“平拋+斜面”模型六大解題策略

福建 饒華東

平拋運動是考查“運動合成與分解”相關知識的重要載體，同時還可以結合功能關系考查，歷來是高考的重點和熱點，高考真題和各省質檢試題中結合體育運動、生產勞動、軍事訓練等考查平拋運動的題目層出不窮。這些試題中“平拋+斜面”模型又是最常見的，特別是在2007年至2013年期間幾乎每年都有高考試題涉及該模型(見表1)。2020年第32屆夏季奧運會在日本東京舉辦，2022年第24屆冬季奧運會則將在我國由北京和張家口聯合舉辦，在此背景下，以跳臺滑雪、飛鏢投擲等體育運動為情景的“平拋+斜面”模型(或其衍生模型)，有可能再次進入命題專家的視野，2020年考生在高考備考時應該重視這一點，本文從六個方面闡述了“平拋+斜面”模型的解題策略以期對考生有所幫助。

表1 2007～2018年間“平拋+斜面”模型高考題統計

一、化曲為直，變難為易

平拋運動是勻變速曲線運動，運動過程中加速度不變，但速度方向和位移方向時刻在變，直接分析將會感到無從下手，如果將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，對運動過程的分析將變得簡單明了。

圖1

【例1】(2008年全國卷Ⅰ第14題)如圖2所示，一物體自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上。物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角φ滿足

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A.tanφ=sinθB.tanφ=cosθ

C.tanφ=tanθD.tanφ=2tanθ

圖2

【解析】φ為速度與水平方向的夾角，而θ等于位移與水平方向的夾角，直接套用前面分析得出的結論：做平拋運動的物體，任意時刻速度與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的兩倍，故選項D正確。

【點評】本題主要考查平拋運動規律的理解和應用，將平拋運動分解為水平的勻速直線運動和豎直的自由落體運動，結合數學知識，便可推導出正確答案，當然如果能熟練運用二級結論，本題可以直接“秒殺”。需要指出的是熟練運用二級結論的前提是深刻理解平拋運動的規律，教學中發現部分同學將結論記成φ=2θ，在復習過程中應特別提醒學生，避免他們犯錯。

【例2】橫截面為直角三角形的兩個相同斜面體緊靠在一起，固定在水平面上，如圖3所示，它們的豎直邊長都是底邊長的一半。現有三個小球從左邊斜面的頂端以不同的初速度向右水平拋出，最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c。下列判斷正確的是

( )

圖3

A.圖中三個小球相比較，落在a點的小球運動時間最長

B.圖中三個小球相比較，落在c點的小球初速度最大

C.圖中三個小球相比較，落在c點的小球運動過程中速度變化最快

D.無論小球拋出時速度多大，落到兩個斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直

【點評】做平拋運動的物體，其運動時間由下落高度決定，水平位移大小由初速度和下落高度共同決定，而落到斜面上時，速度與斜面的夾角受到平拋運動規律的限制，并非所有的值都能取到，這點需要特別注意。

二、另類分解，突破難點

解答平拋運動有關習題時，一般將運動分解為水平的勻速直線運動和豎直的自由落體運動，但我們在解題過程中要避免陷入思維定式，在某些特殊的情景中，另類的分解方式往往可以快速突破難點，比如對于斜面上的平拋運動，可以將其分解為沿斜面方向的勻加速直線運動和垂直斜面的類上拋運動。類似的，斜拋運動除了可以分解為水平的勻速運動和豎直的上拋運動，還可以分解為沿初速度方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動。

【例3】(原創)如圖4所示，以初速度v0從傾角為θ的斜面上A點水平向右拋出一個可視為質點的小球，小球落在斜面上的B點，C點為小球在運動過程中離斜面最遠的點，已知重力加速度為g，下列說法正確的是

( )

圖4

B.小球從A到C和從C到B所需時間相等

C.小球從A到C和C到B沿斜面的位移x1∶x2=1∶1

D.小球從A到C和C到B沿斜面的位移x1∶x2=1∶3

圖5

【點評】本題是筆者原創的習題，在實際測試中，得分率不高。CD選項錯選率很高，錯選C的同學誤認為小球沿斜面勻速，而錯選D的同學，雖然知道小球沿斜面是勻加速運動，但沒注意到小球沿斜面有初速度。此外，求解小球離斜面的最遠距離也是本題的難點。

三、妙用結論，快速解題

圖6

結論二 從斜面上拋出一個小球又落在斜面上，落在斜面上時末速度與斜面的夾角β為一定值，滿足tan(θ+β)=2tanθ(θ為斜面傾角)，即以不同的初速平拋小球，打在斜面上時，末速度方向平行。

【例4】如圖7所示的兩個斜面，傾角分別為37°和53°，在斜面頂端將兩個小球A、B以同樣大小的初速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在斜面上，若不計空氣阻力，則A、B兩個小球平拋運動時間之比為

( )

圖7

A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16

( )

圖8

【點評】若使用常規方法，這兩個例題都需要大量計算，如果套用二級結論，則可輕松得出正確選項。

四、圖形輔助，直觀想象

【例6】(2015年上海卷第16題)如圖9所示，戰機在斜坡上方進行投彈演練。戰機水平勻速飛行，每隔相等時間釋放一顆炸彈，第一顆落在a點，第二顆落在b點。斜坡上c、d兩點與a、b共線，且ab=bc=cd，不計空氣阻力。第三顆炸彈將落在

( )

圖9

A.bc之間 B.c點 C.cd之間 D.d點

【解析】如圖10所示，碰到斜坡前，炸彈在空中的軌跡是相互“平行”的，a、b之間及b、c之間的豎直高度差Δh相等，由于炸彈在豎直方向做自由落體運動，豎直速度越來越大，炸彈在b、c之間的下落時間Δt2小于炸彈在a、b之間的下落時間Δt1，炸彈在水平方向做勻速直線運動，Δt1時間內的水平位移Δx1=v0Δt1，Δt2時間內的水平位移Δx2=v0Δt2，顯然Δx2<Δx1，炸彈在c點前碰到斜坡，落在bc之間。

圖10

【點評】本題若采用解析法，列方程求解將會十分繁瑣，而借助圖象，直觀明了，大大縮短了解題時間，提高了效率。

五、歸類對比，明辨異同

圖11所示甲乙丙的三種情形，是學生容易混淆的，小球“切入斜面”是指小球剛到達斜面時速度與斜面平行，“垂直打擊斜面”是指小球到達斜面時速度與斜面垂直，“落在斜面上離拋出點最近的位置”指的是落在斜面上時位移與斜面垂直。

甲

乙

丙

【例7】(原創題)如圖12所示，固定斜面傾角為θ，兩個可視為質點的小球，先后從相同高度以初速度v0水平向右拋出，第一個小球垂直撞在斜面上，第二個小球落在斜面上離拋出點最近的位置，則兩個小球在空中的運動時間之比為

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圖12

圖13

圖14

【點評】解答本題的關鍵是要理解“小球垂直撞在斜面上”和“小球落在斜面上離拋出點最近的位置”的物理意義。在正確理解的情況下，根據平拋運動規律，結合幾何關系，便可得出正確答案。

六、數理結合，巧求極值

平拋運動的極值問題，是平拋問題中的難點，要突破這一難點，需要一定的數學技巧。常用的技巧有“構造均值不等式求極值”“利用二次函數單調性求極值”“導數法求極值”等。

【例8】(原創題)如圖15所示，一質量為m的小球(可視為質點)從傾角θ=45°的固定斜面底端A點正上方不同位置水平拋出，均落在斜面上的D點上，不計空氣阻力，已知D、C點在同一水平線上，C點在A點正上方，D、C間距x=1 m，試分析h取何值時小球落在D點時的動能最小？

圖15

【點評】平拋運動中，如果涉及速度、位移、動能等物理量極值的求解，一般需要根據平拋運動規律得出相應物理量的表達式，再結合數學知識求解。

平拋運動是歷年高考的必考內容，“平拋+斜面”模型在高考題中頻頻出現，近年來題目背景推陳出新，加強了物理知識與生活背景的聯系，但不管題目背景如何變化，考查方向不會變，解題方法不會變，掌握好上述六大策略，便能“逢山開路，遇水搭橋”“化曲為直找規律，數形結合巧解題。”