基于問(wèn)題鏈的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)錄與感想
——以一道高考真題為例

廣東省清遠(yuǎn)市第二中學(xué) (511500) 湯華英

一﹑問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)指出:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)通過(guò)具體的方式及載體，在學(xué)生掌握知識(shí)技能的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[1].那么，身為一線教師，在課堂教學(xué)中，要做哪些改變或創(chuàng)新，才能讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根，在《新課標(biāo)》教學(xué)實(shí)施建議部分提出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境﹑提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)始于問(wèn)題，可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題作為提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)切入點(diǎn).本文以問(wèn)題鏈為載體，對(duì)一道高考真題進(jìn)行逆向﹑推廣﹑類比，以期達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之效.

二﹑教學(xué)片段實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)引入性問(wèn)題

師：生1的解題思路明確，在計(jì)算之前，請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題，根據(jù)韋達(dá)定理，把kPM+kPN轉(zhuǎn)化為含k，b的代數(shù)式，要使這個(gè)代數(shù)式為0，該怎么處理？

生2：k是變化的，b是常數(shù)，根據(jù)題意應(yīng)將k分離出來(lái)，得a與b的關(guān)系式.

師：很好.

生3：顯然，當(dāng)b=-a時(shí)，kPM+kPN=0，直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，即∠OPM=∠OPN，此時(shí)P(0，-a)符合題意.

師：上述三位同學(xué)解題思路清晰、嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)用代數(shù)法解決解析幾何的問(wèn)題，體現(xiàn)了圓錐曲線問(wèn)題的通性通法，值得大家借鑒.

設(shè)計(jì)意圖：以高考真題引入教學(xué)，學(xué)生比較感興趣，用常規(guī)的方法解題，較好地落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能.在求解過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)把直線方程代入圓錐曲線方程后，若一元二次方程不好解，則應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2.形成逆向問(wèn)題鏈

師：一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題不外乎由條件和結(jié)論所構(gòu)成，如果交換問(wèn)題1中的條件和結(jié)論，你可以提出怎樣的問(wèn)題？

學(xué)生獨(dú)立探索3分鐘后，開(kāi)始有人舉手示意.

師：生4用逆向思維的方法，把問(wèn)題1的條件與結(jié)論互換，即把求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題改編成證明兩角相等問(wèn)題，這是一個(gè)精彩的問(wèn)題,誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)解這個(gè)題的思路嗎？

生4：?jiǎn)栴}1與問(wèn)題1-1一個(gè)是由因?qū)Ч粋€(gè)是執(zhí)果索因，根據(jù)問(wèn)題1的解法以及邏輯推理中的充分必要性，條件與結(jié)論是充要關(guān)系.

課堂上一片歡呼，都贊同生4的觀點(diǎn).

師：生4利用逆向思維生成了新的問(wèn)題并加以解決，我們平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要不斷感悟、鍛煉、積累用逆向思維提出問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：逆向思維是與常規(guī)順向思維方向相反的思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生用逆向思維的方法提出問(wèn)題，幫助學(xué)生深化認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成勤于思考﹑勇于探索的良好思維品質(zhì)，有效地提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.形成推廣問(wèn)題鏈

師：?jiǎn)栴}1是一個(gè)特殊拋物線問(wèn)題，推廣到一般拋物線方程結(jié)論還成立嗎？

生5提出了新的想法.

師：生5是推廣化思維，說(shuō)說(shuō)怎么解決你的問(wèn)題？

生5：解法與問(wèn)題1類似.

師：大家同意生5的說(shuō)法嗎？

學(xué)生一致同意，并解得：在y軸上存在點(diǎn)P(0，-a)，使得∠OPM=∠OPN.

設(shè)計(jì)意圖：從特殊的拋物線出發(fā)推廣到一般的拋物線，體現(xiàn)了由特殊推廣到一般的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由感性到理性思考問(wèn)題，不僅提高了學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，還有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的熏陶.

4.形成類比問(wèn)題鏈

師：拋物線、橢圓、雙曲線是相近的曲線，問(wèn)題1能不能類比到橢圓、雙曲線？

生6：我猜想可以類比到橢圓、雙曲線上.

師：說(shuō)說(shuō)你的猜想.

師：生6把問(wèn)題1類比到了橢圓上，哪位同學(xué)解決？

師：很好，由于時(shí)間的關(guān)系，同學(xué)們課后思考類比到雙曲線上的情況.

設(shè)計(jì)意圖：在拋物線基礎(chǔ)上進(jìn)一步類比為橢圓、雙曲線，讓學(xué)生體會(huì)類比提出問(wèn)題的思想方法，問(wèn)題1-1、問(wèn)題2、問(wèn)題2-1的解法類似問(wèn)題1，都是用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會(huì)類比解決問(wèn)題的思想方法.數(shù)學(xué)上的很多知識(shí)都是在類比中發(fā)生發(fā)展的，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成積極探索的科學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

5.課堂小結(jié)

師：這節(jié)課對(duì)一道高考真題進(jìn)行了研究與拓展，同學(xué)們從中學(xué)到了什么？

生8：用代數(shù)法研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題.

生9：用到了設(shè)而不求、整體代換、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程思想.特別是以問(wèn)題鏈的形式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了推廣、類比、逆向.

師：總結(jié)的比較全面，我們還可以看到在問(wèn)題變化過(guò)程中，用推廣、類比、逆向這些基本的思維方式提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，潤(rùn)物無(wú)聲下，思維進(jìn)一步升華.

6.課后作業(yè)

問(wèn)題3-1 請(qǐng)仿照問(wèn)題1對(duì)問(wèn)題3以問(wèn)題鏈的形式進(jìn)行逆向﹑推廣﹑類比.

三﹑教學(xué)感想

1.關(guān)注引入性問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)

引入性問(wèn)題是先行組織者，先行組織者是美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾于1960年提出的一個(gè)教育心理學(xué)的重要概念，是一種引導(dǎo)性材料.先行組織者是基于問(wèn)題鏈課堂的關(guān)鍵，它應(yīng)具有可拓展性，能形成有生命力的探究活動(dòng)，又由于高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，先行組織者應(yīng)要有預(yù)設(shè)性的指向，如文中的高考真題，生4交換了問(wèn)題的條件和結(jié)論，生5將特殊問(wèn)題推廣至一般問(wèn)題，生6把拋物線問(wèn)題類比到橢圓上.前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基曾提出：教學(xué)必須走在發(fā)展的前面，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，這樣的教學(xué)才是好的教學(xué)[2].教師平時(shí)要收集一些經(jīng)典素材，積累引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)思維的培育

數(shù)學(xué)是思維的體操，純粹的數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的較低層次,更重要的是通過(guò)解題培養(yǎng)一般意義的數(shù)學(xué)思維.張奠宙先生說(shuō)：“數(shù)學(xué)最大的特殊就在于它是思想材料”.對(duì)思想材料主要進(jìn)行思維加工的心理活動(dòng)，可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)就是學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下進(jìn)行思維活動(dòng)[3].通過(guò)對(duì)文中的高考真題的探索，生4設(shè)計(jì)了逆向問(wèn)題鏈，生5設(shè)計(jì)了推廣問(wèn)題鏈，生6設(shè)計(jì)了類比問(wèn)題鏈,這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)解題以及提出問(wèn)題中的價(jià)值.教師要充分挖掘來(lái)自教材﹑作業(yè)等探究性資源，讓學(xué)生形成逆向﹑推廣﹑類比性思維框架，從而有力地提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.關(guān)注知識(shí)的通性通法

通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)問(wèn)題可能是千變?nèi)f化的，但運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法往往相同.如文中的高考真題將直線方程代入拋物線方程，整理成一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求等通性通法同樣適用研究橢圓、雙曲線.因此在問(wèn)題鏈的教學(xué)中，要注重引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)解決一類問(wèn)題的通性通法，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到數(shù)學(xué)育人的目的.