例談解排列組合問題的數學思想與方法

張發

【摘 要】本文通過具體教學實例，討論了高中數學中的排列組合問題，得出分類討論、對稱或排異除重等基本數學思想，以及特殊優先法、捆綁法、插空法等基本數學方法。

【關鍵詞】排列組合;數學思想;方法

排列組合作為中學數學中的一部分基礎內容，其在實際生活中的應用比較廣泛，歷年高考時排列組合內容的考查多以實際應用題形式出現，其解題過程出現思辯性和解法的多樣性，對運用數學思想及方法技巧的要求較高，這就要求教師在平時的教學中，把培養學生的思維能力、對數學思想的滲透及方法的總結作為教學的重點。

在中學教材中，排列是指從n個不同的元素中取出m個元素按照一定的順序排成一列，記為Anm（n≥m）。組合是指從n個不同的元素中取出m個元素并成一組，記為Cmn（n≥m）。排列與組合的基礎就是兩個原理：分類原理（加法原理），即完成一件事情共有m1、m2、…、mn類辦法，那么解決此問題的方法種數是n=m1+m2+…+mn。分步原理（乘法原理），即完成一件事情共有m1、m2、…、mn個步驟，那么解決此問題的方法種數是n=m1m2…mn。

下面以一些實例來淺談在排列組合問題的解決中如何滲透數學思想、以及常用的一些方法解題方法。

一、基本數學思想

解決排列組合問題的基本思想主要有：分類討論、對稱或排異除重、遞推、等價轉化、正難則反等。

（一）分類討論思想

對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況進行合理分類與準確分步，分類時應根據同一標準，做到“類與類”之間具有并列性、獨立性和完整性;分步時要注意“步與步”之間的連續性、獨立性和依賴性;盡量做到不重復不遺漏，有時還可能涉及到逐級分類。

例1 從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

中各任取2個元素排成一排（字母和數字均不能重復），要求每排中字母O、Q和數字0至多只出現一個，共有多少種不同的排法？

可先考慮：一類是字母O、Q和數字0只出現一個，只出現數字0有C19C23·A44種，字母O與Q出現一個有C12·C13·C29·A44;另一類是字母O、Q和數字0都不出現有C23·C29·A44種，故共有（C19C23+C12·C13·C29+C23C29）A44=8424種。

（二）對稱思想或排異除重

在數學中，對稱思想是運用較為廣泛的，它是數學中的一種“美學”。在排列組合問題中，當遇到相同的情況，如在排列中三個元素甲、乙、丙的相鄰或不相鄰問題，丙在甲左與丙在乙右是對稱的，是相同的問題，只要把其中的一種問題搞清楚，另一問題可仿此寫出。

例2 7個人并排站成一排，要求甲、乙都與丙不相鄰，共有多少種站法？

解析：此類問題應先著眼整體，7個人排成一排共有A種站法。再考慮不合條件的情況：丙站在甲、乙中間的站法有A55·A22種（即將甲、丙、乙捆綁分析）甲與丙相鄰和乙與丙相鄰的站法均有A66種·A22種。但甲、丙相鄰和乙、丙相鄰的站法中均包括了丙站在甲、乙中間的站法，故根據分類計數原理和整體排異除重策略，采用間接法可知，共有n=A77-2A66·A22+A55·A22=2400種不同方法。

（三）遞推思想

在不能或直接利用分步、分類的方法解決排列問題有困難時，可以從最初、最簡單的問題入手，逐步深入和推廣，找出規律，達到問題的最終解決。

例3 在線段A1An（n≥2）上共有n個點A1，A2，…，An，給這些點的一部分（或空集）染上紅色，使得已染色的點均不相鄰，問共有多少種染色方法？

解析：首先，第n個點有兩種可能：①未染色，則前n-1個點的染法數為Ln-1種;②染上紅色，則第n-1號點不能染色，設n-2個點的染法數為Ln-2種（注意：“空集”染色即所有的點不染色）;

其次，根據分類計數原理，即可得結果Ln=Ln-1+Ln-2，L2=3，L3=5。通過遞推關系總可得到n取其它值時的染色種數。

（四）等價轉化

1.建構插板模型

將n個相同的小球排成一排，它們之間共有（n-1）個間隔，任取（m-1）個間隔，將這n個物體分成m個部分（m≤n，m、n∈N*，n≠1），每個部分至少含有一個物體，不同的方法數共有Cm-1n-1種。

例4 將組成籃球隊的12個名額分配給7所學校，每校至少1個名額，求名額的分配方法的種數。

解析：這個問題等價于將排成一行的12個相同元素分成7份的方法數，相當于用6塊閘板插在11個間隔中，名額分配方法共有C611=462種。

2.建構幾何模型

如不共面的四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有7個。如果把不共面的四個定點看作四面體的四個頂點、平面α可以分為兩類：一是四個定點分布在α的一側一個，另一側三個，此類中α共4個（三棱錐的四條高上的中垂面）;二是四個定點分布在α的兩側各2個，此類中共3個（在三棱錐內任一點作一對異面直線的平行線確定一個平面，調整該平面到這對異面直線間的距離使其相等;有三對異面直線）。綜上，α共4+3=7個。

（五）正難則反

對于某些排列組合問題的正面情況較復雜而其反面情況卻較簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的總數。

例5 從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，其中是直角三角形的共有多少個？

解析：方法1，8個頂點中任取3個可構成三角形，但其中有8個等邊三角形（比如△A1BC1是以B1為相交棱上的三點A1、C1、B組成），故直角三角形數為C38-8=48個。

二、基本數學方法

（一）特殊優先法

對存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，應先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其他元素或位置。

例1：從-1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函

數f（x）=ax2+bx+c的系數，可以組成不同的二次函數共有多少個？

首先，a是特殊元素，因為a≠0，所以應從除0以外的三個數中任取一個有C13種，b、c應從剩下的三個中任取兩個有C13·C12（或A）種。由分步計數原理組成不同的二次函數共有C13·A23=18個。

（二）捆綁法

在n個不同元素中，規定某r個元素連排在一起，這時可將這r個元素視為一個新元素，與剩下的（n—r）個元素進行排列，再將這r個元素全排列。

例2：將A、B、C、D、E、F分成三組，共有多少種不同的分法？

分析：要將A、B、C、D、E、F分成三組，有三類辦法：（1-1-4）分法、（1-2-3）分法、（2-2-2）分法。

根據加法原理，將A、B、C、D、E、F六個元素分成三組共有15+60+15=90種不同的方法。

（三）插空法

若問題中規定某些元素不相鄰時，一般采用此方法。

例3：要排一張4個舞蹈節目和2個小品節目及4個歌唱節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不相鄰，且任何兩個小品節目也不相鄰，求出所有滿足條件的排法種數。

先把4個歌唱節目和2個小品節目排列，共有A66種排法，再將4個舞蹈節目插入7個空，有A47種排法。在A66種排法中，由捆綁法知兩小品聯排的排法有A55A22種，再將4個舞蹈節目插入6個空有A46種排法。故符合條件的排法種數N=A66A47-A55A22A46=518400種。

（四）先選后排法

先選后排法是高考的常考題型，主要是把問題分成兩大步，即先分組再分配。

例4：6個老師分配到3個班里搞活動，每班至少1個人，共有多少種分法？

先把6個老師分成三組，有三類：按“1，2，3”型分組，有C16C25C33=C36C23C11=60種;按“2，2，2”型分組有C26C24C22/A33=15種;按“4，1，1”型分組有C46C12C11/A22=15種。

再把三組去分配，即可完成。

故由分類計數、分步計數原理，共有（60+15+15）A33=540種。

總之，排列組合作為中學數學中的一部分基礎內容，在實際生活中的應用比較廣泛，其解題過程出現思辯性和解法的多樣性，對運用數學思想及方法技巧的要求較高，這就要求教師在平時的教學中，把培養學生的思維能力、對數學思想的滲透及方法的總結作為教學的重點。

【參考文獻】

[1]全日制普通高級中學（必修）數學第二冊（下B）[M].北京：人民教育出版社

[2]廖東明.解排列組合問題的思想[M].哈爾濱：中學生理科應試，2006.3

（甘肅省臨夏縣中學，甘肅 臨夏 731800）