小學階段圓面積教學設計探索

詹燦璨

【摘 ? 要】弗賴登塔爾數學教育思想中有幾個關鍵概念：數學現實、數學化、再創造等，深刻研究該教育理論并將其應用到實際數學教學中去，能夠啟發學生“再創造”數學知識。以小學“圓的面積”教學為例，可通過求解未知邊長正方形的面積隱蔽地啟發以分割法“再創造”圓的面積計算公式這一教學過程，說明弗賴登塔爾數學教育教學思想的精髓。

【關鍵詞】數學教育思想;再創造;教學設計

新課程改革的推進使越來越多的教師意識到數學教學應當建立在以學生為主體，符合學生認知水平與數學現實的基礎上。這種基于學生數學現實，經由再創造實現數學化的過程是弗賴登塔爾數學教育思想的精髓所在。本文圍繞弗賴登塔爾的“再創造”數學教育教學理論，結合實際教學案例，探討新的教學形式以促進數學課堂教學的完善。

一、弗賴登塔爾數學教育思想的基本內涵

弗賴登塔爾對荷蘭以及世界的數學教育事業做出了重要貢獻。整體、全面地分析他的教育思想內容，或是分點、細致地分析他的某一思想原則，都可從中感受到“授人以魚，不如授人以漁”的思想精華。

（一）弗賴登塔爾的數學教育教學思想

弗賴登塔爾認為學生學習的主客觀基礎來自學生的數學現實與數學化歷程，依靠自身的認知結構、學習經驗、思維方式，最終發現數學知識教學的目的不僅是擴展學生的知識結構，也是擴充學生數學認知過程中的心理結構。他強調數學學習過程是具有現實意義的、富有創新性的、學生主動自覺進行的數學活動，而不是脫離實際背景、學生被動接受的教學活動。教學過程應該是幫助學生把現實問題轉化為數學問題的過程，教師的教學是引導學生主動地去學習、去思考，教學的目標是引導學生掌握數學知識、解決數學問題，促進學生提升自己的數學能力、數學思想水平，實現“四基”“四能”。

弗賴登塔爾認為學生的數學知識產生在數學化的過程中。數學化是運用數學思想和方法觀察、分析、研究客觀世界并加以整理和組織的過程。數學化的過程包含兩個階段——橫向的數學化和縱向的數學化。首先將現實中的實際問題抽象為對應的數學形式，橫向轉化為某個數學模型或數學問題，再通過對已有數學知識的深化和處理，形成不同層次的公理體系和形式體系，最終完成縱向的數學化[1]。不同的人有不同的數學基礎、數學思想，對所處現實環境有著各異的理解，這就是數學現實——人的數學認識與客觀現實的結合。

學生也有自己的數學現實，它包括學生所處現實世界的客觀基礎、學生以數學化的形式認識世界而形成的認知結構等主觀基礎，這是學生學習的基礎。學生不斷提升數學水平的過程就是“再創造”、重現數學發展的過程。教師需要分析學生的數學現實以及數學水平，思考學生如何在當前的環境下經歷“再創造”——學生自主重新發現數學知識。

（二）弗賴登塔爾的“再創造”數學教育教學思想

弗賴登塔爾數學教育觀將學生看作是教學過程中的主體，教師引導其主動“做數學”，實現“再創造”。

如果實際課堂教學不能較好地實現學生與所學知識的緊密聯合，只是傳授知識點、公式，做練習，這種教學價值不大。“再創造”要求學生在學習數學的過程中，根據感受和思維方式，將所學內容再發現或“創造”出來，形成自己的數學體系，納入自己的認知結構中。在這個過程中教師不是知識的灌輸者，學生的學習是“再創造”的過程，它與“發現法”有所區別，“發現法”強調的是教師提前設計一個完整的課堂教學方案，引導學生逐步發現知識，而“再創造”強調的是學生主體的重要性與創造過程中層次的變化，教師作為引導者為學生提供一個與其數學現實相符合的問題，引導學生主動探究。這不是程序式的發現過程，而是學生為了解決問題自主實現的過程，屬于學生自己的創造。

二、弗賴登塔爾“再創造”教學思想指導下的教學設計探究

基于弗賴登塔爾“再創造”思想的教學原則，在教學之前，教師需要進行“思想實驗”，即對學生的認知水平、教學環境、輔助設備等內容考慮全面，對教材與教學知識點及教學中可能發生的各種情況，進行充分分析。

在教學過程中，教師要提供給學生具體、現實的例子，創造出積極的環境狀態，維持學生較高的動機水平以積極參加數學活動，啟發學生較全面地接觸與處理所獲得的數學信息，最終“再創造”所學的數學內容，或是數學概念、運算法則，或是發現有關的定律，以提高學生的思維水平。尤其要有意識地引導學生由不自覺或無目的過渡到有意識有目的地進行創造活動，促進每個學生的思維水平盡可能提高。

下面以小學數學“圓的面積”為例進行教學設計，以求在這個過程中盡可能地體現弗賴登塔爾數學教育思想的精髓。

（一）基于再創造教學思想的“圓的面積”教學設計

“圓的面積”是人教版六上的內容，要求學生探索并掌握圓的面積公式，能解決簡單的實際問題。六年級學生的認知發展水平屬于具體運算思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，如果教師僅向學生教授圓的面積公式，缺少發現的過程，學生也只能學會一組字母公式，并不能較好地實現教學目標。如果教師用接近現實的情景引導學生試著探究圓的面積，而不考慮學生的數學現實背景，也會使學生遠離生活實際而不知所學何用。

充分了解學生的學習現實是創建優秀課堂的先決條件。學生的數學現實是生活中所見的與數學相關的實物、與數學有關的處理實際問題的方法，學生所具有的數學運算能力、對簡單平面幾何圖形的認識等。因此，教師可以采用學生日常生活中能夠接觸到的實際問題來引導教學。

【環節1】提出問題：小美過生日了，媽媽向蛋糕店預訂了一個直徑為16厘米的圓形蛋糕，店主推薦做成一個對角線為16厘米的正方形蛋糕。如果價格相同，你愿意換嗎？

生：聽起來大小一樣，可以換。

生：真的一樣嗎？要是一樣的話，為什么要換呢？

[設計意圖：數學與生活的聯系要自然貼切、合乎學生的情趣。于學生而言，購買蛋糕問題有一定的迷惑性，有實際經驗的學生會提出疑問，這種引出問題、激發討論的過程是“再創造”合適的發起環境。]

【環節2】將蛋糕形狀抽象為數學圖形，引導學生主動解決問題。

師：比較兩個圖形的大小，應該采用什么方法呢？

生：比較面積。

師：那同學們先來看這個正方形的蛋糕，它的對角線為16cm，在不知道邊長的情況下怎么求面積呢？

生：可以拆開變成兩個直角三角形拼出大的直角三角形，通過求三角形的面積得到。

生：這個正方形的面積就是[12×16×16=]128（cm2）。

師：那如何求這個圓的面積呢？

[設計意圖：至此，啟發學生的第一階段已經完成。合適的數學情境促使學生完全投入解決現實問題的過程中，符合當前知識階段的圖形轉化促使橫向數學化的發生。同時，由此引出的疑問也為學生提供了探究圓的面積的動機。]

【環節3】如何求得圓的面積？

師：在通過分割為兩個三角形解決未知邊長的正方形面積的基礎上，你可以求出一個已知直徑的圓的面積嗎？

生：以前學習過三角形、長方形等的面積，或許也可以剪成那樣來算！（學生分小組探究）

生：我分成四等份，卻拼不出來。

生：多分幾次，就越來越像三角形了！

[設計意圖：教師通過適當地提醒學生可以采取與前述求正方形面積類似的分割方法，來調動學生的主觀能動性，自己動手探究圓的分割，最終得到不同的分割方法（各種不同的分割方法與拼接方法，教師應當給予肯定與指導）。這個過程弱化了傳統教學中教師的全權引導，學生的主體地位得到了充分體現，通過圓的面積公式的推導，理解數學的發現過程。]

【環節4】小組探討怎么拼出合適的圖形求解。

通過學生的合作，最終發現這些相等的近似于小三角形的圖形可以拼接成一個近似的長方形。

師：現在你能告訴我圓形蛋糕的面積是多少嗎？

生：圓形蛋糕的面積約等于[2π×82×8=64π≈64×3.14=200.96（cm2）]。

師：那你現在還愿意換蛋糕嗎？

生：原來圓形面積這么大，怪不得老板要換成方形，太不劃算了！

[設計意圖：通過對圓形嘗試各種分割，通過拼出熟悉且可求面積的幾何圖形，最終拼出近似的長方形求得面積。新的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，最后通過長方形的面積公式得出圓的面積公式。學生在“再創造”中發現圓面積的計算公式，解決了實際問題。]

（二）教學反思

弗賴登塔爾也強調教學反思的重要性。教師不僅要在課前遵循思想實驗的原則，也要在課后遵循反思的原則。

“圓的面積”教學設計是契合弗賴登塔爾數學教育思想的，以合適的數學問題，即選擇一個與學生生活緊密聯系的場景作為導入，引起學生共鳴。將兩個蛋糕抽象為簡單的幾何圖形，實現橫向數學化，轉化為數學模型后進入縱向數學化。在解決正方形面積的基礎上，隱蔽地為學生分割圓形提供一種方向，引導學生思考如何將圓形分割后組合成熟悉的、可求面積的幾何圖形。在探索的過程中，學生經歷了問題轉化、數形結合、頭腦風暴的過程。

教師在完成課堂教學之后不僅要考查學生對本節內容的掌握程度，及時反饋學生的問題，也要進行自我反思——對思想實驗設計中的完善、課堂突發問題的記錄與解決、學生課堂表現和課后反饋的研究，實現教學相長。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社.1995.

[2]付云菲.弗賴登塔爾的數學教育思想研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2013.

[3]張昆.實現數學課堂教學有效性的思考——透過弗賴登塔爾的數學“再創造”教學原則的視點[J].數學教學通訊，2020（9）：5-7.

[4]趙志賢.聯想教學法在問題解決教學中的應用——以“圓的面積”教學設計為例[J].教學與管理，2010（8）：49-50.

（淮北師范大學數學科學學院 ? 235000）