講好題目背后的“故事”

高 軍 (廣東省深圳市高級中學 518040)

學習數學意味著解題，解題教學對數學知識的講授、數學方法的提煉、數學思想的形成有著重要影響．如何挖掘題目的內涵，講好題目背后的“故事”，對構建學生知識體系、提高學生分析問題和解決問題的能力顯得尤為重要．本文結合具體案例及筆者對解題教學的認識，談談如何提高解題教學效果．

1 引例

(2)是否存在x軸上的定點Q(異于點A)，使得以MP為直徑的圓恒過MQ與BP的交點？

分析 定值、定點問題是高考的高頻考點之一，也是圓錐曲線學習中的重點和難點．此題以橢圓為載體，在動態情境中同時考查了定值、定點問題，解法多樣，思想豐富，內涵深刻．如何講好此題，最大限度發揮其教學功能與價值，筆者從下面三個方面(“故事”)作了探索．

1.1 “故事1”——試題解法探究

思路1 設而不求，進行整體代換

由第(1)問得2x0+my0=4②，將②式代入①式有n(x0-2)=0，x0≠2，解得n=0．因此存在x軸上的定點Q(0,0)，使得以MP為直徑的圓恒通過MQ與BP的交點．

思路2 聯立消元，巧用韋達定理

評注試題解法探究展現了解析幾何問題解決的兩種基本思路，我們簡稱韋達定理型與非韋達定理型．對于單動點問題(其他所有變量都因某個動點的變化引起的)即非韋達定理型，我們常用設而不求思想，尋找各變量的隱性關系整體代換求解；對于雙動點問題(其他變量因直線與曲線兩交點同時變化而引起的)即韋達定理型，我們需設直線方程，聯立消元后用韋達定理解決問題．

1.2 “故事2”——問題本質探究

題目中的問題是非本質的，由特殊到一般，能否證明下列命題：

(2)是否存在x軸上的定點Q(異于點A)，使得以MP為直徑的圓恒過MQ與BP的交點？

1.3 “故事3”—— 橢圓生成探究

結合上述結論，小試牛刀，解決下列問題：

(1)求曲線C的方程，并說明C是什么曲線．

(2)過坐標原點的直線交曲線C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G．(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面積的最大值．

2 思考

2.1 實施多維探究 講清問題本質

本文對一道高考模擬題從題目解法、問題本質及圓錐曲線的生成等幾方面進行了探究，培養學生從多角度自主探究問題的意識，提高學生分析問題和解決問題的能力．數學教育家弗里德曼在《怎樣學會解數學題》中寫到：把習題看作是精密研究的對象，而把解答習題看作設計和發明的目標．在解題教學中，教師不能就題講題，停留在問題的表面，而應從多角度分析和研究問題，實施多維探究，講清數學思維過程和問題本質，讓學生經歷知識發生、發展及思維過程，形成科學的思維習慣．

2.2 及時總結反思 提升思維能力

數學解題不應僅僅滿足于求出答案．當問題還沒有解出來時，教育學生能夠堅韌不拔、鍥而不舍；當答案已經找到時，引導學生應從解題過程中自覺吸取營養，及時進行新的探索和總結反思：解題中用到了哪些知識？它們怎樣聯系起來？思路是怎樣打開的？思維有無多余回路？還有別的解法嗎？問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結論如何？等等．教師要教會學生提出問題的方法，引領學生學會歸納、整理，將知識和方法條理化、系統化，在及時總結反思中提升思維能力．