小學數(shù)學教學與數(shù)學思維淺析

劉景榮

（河北省衡水市阜城縣漫河鎮(zhèn)南學完全小學，河北 衡水 053700）

事實上，即使就最為初等的數(shù)學內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的重要過渡。

也正由于數(shù)學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學研究”提供了現(xiàn)實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當然，從理論的角度看，我們在此又應(yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當如何去認識所說的純數(shù)學研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當明確肯定由“日常數(shù)學”過渡到“學校數(shù)學”的必要性，或是應(yīng)當唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活。

由于后一問題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現(xiàn)實意義在一定程度上的分離對于學生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。一般地說，學校中的數(shù)學學習就是對學生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學知識進行鞏固、適當重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學事實過渡到了系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，以及對于人類文化的必要繼承。

總的來說，這就應(yīng)當被看成“數(shù)學化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學研究，以及由數(shù)學知識向現(xiàn)實生活的“復歸”。另外，相對于具體知識內(nèi)容的學習而言，我們應(yīng)當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數(shù)學化”的思想，我們應(yīng)當從這樣的角度去理解“情境設(shè)置”與“純數(shù)學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學化……是一條保證實現(xiàn)數(shù)學整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法?！?/p>

一、凝聚：算術(shù)思維的基本形式

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。

例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入-輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數(shù)學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學對象。再如，有很多教師認為，分數(shù)應(yīng)當定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分數(shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

二、互補與整合：數(shù)學思維的一個重要特征

以上關(guān)于“過程-對象性思維”的論述顯然已從一個側(cè)面表明了互補與整合這一思維形式對于數(shù)學的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學習為例對此作出進一步的說明。

首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨立的；而應(yīng)對有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

其次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關(guān)系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化?！碑斎?，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應(yīng)停留于對于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學思維的一個重要特點。

綜上可見，即使是小學數(shù)學的教學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學中我們應(yīng)作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”這一重要目標。