幾何光學光路圖畫法分類例析

2020-11-13 08:08:06湖南楊宗禮

教學考試(高考物理) 2020年2期

湖南楊宗禮

光的折射定律、折射率、反射定律、全反射現象是選修3-4高考考查的熱點內容，幾乎每年都考，主要以計算題或選擇題的形式進行綜合考查。正確畫出完整的光路圖是解決幾何光學問題的前提和關鍵，根據題意準確、規范地畫出光路圖才能找到解答問題的幾何關系，解題時能找出具有代表性的光線并作出光路圖，可以起到事半功倍的效果。下面筆者進行分類例析，希望對同學們有所啟發和幫助。

一、常規情況

【例1】如圖1所示為一透明圓柱體的橫截面，其半徑為R，透明圓柱體的折射率為n，AB是一條直徑。今有一束平行光沿平行AB方向射向圓柱體。求：經透明圓柱體折射后，恰能經過B點的入射光線的入射點到AB的垂直距離。

圖1

【解析】設入射角為i，折射角為r，入射光線到AB的距離為h，如圖2所示。

圖2

【點評】1.本題是簡單的幾何光學問題，其基礎是作出光路圖，根據幾何知識確定入射角與折射角，再根據折射定律求解。

2.所謂常規情況就是研究的光線射到兩種介質的界面上時，往往同時發生光的折射和反射現象。

3.解決光的折射問題的思路

(1)根據入射角、折射角及反射角之間的關系，作出比較完整的光路圖。

(2)利用幾何關系確定光路中的邊、角關系，要注意入射角、折射角均以法線為標準。

(3)利用折射定律、折射率公式求解。

(4)注意在折射現象中光路是可逆的。

【高考真題賞析1】(2018年全國卷Ⅲ)如圖3所示，某同學在一張水平放置的白紙上畫了一個小標記“·”(圖中O點)，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個標記上，小標記位于AC邊上。D位于AB邊上，過D點作AC邊的垂線交AC于F。該同學在D點正上方向下順著直線DF的方向觀察，恰好可以看到小標記的像；過O點作AB邊的垂線交直線DF于E；DE=2 cm，EF=1 cm。求三棱鏡的折射率。(不考慮光線在三棱鏡中的反射)

圖3

【解析】過D點作AB邊的法線NN′，連接OD，則∠ODN=α為O點發出的光線在D點的入射角；設該光線在D點的折射角為β，如圖4所示。根據折射定律有

圖4

nsinα=sinβ①

式中n為三棱鏡的折射率

由幾何關系可知β=60° ②

∠EOF=30° ③

在△OEF中有

EF=OEsin∠EOF④

由③④式和題給條件得

OE=2 cm ⑤

根據題給條件可知，△OED為等腰三角形，有

α=30° ⑥

二、臨界光線

圖5

【解析】如圖6所示，在O點剛好發生全反射時，光在光屏PQ上的落點距O′點最遠

圖6

解得C=45°

入射光與豎直方向的夾角為θ=C-30°=15°

【點評】1.本題屬于光路中的臨界問題。繞O點逆時針旋轉調整入射光與豎直方向的夾角，入射角會不斷增大，折射光線偏離OO′越來越遠，當光線在O點剛好發生全反射，此時光在光屏PQ上的落點距O′點最遠。解題關鍵是找出臨界光線的位置，畫出入射角等于臨界角時的臨界光路圖，利用幾何關系和臨界角公式求解。

2.光線由一種狀態變為另一種狀態時，可能存在一個過度的轉折光線，這種光線稱之為臨界光線。

3.解答光路中的臨界類問題的一般方法如下：

(1)確定光是從光密介質進入光疏介質還是從光疏介質進入光密介質；

(3)根據題設條件，判定光在傳播時是否發生全反射；

(4)如發生全反射，畫出入射角等于臨界角時的臨界光路圖；

(5)運用幾何關系或三角函數關系以及反射定律等進行分析、判斷、運算，解決問題；

【高考真題賞析2】(2019江蘇卷)如圖7所示，某“L”形透明材料的折射率n=2。現沿AB方向切去一角，AB與水平方向的夾角為θ。為使水平方向的光線射到AB面時不會射入空氣，求θ的最大值。

圖7

【解析】要使光線不會射入空氣，即發生全反射，設臨界角為C，即有

由幾何關系得C+θ=90°

聯立解得θ=60°

圖8

【解析】設光從半球殼內表面邊緣上的A點入射，入射角為90°，折射角為α(全反射臨界角也為α)；然后在半球殼外表面內側的B點發生折射，入射角為β，如圖9所示。

圖9

由全反射臨界角的定義得

1=nsinα

由正弦定理得

OD為對稱軸，設∠BOD=γ，由幾何關系可

設B點到OD的距離為r，即為所求的半球殼外表面有光線射出區域的圓形邊界的半徑，由幾何關系有

由上式聯立及題給數據得

三、邊界光線

( )

圖10

圖11

【點評】1.本題求出射光束的寬度，屬于光路中的邊界問題。兩條邊界光線分別是從O點入射的光線和從E點入射的光線，畫出這兩條光線的光路圖，然后運用折射定律與全反射規律結合三角形知識求解。

2.所謂邊界光線是指光在傳播過程中，通過光學儀器或遮光屏的邊緣或端點的光線；亦指一束出射光中兩條最邊緣的光線。

3.解答光路中邊界類問題的一般思路

(1)根據題設條件找準兩條邊界光線

求出射光束的寬度，關鍵是找邊界光線，如果發生了全反射，恰好發生全反射的臨界光線就是一條邊界光線，另一邊界光線要通過分析找出；

(2)畫出兩條邊界光線的光路圖。

(3)運用折射定律、全反射規律以及三角形知識等進行運算解決問題；

圖12

【解析】在半圓柱形玻璃磚橫截面內，考慮沿半徑方向射到圓心O的光線1(如圖13)，它在圓心處的入射角為θ1，滿足θ1=γ①

圖13

θ1恰好等于全反射臨界角，光線1恰好發生全反射。

在光線1左側的光線(例如光線2)經過柱面折射后，射在玻璃磚底面上的入射角θ2滿足θ2>γ②

因而在底面上發生全反射，不能直接折射出。

在光線1右側的光線(例如光線3)經柱面折射后，射在玻璃磚底面上的入射角θ3滿足θ3<γ③

因而在底面上不能發生全反射，能從玻璃磚底面射出。

由折射定律知，經圓柱面折射后的折射角

∠OAB=θ4，滿足sini=nsinθ4⑤

式子中，n是玻璃的折射率，由全反射角的定義知

聯立④⑤⑥式得θ4=γ⑦

由幾何關系可得∠AOB=γ，故底面上透光部分的寬度

四、對稱性在光路中的應用

【例4】如圖14所示，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點為球心；下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜。有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與OC之間的距離為0.6R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射)。求該玻璃的折射率。

圖14

【解析】如圖15所示，根據光路的對稱性和光路可逆性，與入射光線關于OC軸對稱的出射光線一定與入射光線平行。這樣，從半球面射入的折射光線，將從圓柱體底面中心C點反射。設光線在半球面的入射角為i，折射角為r。由折射定律有sini=nsinr①

圖15

由正弦定理有

由幾何關系，入射點的法線與OC的夾角為i

由題設條件和幾何關系有

式中L是入射光線與OC的距離

由②③式和題給數據得

由①③④式和題給數據得

【點評】1.本題的關鍵條件是出射光線與入射光線平行，依據出射光線與入射光線對稱，可判斷光線將從圓柱體底面中心C點反射。畫出光路圖，運用平面幾何便可運算。

2.對稱性解讀：入射到光學元件的光線再從光學元件出射時，出射角與入射角相等，則出射光線與入射光線對稱；反射光線與入射光線關于法線對稱，平面鏡成的像與物關于鏡面對稱。

3.此類問題解題關鍵

利用對稱性分析常常可使問題變得簡單易解，能快速解題的關鍵在于根據對稱性準確找出光線在元件內部的入射點或出射點并正確作出光路圖。

【高考真題賞析5】(2017年全國卷Ⅱ)一直桶狀容器的高為2l，底面是邊長為l的正方形；容器內裝滿某種透明液體，過容器中心軸DD′、垂直于左右兩側面的剖面圖如圖16所示，容器右側內壁涂有反光材料，其他內壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點光源，已知由液體上表面的D點射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。