉及平面圖形周長、面積公式推導，立體圖形表面積、體積公式推導過程中所蘊含的轉化思想、極限與積分思想等核心數學思想的實踐以及現實應用都非常深刻。研究工具方面，由于核心素養指向的習題研究尚無現成模式，故選取應用廣泛的鮑建生教授2014年修訂的習題難度模型，對“圓”教學主題的習題難度進行計算和分析，并從核心素養的視角，分析當前教科書習題設置的優點和不足，從而為更好地實施指向核心素養的數學教育教學提出建議。

一、指向核心素養的數學教科書習題難度研究

兩個版本教科書關于“圓”教學主題的基本內容如表1所示。

本研究基于鮑建生教授2014年修訂的習題綜合難度模型，從“背景”“數學認知”“運算”“推理”和“知識含量”五個因素對兩個版本教科書“圓”教學主題的課后習題難度進行了計算，下面作具體分析。

（一）背景水平

數學知識是核心素養培養的前提，數學情境是數學知識的載體。問題情境是學生產生解決問題動機、維持問題解決行為、積極主動從事問題解決活動的重要保障。數學核心素養的培養離不開數學情境。

在背景因素上，人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題統計結果如圖1所示。

如圖1所示，蘇教版和人教版無實際背景的習題比例都很高。蘇教版為54.55%，人教版為41.38%。這顯然與我國傳統數學文化強調的“經世致用”的理念不相符合，我國以《九章算術》為代表的數學著述都是堅守源于生產生活實際的樸素面貌。這一統計結果也與《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求有一定出入：力求從學生熟悉的生活情景與童話世界出發，選擇學生身邊的、感興趣的數學問題，以激發學生學習的興趣與動機，使學生初步感受數學與日常生活的密切聯系。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾的“現實數學教育”思想，也積極倡導數學必須連接現實，必須貼近兒童，必須與社會相關聯，要體現人的價值，所以數學的學習，包括數學的考試評價需要與現實生活緊密聯系。再從本研究所選取的內容主題來看，“圓”這一教學主題涉及的知識點在現實生活中應用廣泛，甚至有些應用是必須選擇的（如輪胎是圓形的），所以，無實際背景的習題比例過高是有問題的。

在有背景的習題中，個人生活背景占據了主導地位。但是，隸屬個人生活背景的這些情境素材，有一些其實與學生的日常生活相去甚遠，如“卡拉OK小歌手”的情境。[1]據統計，兩個版本教科書“圓”教學主題關于公共常識背景的習題比例較低，都沒有關于科學情境的題目。這對于數學教學實現由現實世界向數學世界、由低層數學向高層數學的跨越，對于學生數學素養的培養都是不利的。

（二）認知水平

認知能力是人腦加工、儲存和提取信息的能力，即人們對事物的構成、性能、與他物關系、發展動力、發展方向以及基本規律的把握能力。指向核心素養的數學學習過程應該是學生學習數學知識、思想、方法和用數學解決實際問題的過程。

在數學認知因素上，對人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題統計結果如圖2所示。

從圖2可以清晰地看到，人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題在數學認知的“概念”水平和“領會—說明”水平占比較高。具體地，“概念”水平均為50%，“領會—說明”水平也都在40%以上，且兩個版本教科書差距甚微。在“分析—探究”水平上，兩個版本教科書占比都較低，相比之下，人教版比蘇教版高出近4個百分點。除此以外，隸屬“分析—探究”水平的習題類型沒有做到將開放題、推理題、非常規題等面面俱到地呈現。一切知識，唯有成為學生探究與實踐對象的時候，其學習過程才有可能成為素養發展的過程。[2]由于教科書習題從情境創設起始，沒有給學生創設使學生感興趣且具有挑戰性的問題解決任務，其“分析—探究”水平低也是可以預判的，即現有教科書習題的認知水平不足以充分呈現和解析知識背后內蘊的數學思想與方法。兩個版本教科書習題認知水平的分析結果印證了青浦實驗的結論：作為高層次認知水平的“分析—探究”水平不高，其原因之一就是學生從事的數學任務不是高認知水平層次的學習任務。

（三）運算水平

數學運算是指根據算理和算法對數或式進行的運算。它要求運算正確、合理，并對運算結果的正確性進行判斷、驗證，從而培養學生能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。運算能力并不是一種單一的數學能力，而是運算技能與邏輯思維能力的一種獨特的結合。[3]

在運算水平上，人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題統計結果如圖3所示。

如圖3所示，人教版和蘇教版屬于數值運算水平的習題占比相當高，都在70%以上，這非常明顯地體現了我國傳統“雙基”教育的理念與優勢。相較而言，兩個版本教科書關于無運算的習題占比都接近30%，這個比例與傳統教育中的“熟能生巧”理念是符合的;兩個版本教科書關于簡單符號運算和復雜符號運算習題數量均為0，尤其是沒有一道關于簡單符號運算的習題，這說明教科書未能較好地體現數學本質與數學思想方法的教學要求。由此，兩個版本教科書在無運算和符號運算方面的習題比重應進行合理分配，在注重雙基的前提下，關注和實踐核心素養培養的要求。

（四）推理水平

數學推理是由一個或幾個已知條件推斷得出一個新的數學結論的思維形式。[4]張奠宙先生指出：“數學素質核心則是邏輯思維能力?！睌祵W推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。

在推理因素上，人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題統計結果如圖4所示。

據統計，人教版無推理水平的習題占比為13.79%，蘇教版無推理水平的習題占比為31.82%，兩個版本教科書關于無推理水平的習題數量差異較大，反映出教科書編者對于數學推理的認識存在一定偏差。在簡單推理水平上，兩個版本教科書習題數量占比都很高，分別為66.7%和82.76%，這說明簡單推理是該學段學生主要訓練和培養的推理水平。習題的變式較多也表明我國數學教育注重對學生進行邏輯思維的訓練。比較而言，兩個版本教科書在復雜推理水平上占比都較低。按照定義，復雜推理是指包含三個及以上推理步驟的推理。這與學生學段是對應的。對于小學數學教科書而言，人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題編寫在推理因素水平上的設置是比較恰當的。如果說存在問題，那就是由于教科書習題設置在聯系學生真實生活經驗方面存在缺失，使得學生難以經歷觀察、動手操作、實驗、猜想、證明的數學推理全過程。由此可見，習題情境的真實性和多元化是影響習題難度各因素的一個重要方面。

（五）知識含量水平

在知識含量因素上，人教版和蘇教版“圓”教學主題的習題統計結果如圖5所示。

從圖5中的數據可以看出，在習題知識點含量上，蘇教版和人教版在單個知識點水平上占比較高，分別為56.16%和58.62%。在兩個知識點含量水平上，人教版占比為32.76%，蘇教版為31.82%。在三個及以上知識點水平上，兩個版本教科書都設有習題，分布較為合理。如果說存在問題，那就是教科書習題沒有體現核心素養培養所倡導的“跨學科”的理念，即習題分析以及解答過程中應有學生熟悉的數學學科以外的常識或其他學科的知識。

（六）習題綜合難度分析

在對教科書習題難度的五個維度進行分析的基礎上，接下來我們對這兩個版本教科書的習題綜合難度進行分析。

圖6所示的是兩個版本教科書“圓”教學主題習題各難度因素水平加權平均計算的統計數據?？傮w來看，不論是人教版還是蘇教版，習題綜合難度的五邊形模型在整體上都有下降的趨勢。這表明，我國小學數學教科書習題在背景因素上缺失較多，其他幾個維度也受到問題情境水平的較大影響。圖6的統計數據也反映出，教科書習題在運算水平和知識的含量上做得較好，這也印證了我國數學教育重視“雙基”訓練，培養能力，突出數學思想方法教學，以及精講多練等優良傳統。需要關注的問題是，數學教育如何從傳統的雙基優勢自然地“正遷移”到關于核心素養培養所倡導的“人文底蘊、自主發展、社會參與”等新理念上。

二、指向核心素養的教科書習題編制建議

基于對人教版、蘇教版“圓”教學主題習題難度的分析，綜合已有相關研究，并結合當前核心素養取向的育人理念，我們認為，我國數學教科書習題的特色是堅守和傳承“雙基”育人理念，教師注重精講多練，強于基礎。問題在于，現行教科書習題的設置與核心素養的教育理念存在一定差距。我們認為，作為數學教育重要載體的教科書習題應進行以下幾個方面的改進。

（一）指向核心素養的數學教學必須是真實的教與學，教科書習題要有真實情境與任務的介入

義務教育階段指向核心素養的數學教學，應將學生置于真實問題情境中。問題情境是學科知識的載體，是學科知識產生和發展的條件。它對促進學生對知識的學習、理解，建構系統學科知識，創建社會化色彩的學習環境等具有重要作用。只有當學生知道在什么樣的情境中應用這些知識，知道面對新的、真實世界的情境時如何調適、修正這些知識，在他們能夠解釋信息、創建模型、解決問題、建立與其他概念、學科及真實世界情境的關聯從而形成理解世界的新方式時，才真正發生了真實的、有深度的學習。[5]由此，學生才能有意識地將問題解決的結果反饋于實際問題，從立足于人類社會發展、人類生命生存等視角，切實感知生命存在的價值，樹立愛國敬業、敬畏科學、保護人類賴以生存和發展的環境的意識。只有介入真實情境的積極主動的學習，才能實現情景背后的真實世界與課程、教學的整合，實現課程與生活的關聯;才能實現學以致用、知行合一的學習，實現學生對數學的充分理解與深度學習。

從核心素養考核評價的角度看，評估核心素養培養的務實做法就是讓學生“做事”。[6]做事必須要有真實的情境，只有在真實情境下，才能激發學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力，才能全方位考核和評估學生必備品格和關鍵能力的培養情況。

關于問題情境類型的選擇，根據PISA數學素養測試題情境創設的經驗及我國每次參與PISA測試都有優異表現的實際，教科書習題情境應做到個人情境、職業情境、社會情境、科學情境的全覆蓋。此外，問題情境的創設要具有開放性，以便于激起學生主動探究、深入思考的愿望，為學生提供展現個性思維、發揮創造能力的機會。

（二）指向核心素養的數學教學強調對數學本質和數學思維過程的全面把握，教科書習題應適度提升符號運算水平和學科大概念水平

數學符號運算是促進學生對數學的理解與應用、提升數學思維水平的重要途徑。數學符號運算的核心是基于數學運算的符號操作，符號操作作為解決代數問題的一種重要補充，是要求學生必須掌握的，能夠理解利用數學符號進行運算所得結果的一般性，感悟數學符號的本質。[7]基于前文分析，我國教科書習題的總體計算量非常高，但四種運算水平的分布不盡合理，尤其是缺失簡單符號運算習題，也就是介于數字運算和抽象符號運算之間的形式符號運算。

筆者曾以圓的面積公式為例在一個六年級的班級進行了兩個層次的測試，試題如下：

用一條長為9.42米的繩子圍圖形，圍成什么圖形的面積最大？最大面積是多少？如果把9.42換成字母a，你還會求面積嗎？

測試結果表明，一個48名學生的班級，有29名學生能根據特定周長（9.42）準確計算圓的面積;但是將周長數值換成字母之后，只有3名學生答對，錯誤率近90%。考慮到學生已經學習了“用字母表示數”“式與方程”等知識，學生解答的情況表明，學生平時關于符號運算的練習較為缺乏。因此，教科書習題的設置應適度增加數學符號類習題，應有意識、有層次地逐步推進學生對數學符號理解、符號操作、符號表達、符號思考與應用的學習和理解過程，從而幫助學生提高數學符號應用意識和符號應用水平，為學生深刻理解數學概念和數學思想鋪平道路。

此外，還應考慮提升習題的綜合程度和跨學科應用水平，以凸顯學科大概念的教學要求。具體到“圓”教學主題，教科書中的習題應圍繞平面圖形由直邊到曲邊的漸進，以平面圖形的性質和直邊圖形的周長與面積為基礎，考慮從圓的周長、面積公式的直接應用、實際問題求解等方面提升習題綜合水平，以幫助學生總結提煉半徑、周長、面積之間的數量關系，并逐步學會利用符號進行抽象運算，以促進學生數學思維與推理的深入，促進對數學知識的存儲、深度加工和提取應用，最終將轉化思想、極限思想等數學學科大概念內化為學生個體解決實際問題的強力支撐。

（三）指向核心素養的數學教學強調考核評價的多元化，教科書習題設置應關注表現性評價的需求

傳統的紙筆測試，注重對學生獨立、不成體系的知識技能的評價，評價的范圍也受到很大限制。指向核心素養的數學教育教學注重對學生的批判性思維能力，交際交往能力，合作協同能力、創新創造能力等高階認知能力的培養?；趥鹘y評價模式，上述認知能力難以客觀、全面地進行測評，也就無法進行針對性的培養。因此，有必要采用并豐富“能檢測學生的認知思維和推理能力以及運用知識去解決真實的、有意義的問題的能力”的表現性評價。[8]實施表現性評價，需要立足于“真實的生活或模擬的評價練習”的表現性任務。表現性任務應具有操作性強、真實、富有吸引力、能與有關的知識技能建立聯系、能對學生進行個別評價、有清楚的指導語等特征。[9]

我們認為，教科書習題應呼應表現性評價的需要，習題類型上應結合生活實際和學生日常經驗，設置說理題、開放題、實踐操作題、現實調查題、創新題等，以滿足口頭測試、論辯或辯論、短文題考試、寫作測試、過程反應題、實驗技能考試等表現性評價的需要。在習題應答方式上，應增加小組合作匯報、組間交流分享、成果展示、實踐動手操作等形式。需要指出的是，教科書習題不可能都是表現性評價任務，但作為表現性評價的習題任務，必須關注該習題任務的信度和效度，確保能實現核心素養培養的要求。

（四）指向核心素養的數學教學強調促進學生的全面發展，教科書習題應加強數學文化的滲透，以實現對學生的德育和美育教育

雖然現有教科書習題在情景創設、分析問題和解決問題過程中或多或少地體現了“五育”并舉的教育理念，但由于應試教育背景下對考試成績的一味追求，德育、美育教育總歸膚淺，沒有深入到“五育”教育的本質。因此，教科書習題從問題呈現、問題解決一直到總結反饋，都應加強傳統數學文化的滲透和數學知識的實際應用，以實現對學生的德育和美育教育。眾所周知，初等數學發展的輝煌時期在中國，義務教育階段的數學教育應認真考慮如何結合這一傳統優勢對學生開展有針對性的德育和美育教育。以本研究所涉及的“圓”教學主題為例，墨家的“一中同長”開啟了對圓這一特殊曲邊圖形認識和研究的旅程;應用“化曲為直”思想研究圓的周長過程中發現的π這一關鍵量，使全世界記住了比“周三徑一”更加準確的“祖率”;劉徽對“割圓術”的研究，首先是得到了“徽率”，然后在滲透極限、積分思想的基礎上，基于轉化思想推導出了圓的面積公式。這些成就的取得都比西方早了很多年，并且都記載在了以《九章算術》為代表的“算經十書”等數學經典著述中。這些歷史文化素材充分展現了我國古代數學家為國家、為數學奮斗的歷程，應該是最好的德育教育素材。在“圓”這一章內容中，神奇的π、周長公式、面積公式等體現了數學自身的奇異美、簡潔美;在涉及圓有關知識的實際應用上，在讓學生利用圓設計美麗的圖案（如奧運五環、水滴圖案、星形圖案、太極圖案）的實踐操作基礎上，進一步欣賞現實生活中利用數學創造的美的存在，無形中滲透了美育教育。

數學本身是一門樸實的學問，之所以變成艱澀費解的樣子，只不過是在入學考試這塊凹面鏡中的歪曲反映而已。[10]基于核心素養的數學教學應還數學教育之本真，凸顯數學教育對于發展學生核心素養的重要作用。要實現這一目標，就要從教科書內容體系編排、習題設置、數學思想方法滲透、現實應用等維度充分地實踐批判質疑、勇于探究的科學精神，培養學生學會學習和實踐創新的能力，從而為立德樹人、培養全面發展的人打下堅實的基礎。

參考文獻：

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[10]遠山啟.數學與生活[M].呂硯山，李誦雪，馬杰，譯.北京：人民郵電出版社，2010.

（1.石河子大學師范學院 ? 8320002.石河子市第一小學 ? 832000）