源自例題 現于真題 探究“新題”*

福建省龍巖市高級中學 (364000) 謝盛富

教材中的例習題凝聚著專家和編者們的智慧結晶，它們具有典型性、代表性和示范性，隱藏了解題思路、方法、背景和結論等.因此，對教材的開發與利用顯得極其重要，通過拓展延伸，能豐富教師的知識體系，培養學生的探究能力、創新能力，提高數學素養.筆者以文[1]第92頁例2(Ⅰ)為例，進行“二次開發”出一系列變式探究.

例題已知O為原點，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A，B.(Ⅰ)求證：OA⊥OB；(Ⅱ)求|AB|的長.

思考1：本小題簡單、通俗易懂，似乎沒有特別之處，然想想，本題可逆嗎？換言之，能由“OA⊥OB”得到“直線方程為y=x-2”嗎？直線唯一嗎？

探究1 已知O為原點，一直線l與拋物線y2=2x相交于點A，B.探究：若OA⊥OB，試求直線l的方程.

結論1O為原點，直線l與拋物線y2=2px(p>0)相交于A，B兩點.若OA⊥OB，則直線l恒過定點(2p,0).反之亦成立.

思考2：直角頂點一定在原點O處嗎？拋物線上有無其它點C滿足“CA⊥CB”？

探究2 直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A，B.試探究：在拋物線上是否存在一點C(異于原點O)，滿足CA⊥CB？請說明理由.

結論2 直線l與拋物線y2=2px(p>0)相交于A，B兩點，點C在拋物線上，則滿足CA⊥CB的點C有4個.

思考3：直角頂點能在拋物線外的某點M嗎？即仍然有MA⊥MB嗎？

探究3 過拋物線y2=2x外一點M作兩條互相垂直的直線，且均與拋物線C相切，切點分別為A，B，求證點M必在某條定直線上，并求此定直線方程.

一些問題直指關鍵。北京市人大內務司法委員會主任委員陳永提問,目前醫養銜接還存在部門各自為政現象,如何加強統籌有效推進醫養結合?北京市衛生健康委主任雷海潮則坦誠回應：北京市級層面已建立市老齡委員會,成員單位已達到55家,為更好履行老齡委員會辦公室的有關職責,我們還建議設立相應的內設機構。

思考4：探究3中的直線AB過某一定點嗎？2019年全國新課標Ⅲ卷理21、文21恰好考查了，背景是阿基米德三角形，這正是反映了高考題來源于教材例習題.事實上，教材例習題、往年高考題和一些優秀數學名題都可能成為某年的高考題，回歸課本，研磨真題，一題多變，多題歸一，值得師生們重視.

結論3 過拋物線外一點M作拋物線的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則點M必在準線上.反之也成立.

探究5 已知拋物線x2=2y，過直線y=-1上的動點D作拋物線的兩條切線，切點分別是A，B.

(Ⅰ)證明：直線AB過定點；(Ⅱ)記兩條切線DA，DB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

解析：設點D(t,-1)，仿探究4的證明可得直線AB的方程為tx-y+1=0，直線AB過定點(0,1)，k1k2=-2(定值).

結論4 已知拋物線x2=2py(p>0)，過直線y=m(m<0)上一點M作拋物線C的兩條切線，則切點弦所在直線必過定點(0,-m)，且兩切線的斜率之積為定值2pm.

思考6：探究1的條件“垂直”改成角度為定值，直線l是否還會恒過定點？

為什么會出現t=3和t=-1兩種情況呢？它們各代表什么含義？結合圖形分析可知，當t=3時，直線l與拋物線的交點在x軸兩側；當t=-1時，直線l與拋物線的交點在x軸同側.因此，要使直線l恒過定點，必須在題中增加條件“A，B在x軸兩側”或“A，B在x軸同側”，此時直線l對應恒過定點(3,0)和(-1,0).

可見，緊扣教材，立足學情，充分發揮例習題的功能，抓住時機有針對性的啟發，讓學生盡可能提出不同的想法，激活他們參與變式探究的樂趣，體驗數學的魅力而不是冰冷，提升思維的廣度和深度，提高學習數學的積極性和主動性，抓住問題變化的核心，經歷問題的層層遞進，深度探究，能全面提高學生在各方面的綜合能力，解決問題應做到更好、更簡、更巧，達到提升數學核心素養的目的.