數學活動——三角點陣中前n行的點數計算

王秋明

摘要：數學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。在數學活動中，感悟數學思想，積累數學活動經驗。

關鍵詞：數形結合;模型思想;轉化思想

教學過程：

一、創設問題情境，引入新課

觀看一段視頻影片---有關數學家高斯小時候課堂學習“解決從1+2+3+。。。+100”的故事。

師：今天我們就探究解決一個相關的數學問題---三角點陣點數和的探究問題。引出課題。

二、探究新知

活動一：出示三角點陣圖形

1、學生觀察圖形特征，

2、完成表格的分析信息。（表1：各行點數和的統計，表2前n行點數和的統計）

意圖：通過觀察圖形完成表格，培養學生利用表格分析問題的能力。

生1：敘述結果：1、2、3、...、n。

3、繼續觀察圖形，完成表2

生2：展示結果依次：

師：好，那么前n行點數和如何表示呢？

生：1+2+3+4+......+n

師：好，由特殊到一般，我們可以類比上面幾行的結果表示得出前n行的點數和的表示，在此基礎上，你能提出哪些問題？

生1：前4行共有10個點，那么前10行共有多少個點？前20行呢？

生2：300個點是前多少行的點數和？生3：300個點是第幾行，第幾個點？生4：這個圖形的探究問題能否與三角形的面積聯系到一起呢？

師：大家提出的問題都非常有代表性，很有想法。尤其是最后一位同學，能夠大膽的猜想：點數和的問題與三角形的面積關系。同時我們把這四位同學的問題板書到黑板上，稍后我們逐一取解決它們。

如何表示三角點陣前n行的點數和的問題，大家能否從一開始視頻中小高斯的計算方法給我們一些啟發呢？---（類比思想）

學生獨立思考完成猜想、證明過程。（選生代表板演并敘述思路）

生：有特殊到一般，借助首尾相加的方法，歸納出：

師：非常好。師板書.大家通過將圖形問題轉化為數列問題，從數列的角度分析找出規律。在這個過程中滲透了數學上的由特殊到一般的思想。問題：我們能否從“形”的角度去考慮呢？

師提示：之前我們在研究幾何問題如四邊形的相關問題，常常會轉化成三角形的問題去解決，在今天的這個圖形-三角點陣的問題，能否轉化為平行四邊形去嘗試解決呢？

師：很好，兩位同學的思路都很好，所求的點數和應該是（每一行的點數和×行數）的一半。

從圖形的角度分析實際上和數的角度本質上是一致的。不論哪一種方法，我們應該從中提升分析問題的能力。

2.動腦思考，解決問題

在此基礎上回顧大家提出的問題，該如何解決？（小組交流）

上述問題我們將它們分成兩類吧，第一類是直接利用點數和公式計算點數和;第二類是通過列一元二次方程（方程模型）解決點數和的存在性問題。（抽生板演：問題300個點是前幾行的點數和？）

師：追問：600個點呢？學生獨立完成。

3、感悟數學思想，積累活動經驗

回顧探究三角點陣前n行點數和的規律以及解決大家提出的問題的過程，你積累了哪些數學活動經驗，與大家分享一下：學生交流

4.拓展延伸：點數依次換為 2，4，6，…，2n，…？前 n 行的點數和能是 600 嗎？試用一元二次方程說明道理.

師：在此基礎上你還能想到什么樣的問題來解決一下呢？

生：變式：若將點數依次換為1、3、5、7、...呢？

師：很好，能通過變式來進一步解決與之相關的問題，能夠舉一反三。

三、鞏固練習（正六邊形點陣問題）

四：課時小結

意圖：本環節通過反思總結，將知識上升為經驗，促進思維的再次生長。

五、數學思考

1、挖掘知識之間的內在聯系，有效的課堂教學應研究“從哪里來？怎樣來？到哪里去？怎樣去”等研究性問題。

2、重視數學思想方法的滲透，教師引導學生在知識的遷移中體驗數學思想方法，培養學生思維的延伸性。

3、充分展示學生的思維活動，出示問題后，留給學生充裕的時間思考，通過設置一些開放性的小問題，培養學生多角度看問題，在提問時，生4提出的與三角形面積有關的問題，偏離了方向，但是能夠大膽的思考，將知識聯系在一起，雖然想法不太成熟，但是能激發學生的思維。

參考文獻

[1]由兩個等差數列的公共項組成的新數列問題[J]. 史正.?中學數學雜志. 2014（01）

[2]中學數學兩種思維結合學習論【M】溫寒江。教育科學出版社，2016，11）