多視角演繹電路動態平衡的“串反并同”

福建 郭 威

“牽一發而動全身”是電路動態平衡問題的一個特點，“串反并同”法則能使解題過程變得簡單，但大部分老師或學生在使用“串反并同”法則或已發表的期刊論文闡述中未完全體現“串反并同”的適用性及操作性，從而引起各種各樣的疑惑。本文從科學思維的角度，多視角地演繹電路動態平衡“串反并同”的適用范圍與如何操作，用以消除廣大師生在使用法則中常遇到的疑惑。

一、所用原理及簡要證明

“串反并同”法則通常表示為：“串反”即與“變化的電阻”有串聯關系的“元件”，其電流、電壓、功率等變化與“變化的電阻”阻值變化是相反的；“并同”即與阻值“變化的電阻”有并聯關系的“元件”，其電流、電壓、功率等的變化與“變化的電阻”阻值變化是相同的。

證明需要用到一個定理和一個等效方法，如下：

定理：任何兩端有源網絡可等效為一個電源，等效電源的電動勢為兩端開路時的電壓，等效電源的內阻為除去電源后兩端后所得的電阻(戴維南定理)。

等效方法：把阻值“變化的電阻”與要判斷物理量變化的“元件”以外的部分和電源等效成一個等效電源。

如圖1所示，當滑動變阻器滑動觸點P向右端移動時，RP變小，即RP為“變化的電阻”，通過R1、R2的電流如何變化？簡要證明如下：

圖1

圖2

圖3

規律一“串反并同”電源不計內阻時慎用：該電源的路端電壓恒等于電源電動勢大小，與外電路變化無關，當干路上有電阻可以等效成內阻時，此等效后的外電路仍可等效使用“串反并同”。

【試題調研1】如圖4所示，電動勢為E、內阻不計的電源與三個燈泡和三個電阻相接。只合上開關S1，三個燈泡都能正常工作。如果再合上S2，則下列表述正確的是

( )

圖4

A.電源輸出功率減小

B.L1上消耗的功率增大

C.通過R1上的電流增大

D.通過R3上的電流增大

【串反并同解題思路】本題不計內阻，所以電源的路端電壓不變，內阻為零的情況下，電源的路端電壓不符合“串反并同”法則；把R1等效為內阻后，開關“合上”或“斷開”，定性分析時可以直接認定“合上”開關電阻從無窮大變為零，即“變化的電阻”的阻值變小，如圖5虛線框內的動態問題就可以使用“串反并同”法則，干路電流與S2是“串”的關系，“元件”L1、L2、L3、R3與S2都是“并”的關系，即本題選項C正確。

圖5

二、如何判定“串反并同”法則中“變化的電阻”與要判斷物理量變化的“元件”是“串”還是“并”

既然使用“串反并同”法則，那么再去考慮電路要判斷物理量變化的“元件”在電路中與“變化的電阻”是串聯或并聯已沒有實質的意義，而用電流流向法去判斷“串”“并”的關系，在復雜的回路中又因電流流向不容易判斷可能屢屢失敗而對該法則失去信心。所以把“電源”、阻值“變化的電阻”(簡稱“變化的”)、要判斷物理量變化的“元件”(簡稱“要判斷的”)三個元件用一條線連起來形成一個回路，不重回等勢點確定為“串”的關系，否則為“并”的關系(元件斷路除外)，把這種連線方法稱之為“電勢降落連線法”。

注意：①如果“要判斷的”是多個元件與“變化的”電阻的關系，選擇題多以這種形式出現，只能一組一組地來，不能同時一次性把“電源”、所有“要判斷的”多個元件用一條線與“變化的”電阻連起來判斷。

②特別要注意理想電流表內阻視為零，電流表兩端點為等勢點；與電容器串聯的電阻相當于導線，該電阻兩端同為等勢點。

若電表均為理想電表，當滑動變阻器滑動觸點P向右端移動時，應用“電勢降落連線法”(圖6里的虛線)判斷如下：

①判斷R1：可以把電源、“變化的”滑動變阻器、“要判斷的”R1用一條線連成回路，如圖6，即R1與RP是“串”的關系；

②判斷R2：可以把電源、“變化的”滑動變阻器、“要判斷的”R2用一條線連成回路，如圖6，即R2與RP是“串”的關系；

圖6

圖7

圖8

規律二把“電源”、阻值“變化的”元件、物理量“要判斷”的元件三者用一條線連起來，不重回等勢點，不走回頭路(交叉點)即為“串”，要“判斷的元件”的物理量變化與“變化的元件”阻值變化規律相反，即“串反”，否則，即為“并”，要“判斷的元件”的物理量變化與“變化的元件”阻值變化規律相同，即“并同”，這就是本文對“串反并同”法則的定義。

規律三只要電源有內阻，路端電壓一定與“變化的”是“并”的關系，干路電流一定與“變化的”是“串”的關系。

三、含容電路動態變化“串反并同”的處理

規律四含容電路的電容器可以看成一個理想的電壓表，與電容器串聯的電阻是“無效電阻”，相當是導線，如果這個電阻是“變化的”，那么不影響整個電路物理量的變化，其他支路電阻發生變化，可正常應用“串反并同規律”來判斷電容器電壓的變化，由此判斷電容器其他物理量的變化。

【試題調研2】如圖9所示，R1、R2、R3、R4均為可變電阻，C1、C2均為電容器，電源的電動勢為E，內阻r≠0。若改變四個電阻中的一個阻值，則

( )

圖9

A.減小R1，C1、C2所帶的電荷量都增加

B.增大R2，C1、C2所帶的電荷量都增加

C.增大R3，C1、C2所帶的電荷量都增加

D.減小R4，C1、C2所帶的電荷量都增加

【串反并同解題思路】這種含電容器題型先判斷阻值“變化的電阻”與電容是否串聯在一起的，如果是串聯在一起的，“變化的電阻”是無效變化，它相當于導線，先摘去電容器C1，由于R1與C2串聯，則R1是無效“變化的電阻”，選項A錯誤；把電容器看成理想電壓表，R2增大時，把“電源”“變化的電阻”R2、“要判斷的元件”C1用一條線連起來，如圖10的確可以連成一條線，但這條線從圖中A點過R2、C1后回到了B點，而A、B點因R1相當于導線是等勢點，即R2與C1是“并”的關系而非“串”的關系，同理，R2與C2是“并”的關系，R2增大，C1、C2所帶的電荷量都增加，故選項B正確；增大R3時，把“電源”“變化的電阻”R3、“要判斷的元件”C1用一條線連起來，如圖11，即R3與C1是“串”的關系，因為沒有一條線可能同時繞過R3與C2而不走回頭路的，所以R3與C2是“并”的關系，增大R3，C1所帶的電荷量減小、C2所帶的電荷量增加，故選項C錯誤；減小R4時，把“電源”“變化的電阻”R4、“要判斷的元件”C1用一條線連起來，如圖10，這條線路會重新回到A、B等勢點上，所以這條線路不能當作R4與C1“串”的關系的依據，但要考慮“電源”“變化的”R4、“要判斷的”C1還有一條路線可走，如圖11，這條線路經過所有元件后并沒有回到過等勢點，所以R4與C1還是“串”的關系，很明顯，R4與C2是“串”的關系，減小R4，C1、C2所帶的電荷量都增加，故選項D正確。

圖10

圖11

四、電路兩處同時變化“串反并同”的處理

規律五當電路“變化的電阻”有兩處變化，兩處“變化的電阻”分別造成“要判斷的元件”同時益增或益減，依然可以使用“串反并同”法則，但必須一處一處去判斷，再判斷該元件在兩處變化中的綜合結果。

規律六當電路“變化的電阻”有兩處變化，能把兩處“變化的電阻”看成一個整體“變化的電阻”，根據這個整體的變化規律，這個整體外“要判斷的元件”物理量的變化一樣可以使用“串反并同”法則。

【試題調研3】在圖示12電路中，燈L1、L2的電阻分別為R1、R2，變阻器的最大電阻為R0，且R0>R2，電容器的電容為C。若有電流通過，燈就能發光，假設燈的電阻不變，當變阻器的滑動片P由a端向b端移動過程中，以下說法中正確的是

( )

圖12

A.L1先變暗后變亮，L2一直變亮

B.L1先變亮后變暗，L2先變暗后變亮

C.電容器極板所帶的電荷量先增大后減小

D.電源的效率先減小后增大

【串反并同解題思路】判斷L1和電容帶電荷量時應用“串反并同”規律六可以把虛線框這部分看成一個整體，如圖13，再用“串反并同”規律三可知“要判斷的元件”電燈L1在干路上，與“變化的電阻”滑動變阻器、電源是“串”的關系，變阻器的最大電阻為R0，且R0>R2，故當P由a端向b端移動過程中，虛線框總電阻先變大后變小，即L1先變暗后變亮，排除選項B；電容器、虛線框電阻、電源是“并”的關系，電容器極板兩端的電壓先增大后減小，所帶的電荷量先增大后減小，電源效率也先增大后減小，選項C正確，D錯誤；當P由a端向b端移動過程中，滑片左側電阻變小，滑片右側電阻變大，由于燈L2處于兩處“變化的”電路中，我們先用“程序法”分析：當P由a端向b端移動過程中，L1等效成內阻后的路端電壓先變大后變小，干路電流先變小后變大，移到滑動變阻器中間某一位置上、下兩并聯電阻相等時是路端電壓最大值的臨界點，從a端向臨界點移動過程中，把L1等效成內阻后的路端電壓變大，滑片左側與燈L2總電阻變小，所以燈L2的電流變大，即L2變亮；從臨界點向b端移動過程中，R0左側與燈L2總電阻變小，把L1等效成內阻后的路端電壓也在變小，燈L2的電流暫時無法判斷，從臨界點向b端移動過程中，滑片右側電阻變大，L1等效成內阻后的路端電壓在變小，滑片右支部的電流變小，而這過程干路電流變大，故燈L2的電流也變大，即當P由a端向b端移動過程中，L2一直變亮，故選項A正確。“串反并同”解題思路分析A選項，可知電源、滑片左側與燈L2是恒“串”的關系，電源、滑片右側與燈L2是恒“并”的關系，根據規律五對這種滑動變阻器并聯式接法，一樣可以使用“串反并同”。

圖13

五、判斷電路故障問題“串反并同”的處理

規律七電路某處發生故障，即“變化的電阻”阻值變小，斷路“變化的電阻”阻值變大，會引起電路中其他物理量的變化，在電源電阻不能忽略的情況下，如果多處的物理量同時變大或變小，說明發生故障的位置與這位置分別為“并”的關系，如果兩處的物理量一個變大一個變小，說明發生故障的位置與這兩處一個為“并”的關系，一個為“串”的關系。

【試題調研4】如圖14所示的電路中，閉合開關，燈L1、L2正常發光，由于電路出現故障，突然發現燈L1變亮，燈L2變暗，電流表的讀數變小，根據分析，發生的故障可能是

( )

圖14

A.R1斷路 B.R2斷路 C.R3短路 D.R4短路

【串反并同解題思路】由于電路出現故障，突然發現燈L1變亮，燈L2變暗，電流表的讀數變小，說明故障的位置如果是斷路，該處電阻變大，與L1是“并”的關系，與L2和電流表是“串”的關系，用一條線不能把電源、R1、L1連起來，所以R1與L1是“并”的關系，如圖15，ABCGFM和電源可以連成不回到等勢點的一條線，R1與L2是“串”的關系；ABCDHM和電源可以連成不回到等勢點的一條線，R1與電流表是“串”的關系；故R1斷路電阻變大，L1變亮，燈L2變暗，電流表的讀數變小，選項A正確；AGCDHM這條線路R2與電燈L1和電流表是“串”的關系，所以電燈L1和電流表變化步調一致，所以無論R2斷路還是短路都與題設條件矛盾，選項B錯誤；AGFDHM這條線路R3與電燈L1和電流表是“串”的關系，所以無論R3斷路還是短路都與題設條件矛盾，選項C錯誤；AGFDHM這條線路R4與電燈L1和電流表是“串”的關系，所以無論R4斷路還是短路都與題設條件矛盾，選項D錯誤。要特別注意本題電路圖ABCDFM雖然與電源可以連成一條線，但GF是等勢點，故這條線路不能稱之為“串”。

圖15

規律八當電源為恒壓源時，路端電壓的大小不變，相當于電源沒有內阻的情況，可按規律一處理；但當電源為恒流源時，不符合“串反并同”法則條件，只能按“程序法”求解。

【試題調研5】在如圖16所示的電路中，電源電動勢為E，內阻為r，M為多種元件集成的電子元件，其阻值與兩端所加的電壓成正比(即RM=KU，式中K為正常數)且遵循歐姆定律。R1和R2是兩個定值電阻(其電阻可視為不隨溫度變化而變化)。R為滑動變阻器，現閉合開關S，使變阻器的滑片向上移動，下列說法正確的是

( )

圖16

A.電壓表V1和V2讀數增大

B.電子元件M兩端的電壓減小

C.通過電阻R的電流增大

D.電流表讀數減小

【串反并同解題思路】本題答案為CD，因為RM=KU，式中K為正常數且遵循歐姆定律，RM=IU，所以干路電流I是一個定值K，電源相當一個恒流源，當變阻器的滑片向上移動時，電阻R變小，總電阻變小，總電流變大，恒流源恒定情況下其他元件的物理量變化會受到該條件的約束，與“串反并同”的條件是相悖的，再使用“串反并同”法則所得出結論可能與“程序法”分析相反。