深度挖掘習題，拓展變式研究
——“帶電粒子在復合場中運動”問題的分析

廣東 古煥標

在教學實踐中，以課本習題為母題進行變式訓練，可以使學生掌握物理解題的本質方法，達到“由一題通一類”的教學效果。同時，源于課本而又高于課本是高考命題原則，每年均有一定數量的試題是以課本習題為素材，通過變形、延伸與拓展來命制高考物理試題。因此，教材習題是十分有價值的教學資源，是高考的源題精華所在。而帶電粒子在復合場中運動問題是高考的重點、熱點問題，為此本文從教材入手，將此類模型問題對照高考真題，體現高考試題是如何變式得來，幫助同學們掌握此類模型的來源與解題方法。

一、習題挖掘——問題源于課本

【教材】問題與練習(人教版物理《選修3-1》第98頁)

圖1

【點評】通過分析本題，可以讓學生初步了解帶電粒子在復合場中運動問題的處理方法，即首先要弄清復合場的組成，其次，要正確對帶電粒子進行受力分析和運動過程分析。

二、拓展變式——問題舉一反三

帶電粒子在復合場中的運動問題仍是一個力學問題，求解思路與力學問題的求解思路基本相同，即分析運動過程及受力情況，充分挖掘題目中的隱含條件，根據不同的運動情況建立相應的方程。

1.帶電粒子在疊加場中的運動

圖2

(1)小球做勻速直線運動的速度v的大小和方向；

(2)從撤掉磁場到小球再次穿過P點所在的這條電場線經歷的時間t。

【解題策略】首先應弄清疊加場的組成特點，對帶電粒子進行受力分析，結合運動情況和受力情況確定帶電粒子的運動狀態，畫出粒子運動軌跡，靈活選擇不同的運動規律求解。本題中小球在電場、磁場、重力場三場共存的區域中做勻速直線運動，所受的合力為零，根據共點力平衡可列方程求解。撤掉磁場后，小球在電場、重力場共存的區域中所受的合力不為零，粒子在P點的速度方向與所受的合力方向垂直，做類平拋運動，運用類平拋運動的規律或勻變速直線運動的位移公式即可求解。

【解析】(1)小球在P點做勻速直線運動，小球受力情況如圖3所示，由平衡條件得

圖3

代入數據，解得v=20 m/s

設速度v的方向與電場強度E的方向成θ角，則

(2)解法一 撤去磁場，小球在重力與電場力的合力作用下做類平拋運動，如圖4所示。設其加速度為a，有

圖4

設撤掉磁場后小球在初速度方向上的分位移為x，有

x=vt

設小球在重力與電場力的合力方向上分位移為y，有

a與mg的夾角和v與E的夾角相同，均為θ，又

解法二 撤去磁場后，由于電場力垂直于豎直方向，它對豎直方向的分運動沒有影響，以P點為坐標原點，豎直向上為正方向，小球在豎直方向上做勻減速運動，其初速度為

vy=vsinθ

若使小球再次穿過P點所在的電場線，僅需小球的豎直方向上分位移為零，則有

【點評】此題粒子在電場、磁場、重力場三場共存的區域中做勻速直線運動，粒子運動的區域由例1中的兩個場變為此題的三個場，考查了學生對知識的遷移能力；撤掉磁場后，粒子在P點受重力與電場力的合力方向與粒子在P點的速度方向垂直，且合力不變，粒子做類平拋運動，考查了學生運用已學書本知識，解決實際問題的能力。另外，此題第(2)問的兩種解法中，解法一應用了平拋的規律求解，解法二采用整體法，直接應用勻變速直線運動的位移公式求解，顯然解法二更簡潔，會更好。本題通過不同解法的選擇，有著不一樣的解題復雜性與解題思路，可以激發學生物理解題的潛能與積極性，對學生創新能力及綜合解題能力的培養有顯著的作用。

【變式2】(2009年天津卷第11題)如圖5所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應強度為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸。一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經x軸上的M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L，小球過M點時的速度方向與x軸的方向夾角為θ。不計空氣阻力，重力加速度為g，求：

圖5

(1)電場強度E的大小和方向；

(2)小球從A點拋出時初速度v0的大小；

(3)A點到x軸的高度h。

【解析】(1)小球從M到N做勻速圓周運動，重力和電場力二力平衡，則

qE=mg

(2)小球從A點到M點做平拋運動，由平拋運動規律可知小球在M點有

圖6

(3)小球由A點到M點做平拋運動，由動能定理得

【點評】例1作為課本中問題與練習，初步讓學生掌握粒子在只有兩個場中做勻速直線運動的方法，變式1通過粒子在三場共存的區域中做勻速直線運動，考查了學生對知識的遷移能力，緊接著通過變式1中的第(2)問，讓學生掌握粒子從做直線運動過渡到做曲線運動的分析方法；而本題在變式1的基礎上，建立平拋運動、圓周運動的基本模型，通過粒子在三場共存的區域中做勻速圓周運動，考查了學生處理多過程問題的方法和解決實際問題的能力。本題在講評時可進行加不同方向磁場的變式訓練，通過此類知識的變式訓練，將一些相似的情景放在一起，讓學生弄清“形異質同”的物理本質，提高對課本習題重視的同時，較好地提高物理的解題能力。

2.帶電粒子在組合場中的運動

【教材】例題(人教版物理《選修3-1》第100頁)

【例2】一個質量為m、電荷量為q的粒子，從容器A下方的小孔S1飄入電勢差為U的加速電場，其初速度幾乎為0，然后經過S3沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片D上(如圖7所示)。

2.加工技術欠缺，屬粗加工范疇。在普通的加工過程當中缺乏精準的控制，僅僅是大范圍的掌控和粗略的加工，無法完全對小麥價值予以開發，更為嚴重的是由于技術的欠缺，小麥中的營養物質未能被完全保留下來，而這一部分所流失的營養若是能夠被保留下來，必將創造巨大的效益。

圖7

(1)求粒子進入磁場時的速率；

(2)求粒子在磁場中運動的軌道半徑。

【解題策略】帶電粒子在組合場中運動時，首先要弄清場的組成、方向、強弱、范圍等，帶電粒子依次通過不同場區時，由受力情況確定粒子在不同區域的運動情況，正確地畫出粒子的運動軌跡圖；然后根據場的區域和運動規律的不同，將粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段，對不同的階段選取不同的規律處理。本題中粒子先經過加速電場，做勻加速直線運動，可根據運動學公式、牛頓運動定律或動能定理來求解；之后帶電粒子垂直于勻強磁場方向進入磁場，做勻速圓周運動，根據圓周運動公式、牛頓運動定律以及幾何知識即可求解。

把第(1)問中求得的v代入，得出粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為

【點評】本題中的質譜儀是由加速電場和偏轉磁場組成的組合場，屬于粒子在組合場中的運動問題。解決這類問題常用到勻變速直線運動規律、牛頓第二定律、動能定理等知識，在加速電場中求解粒子被加速后的速度一般是用動能定理；在偏轉磁場中粒子做勻速圓周運動，向心力由洛倫茲力提供，應用牛頓第二定律求解。解決此類問題的關鍵是要正確對帶電粒子進行受力和運動過程分析。

【變式3】(2017年天津卷第11題)平面直角坐標系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的勻強磁場，第Ⅲ象限存在沿y軸負方向的勻強電場，如圖8所示。一帶負電的粒子從電場中的Q點以速度v0沿x軸正方向開始運動，Q點到y軸的距離為到x軸距離的2倍。粒子從坐標原點O離開電場進入磁場，最終從x軸上的P點射出磁場，P點到y軸距離與Q點到y軸距離相等。不計粒子重力，問：

圖8

(1)粒子到達O點時速度的大小和方向；

(2)電場強度和磁感應強度的大小之比。

【解題策略】弄清電場、磁場、重力場在平面直角坐標系xOy中的分布情況，粒子運動的過程劃分為兩個不同的階段，首先帶電粒子垂直于電場方向進入電場，粒子做類平拋運動，可根據平拋運動規律、功能關系來求解；之后粒子以某一速度垂直于勻強磁場方向進入磁場，粒子做勻速圓周運動，根據圓周運動公式、牛頓第二定律以及幾何知識即可求解。特別要注意明確帶電粒子通過不同場區交界處時的速度大小和方向的關系，上一個區域的末速度往往是下一個區域的初速度。

【解析】(1)設粒子在O點的速度大小為v、方向與x軸正方向的夾角為θ、y軸方向的速度大小為vy，粒子從Q點到達O點做類平拋運動，如圖9所示。

圖9

在Q點，由類平拋運動規律得

x軸方向，粒子做勻速直線運動，則

2L=v0t

解得vy=v0，tanθ=1

即θ=45°，粒子到達O點時的速度與x軸正方向成45°斜向上，則

(2)設電場強度為E，粒子的質量為m、帶電荷量為q。粒子從Q點到達O點，由動能定理得

設磁感應強度為B，粒子做圓周運動的半徑為R。粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則

【點評】此題變式是對例2的延伸和拓展，能夠很好地幫助學生鞏固知識、鍛煉思維，提高學生綜合解題能力。與例2的不同之處在于電場與磁場的組合位置可根據題目的條件不同而變換，通過粒子在不同場中運動的特點及所遵循的物理規律，考查學生在不同物理情景下靈活應用物理規律解題的能力，在習題課堂講評時還可以變換磁場、電場的組合位置或方向進行變式訓練，達到“由一題通一類”的教學效果。本題解題的關鍵是要明確帶電粒子從電場進入磁場的交界處時的速度大小和方向。

由以上可知在教學中，教師應緊抓教材習題，通過課本例題或習題進行變式訓練，使學生充分掌握物理解題的本質方法，實現“以少勝多”，從而遏制了題海戰術，減輕了學生的學習負擔，體現忠實教材又拓展教材的目的，真正達到“明題理，通類題”的復習思路。