天體運動類試題縷析

陜西 邢彥君 邢 星

萬有引力定律與天體運動，是高考的必考點。涉及此考點的試題，常涉及萬有引力定律的簡單應用、環繞圓周運動、環繞橢圓運動、衛星的變軌、天體自轉、雙星運動等模型或情境，還會涉及天體表面的重力加速度、天體的密度的考查等。本文以近年高考真題中的萬有引力定律及天體運動問題為例，從八個方面逐一分析，希望能對2020年高考復課教學有所裨益。

一、萬有引力定律——美妙的平方反比律

【例1】(2019年全國卷Ⅱ第14題)2019年1月，我國“嫦娥四號”探測器成功在月球背面軟著陸，在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關系的圖象是

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A

B

C

D

【點評】牛頓在開普勒行星運動第三定律的基礎上，將行星的公轉軌道視為正圓，用他的第二定律推導并運用月地檢驗，然后推廣，發現了萬有引力定律；哈雷運用萬有引力定律成功預測了彗星的回歸；牛頓發現萬有引力定律100多年后，卡文迪許利用扭秤測出了引力常量G的值；在天體的環繞運動模型中，天體均可視為質量集中在球心的質點。

二、環繞圓周運動——軌道半徑決定一切

【例2】(2018年全國卷Ⅲ第15題)為了探測引力波，“天琴計劃”預計發射地球衛星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為

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A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1

三、變軌運動——速度可影響軌道

【例3】(2016年天津卷第3題)我國即將發射“天宮二號”空間實驗室，之后發射“神舟十一號”飛船與“天宮二號”對接。假設“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是

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圖1

A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現對接

B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現對接

C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現對接

D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現對接

【解析】“神舟十一號”圍繞地心做圓周運動的軌道半徑小于“天宮二號”圍繞地心做圓周運動的軌道半徑，對“神舟十一號”實施加速變軌，使其做離心運動，當它的橢圓軌道內切于“天宮二號”的軌道時兩者等速相遇，可實現對接，故選項C正確。

【點評】衛星或人造飛行器環繞天體做圓周運動時，使其突然加速，將做離心運動進入橢圓軌道，其橢圓軌道在加速點外切于變軌前的圓軌道；使其突然減速，將做近心運動進入橢圓軌道，其橢圓軌道在減度點內切于變軌前的圓軌道。衛星或人造飛行器環繞天體做橢圓運動時，在遠地點使其突然適當加速，將做離心運動進入圓軌道，其圓軌道在加速點外切于變軌前的橢圓軌道；使其在近地點突然適當減速，將做近心運動進入圓軌道，其圓軌道在減速點內切于變軌前的圓軌道。

四、環繞橢圓運動——速率與加速度同變

【例4】(2019年江蘇卷第4題)1970年成功發射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛星，該衛星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖2所示，設衛星在近地點、遠地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質量為M，引力常量為G。則

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圖2

【點評】開普勒第三定律推論1適用于行星環繞太陽的圓周運動，若行星環繞太陽的公轉是勻速圓周運動，行星軌道半長軸的三次方與周期的二次方成正比；推論2適用于多個天體環繞非太陽的中心天體的橢圓軌道或圓軌道運動。

五、天體自轉不瓦解——密度與轉速相制約

【例5】(2018年全國卷Ⅱ第16題)2018年2月，我國500 m 口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉周期T=5.19 ms，假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為

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A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

六、雙星運動——周期相同的同心圓運動

【例6】(2018年全國卷Ⅰ第20題)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，將兩顆中子星都看做是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星

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A.質量之積 B.質量之和

C.速率之和 D.各自的自轉角速度

七、外星上的物理過程——物理規律都相同

【例7】(2019年全國卷Ⅰ第21題)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖3中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關系如圖3中虛線所示，假設兩星球均為質量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則

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圖3

A.M與N的密度相等

B.Q的質量是P的3倍

C.Q下落過程中的最大動能是P的4倍

D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

八、飛出地球去——三種宇宙速度

【例8】(2019年北京卷第18題)2019年5月17日，我國成功發射第45顆北斗導航衛星，該衛星屬于地球靜止軌道衛星(同步衛星)。該衛星

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A.入軌后可以位于北京正上方

B.入軌后的速度大于第一宇宙速度

C.發射速度大于第二宇宙速度

D.若發射到近地圓軌道所需能量較少

【解析】地球靜止軌道衛星(同步衛星)的工作軌道在赤道平面，運動中衛星不可能通過或位于北京正上方，故選項A錯誤；第一宇宙速度是近地衛星(軌道半徑等于地球半徑)環繞地心圓周運動的速度，是地球衛星的最大環繞速度，地球靜止軌道衛星的軌道半徑大于地球半徑，約為地球半徑的6.6倍，因此，入軌后的速度小于第一宇宙速度，故選項B錯誤；由于地球靜止軌道衛星在地球引力作用下環繞地心運動，其發射速度小于第二宇宙速度，故選項C錯誤；將衛星發送至預定軌道，需要克服地球引力做功而消耗能量，發射到高度較低的近地圓軌道克服地球引力做功較少，所需能量較少，故選項D正確。

【點評】第一宇宙速度是近地衛星環繞地心做圓周運動的速度(相對地心)，是衛星環繞地球運動的最大速度，也稱最大環繞速度；第二宇宙速度是物體脫離地球引力束縛，環繞太陽運動的最小速度(相對地心)，也稱脫離速度；第三宇宙速度是物體脫離太陽引力束縛，離開太陽系的最小速度(相對地心)，也稱逃逸速度。在地面上發射衛星或人造飛行器，當發射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度時，將環繞地球做橢圓運動，發射速度越大，橢圓軌道的長軸越長；當發射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度時，將環繞太陽做橢圓運動，發射速度越大，橢圓軌道的長軸越長。所有的地球同步衛星，在同一軌道上沿地球自轉方向做相同的勻速圓周運動。