數學核心素養視角下的“三線四環節”公式教學研究

摘 ? 要?公式教學作為數學教學的重要組成部分，是發展學生數學核心素養的重要教學載體。在分析公式教學的一般特征及學習心理、公式教學現狀的基礎上，提出了數學核心素養視角下的“三線四環節”公式教學模式，并分析了模式內涵，給出了各環節的具體操作建議，為數學教師依據數學素養開展公式教學實踐提供理論支撐與實踐參考。

關鍵詞?核心素養 ?公式教學 ?三線四環節 ?教學模式

發展學生的核心素養已然成為當今教育的熱點，它是育人價值的集中體現，是深化基礎教育改革的指導方向。發展學生的核心素養離不開學科核心素養的培養。所謂學科核心素養，是學生通過學科學習而逐漸形成的、適合個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力[1]。它既能在學生身上體現和落實一門學科獨特的教育價值，又能對人的核心素養發展帶來獨特貢獻和作用，它不僅體現了學科自身的專業特點，也體現了學生發展核心素養的通適基礎[2]。數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析是數學學科特有的素養，是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現[1]。作為“必備品格”和“關鍵能力”交融而成的數學核心素養，主要還是在知識的建構過程中逐漸形成和發展起來的，知識的學習無疑是核心素養生成的基礎[3]。自然而然會產生這樣的問題：數學教學中，如何將知識的學術形態轉化為有利于學生學科核心素養發展的學習樣態，使學生理解學科本質的同時，獲得個人素養的全面發展？

數學命題教學是指數學公理、定理、公式、法則、數學對象性質等的教學，它是數學教學的重要組成部分。其中，數學公式稱為程序性命題，其實質是解決一類問題的規則和程序[4]。按傳統認識論的觀點，數學公式是一種“作為事實”的客觀存在，是“人類的認識成果”，是在實踐的基礎上產生又經過實踐檢驗的對客觀實際的反映。然而對學生的成長而言，公式卻不應只是事實、規則和程序，它應是可研討、可批判、可再創造的對象[5]。因此，本文擬在分析公式教學的一般特征及學習心理、公式教學現狀的基礎上，探討數學核心素養視角下的公式教學，以此打開學生學習與素養發展的內部轉換過程，促進學生全面發展，同時促使教師教育理念的更新和教學行為的改進。

一、公式教學的一般特征及學習心理

一般情況下，公式教學可分為公式的獲得、證明和應用三個階段。其中，公式的獲得常有以下三種教學方式：第一，直接展示公式。比如學習幾何概型定義后，直接給出其概率計算公式。第二，展示公式的部分內容，再探索獲得完整公式。比如學習兩角差的余弦公式，先明確要解決問題，再探究其展開結果。第三，通過考察公式的特例，抽象、概括、歸納出公式。例如學習等差數列的通項公式，先觀察特例，再類比歸納一般公式。從學習心理上看，方式一可看作是公式的同化。學生應先將原有觀念與公式中的各有關概念聯系起來，得到刺激與反應的聯結，再將激活的結點聯結起來，然后將新公式納入認知結構，并對原有認知結構進行改組和加工，形成新的認知結構;后兩種方式可理解為公式的形成，學生根據已有信息，經歷辨認、分化、假設、驗證、抽象、概括等系列認知加工過程，進而獲得公式[4]。公式證明中，學生需激活與公式相關的概念、命題，再通過評判、選擇適合的結點，探索連接條件和結論的通路[4]。應用公式時，只需將其與待解決問題進行模式識別，按照既定規則和程序操作即可[4]。

盡管公式教學環節簡明，有規可循，但這主要是基于知識本位的教育立場分析公式教學的特征，忽視了學生主體和素養本位的教育立場。例如，公式同化過程中，如果學生沒有對學習信息進行主動的篩選、比較、價值評判，就有可能導致機械學習[4]。又如在公式證明中，若學生無法建立知識間的關聯結點，或結點之間的聯線長、關聯強度弱，則無法形成證明通路。而應用公式時，公式并非總與問題情景完美匹配，很多時候需要對公式或問題進行系列轉換。這顯然不是簡單的程序操作，需要抽象理解、推理運算，甚至還包含“頓悟”的靈感。所以，要使公式表象進入長時記憶進而形成體系，內化為系統邏輯結構和優秀思維品質，顯然需要進行深入的教學思考。

二、公式教學的現狀分析

知識立場和教學習慣傾向受教育價值觀的影響。從長期以來的課堂教學實踐來看，教師的教育價值觀主要受到兩個方面的影響：首先，以升學率為指揮棒的價值取向使得教育走向功利。社會、學校、家長對分數和名校的追逐，忽視了教育的本真意義和價值。其次，受“工具邏輯”的影響，人們發展學生素養的同時也在一定程度上為學生設定了一個成人視域下的目標，就好比將學生的培養放在了“預定軌道”，結果是壓抑了人的生態成長[6]。這就導致了公式教學發展的兩種傾向：第一，公式教學陷入“一背二套三應用”的模式。重視公式表層的符號語言和結構特征，較少關注公式的背景和形成過程;追求公式證明的多解和奇解，忽略對思想方法深度和廣度的挖掘;熱衷于公式的變形和應用，缺乏系統梳理邏輯依據和價值意義;過分強調教師講授，忽視學生的參與體驗。第二，課堂教學流于形式，缺乏深度。所謂一些活動豐富的課堂，無非就是根據教師臆想的難點、預設的環節按部就班，又或是個別優等生的獨角戲。

因此，為擺脫功利應試下題海戰術的“束縛”，走出應試教育的“牢籠”，促使公式學習與學生核心素養發展的“相遇”，探索如下“三線四環節”公式教學模式，使學生能夠充分參與到知識的學習中來，并成為知識的發現者、擁有者和貢獻者。

三、“三線四環節”公式教學模式內涵及環節分析

1.模式內涵分析

喻平教授認為，知識的理解、知識的遷移、知識的創新是數學核心素養的三級表現形態[7]。對應到公式教學，關鍵是解決兩個層面的問題：知識理解層面，如何把握公式的本質內涵和系統邏輯結構、如何挖掘資源促進知識的創造和思維的創新;教學操作層面，如何觸發學生內源性學習目標和動力，如何提供學生獨立思考和對話協作的空間平臺。基于此，構建了如圖1所示的“三線四環節”公式教學模式。其中，“四環節”按順序分別是課前探究、成果展示、自評互評、遷移拓展。“三線”是圍繞四環節發展的三條“暗線”，即學線、教線、問題線。具體來講，以“課前探究”作為學生自主學習、深度思考的時空保障，以“成果展示”作為溝通對話、協作互助的交流平臺，以“自評互評”作為學會反思，學會改進的長效機制，以“遷移拓展”作為形成能力，提升素養的價值體現。這四環節并非將教學割裂孤立，四環節之間有著深度的內在關聯，而聯系樞紐就是圍繞公式內化、整合、外化而形成的“問題線”，圍繞“學什么”“怎么學”所形成的“學線”，還有圍繞“教什么”“怎么教”所形成的“教線”。“三線”中，又以“學線”為主體，“問題線”為核心，“教線”為主導，“教線”通過“問題線”作用于“學線”，又服務于“學線”，“學線”通過“問題線”反饋“教線”，又改進“教線”[8]，三者相依相存，支撐四環節的展開與深入，使得整個教學成為一個有機的整體。

2.模式各環節分析

（1）課前探究

章建躍博士指出：“學習歸根到底是自己的事情，讓學生掌握數學學習方法，學會思考，進而學會學習，這是數學教學的最高境界。”[9]然而，受限于教學時間和進度安排，很多時候的公式教學只提供三、五分鐘的課堂探究，學生顯然無法深入思考，教師也無法了解真實學情。因此，對于公式教學，可以安排學生課前思考。這一環節并非簡單預習，學生需明確學習任務，經歷思維沖突，探索解決方法，而這些體驗正是思維發展的搖籃，是教師無法替代和傳授的。同時，這一環節是讓學生“學然后知不足”的重要途徑，讓教師“教然后知困”的有力手段，是教學返璞歸真，有的放矢的必備基礎。當然，為落實這一環節，教師應把握目標性、啟發性、量力性、循序漸進性等原則，精心設計探究任務，確保探究任務的有效、可行性。

課程教學改革所倡導的“學生為主體”的理念已被廣大教師接受，但在尊重學生主體地位的同時，往往容易忽略“教師主導”。課前探究并非是讓學生“天馬行空”的思索，而是積極發揮教師的主導作用，圍繞教學目標，結合數學學科的邏輯結構，考慮學生的身心發展規律，有目的、有計劃地設計學習任務，以此給學生創造有意義的思考空間。在“三角函數的誘導公式”的學習中，“復習”是基于學生的“最近發展區”，通過類比終邊相同角的三角函數性質的學習，為誘導公式的系統化做鋪墊。

（2）成果展示

成果展示環節鼓勵學生“大聲思維”，展示思維過程，表達觀點態度。這對培養學生形成“善表達”的意識和生成“批判學”的科學精神有著積極的作用。當然，為保障學生清晰準確地表達觀點，教師有針對性地評價和組織討論，需要教師在課前批閱學生的課前探究作業，了解學生想法、厘清學生錯誤、思索學生疑惑，并以學生的認知基礎為起點，設計教學方案，引導學生建立新舊知識間實質性的聯系，促進有意義學習的發生。這正如奧蘇貝爾所強調的：“影響學習的唯一重要因素就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并應以此進行教學。”同時，教師要根據學生作業情況對全班進行分組，引導小組合作學習。心理學家溫勒的群體動力理論認為，在群體中，只要有別人在場，一個人的思想行為就同他單獨一個人時有所不同，會受到其他人的影響。協作學習中，學生通過相互磋商，不斷啟發思維，導向深知。

在成果展示環節，教師先針對全班梳理問題，展示典型解決方式;再由各組代表分別匯報小組成果，同時提出問題或困惑。學生代表發言時，其他學生傾聽，記錄，并積極思考、討論、補充、完善。這一期間，如果學生講解不對或深度不夠，教師可進行及時的糾正、點撥。最后由教師總結各組發言，并給出解決疑惑、改進優化的思路或操作。整個過程，圍繞解“學生之所疑”，釋“學生之所惑”而不斷深入，伴隨著師生間想法的欣賞和認同、觀點的沖突與爭鳴，學生并非被老師的問題牽著走，老師也不會因學生的發言而失去調控。

例如在學習“正整數平方和公式”時，學生通過對公式證法的交流展示，一方面深刻體會到公式的豐富內涵：數量關系上研究了數列的前n項和;空間形式上蘊含了“正方形數”、“三角形數”及其關系;推理方法上既有歸納類比的合情推理，又有分析綜合的演繹推理，具體涉及公式法、分組求和、裂項相消等多種數列求和方法，滲透整體、對稱和模型思想。另一方面發展了數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算的數學核心素養。盡管交流展示中有解答的困惑、方向的迷茫，但學生在分享對話中實現著知識意義的建構，在困難挑戰中超越了自我。

（3）自評互評

學習評價不但是及時了解學生學習質量的重要手段和途徑，也是學生學習的重要內容和策略，是學習活動不可或缺的組成部分[10]。斯塔弗爾比姆指出：“評價最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進。”斯蒂金斯也認為：“如果評價不能在日常的課堂實踐中有效地運行，那么其他層面的評價完全是浪費時間和金錢。”展開課堂學習評價就是為了全面了解學生的數學學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學[2]。

評價中應注意把握幾個關鍵：保證評價主體的多元化、重視評價目標的多維化、關注評價內容的多樣化。首先，改變教師單一評價的方式，提倡學生自我評價、組內及全班同學互相評價、教師評定等共同參與的評價方式。這樣既保證了學生的主體地位，也促進了生生、師生間的溝通融合。其次，摒棄“只重結果，不看過程”的單一評價目標，即不能只關注數學學習水平與結果，也要關注學生在課前探究及成果展示中所表現出來的情感、態度和價值觀，讓評價成為學生有益的經歷。比如，關注學生學習數學的激情，肯定學生不畏挫折的勇氣。最后，評價內容不僅要涉及學生解決問題過程中所反映出的知識和技能，也要關注學生在問題解決、數學思考、數學交流等方面的體驗，比如贊賞學生為解決問題所展示的獨特數學思維，評價學生數學語言的運用水平等等。總的說來，評價既是對前面環節的總結和反思，也是對后續環節的預測和調控，它幫助學生認識自我、悅納自我，并增強自我監控、調整意識，這對提高學生元認知水平具有積極意義。

（4）遷移拓展

遷移是一種學習對另一種學習的影響[4]，拓展是在此影響的基礎上，認知和經驗所發生的質的變化.如果說前幾個階段是對公式學習的準備階段，那遷移則是提高認知、積累經驗的起步階段，而拓展就是充實和完善個體認知結構的深化階段。對數學公式的遷移拓展并非是簡單的規則套用和程序操作，也并非只是圍繞公式的文本拓展，它是知識方法體系的建構，是數學思維活動的擴張，是數學能力發展的歸宿。鄭毓信教授指出：“數學核心素養的基本含義就在于：我們應當通過數學教學幫助學生學會思維，并能使它們逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”基于此，可考慮以下幾個層次的遷移拓展。

首先，組織學生總結反思。這是提高學習效率、學會學習的重要策略[10]。它不僅幫助學生了解公式的來源與背景、把握公式的本質與規律、領悟推證的思想與方法，更為學生形成穩定的公式體系奠定基礎。拉卡托斯就曾指出：一個命題的確認，是經過了反復的猜想和批評、證明與反駁而逐漸發展形成的[11]。其次，圍繞教材內容展開拓展。教材是連接課程方案與教學實踐的樞紐，是教師教和學生學的載體[12]。對教材部分例題、習題的變式、推廣、改編，形成問題系列，對增強學生在解決問題中的模式識別、策略選擇、激活擴散等信息加工能力有深遠影響[4]。最后，引導學生課后探究。教學永遠是一門缺憾的藝術，短暫的課堂時間無法滿足數學愛好者對知識的渴望和追求。鼓勵學生課后多元表征公式、探究多種證明推導方法，多視角變式推廣公式，以此挖掘學生潛力，培養學生的創新思維和批判精神。正如弗萊登塔爾所說：“即使是兒童，也已經具有某種‘潛在的發現能力，它們的思維和行為方式已經具備了某些教師甚至研究人員的特征。”

四、結束語

核心素養概念是對“教育應該培養什么樣的人”的具體回答[13]。事實上，在關注人的素養發展、推進人的素養發展與時代發展需求相融合的進程中，“怎樣培養人”比“培養怎樣的人”更重要，“怎么教”“怎么學”比“教什么”“學什么”更重要[6]。這正如畢達哥拉斯所說，在數學的天地里，重要的不是我們知道了什么，而是我們怎么知道什么。“三線四環節”公式教學模式通過各環節問題驅動，將對公式學習的內容問題化，情境化，并利用課前獨立思考、課中學生協作、師生對話、課后遷移拓展等途徑實現了知識學習途徑的翻轉，充分肯定了學生學習的主體地位，發揮了教師是學生學習的組織者、引導者、合作者的角色功能，不僅使得學生獲得了知識技能，更重要的是，幫助他們學會了學習、學會了思考、學會了接納共處、學會了反思總結、學會了創新創造，這對提高學生的元認知水平，發展可持續的學習能力，具有重要的意義。在課程改革不斷深入的今天，如何由“素養關懷”走向“教學關懷”，讓核心素養的培養生根落地并轉化為課堂教學行動力，如何由“知識為本”轉向“學生為本”，將學科知識價值真正內化為學生學科核心素養，還期待更多的理論探討和教學實踐積累。

參考文獻

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[13] 林崇德.21世紀學生發展核心素養研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[作者：余小芬（1986-），女，四川內江人，內江師范學院數學與信息科學學院，副教授，碩士。]

【責任編輯 ?劉永慶】