圓錐曲線問題求解中的數學思想探究

劉波 陸萬順

【摘要】高中數學在圓錐曲線部分要求學生能夠建構高中數學思想并對其理解.高考對于圓錐曲線考查的內容和形式不斷地變化，而對其中數學思想的考查相對穩定.從人教版教材例題和歷年高考真題可以看出，探究數形結合思想、方程與函數思想、數學建模思想在解決圓錐曲線問題時都起到重要作用.

【關鍵詞】探究 數學思想 圓錐曲線

【中圖分類號】O 343.7 【文獻標志碼】A

一、問題提出

高考數學總分為150分，數學成績的高低決定了學生角逐高考的成敗.數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學習題的訓練是學生學習數學的一種有效途徑.高考對于數學的考查形式千變萬化，對于高中數學蘊含的數學思想的考查相對穩定.高中數學思想主要包括函數與方程思想、數形結合思想、分類與討論思想、劃歸與轉化思想、有限與無限思想.學生在習題訓練的過程中能夠加強對數學的基礎概念定義的理解，提高解題的思路技巧.

教師需要引導學生注重對習題蘊含的數學思想深度掌握.提高數學能力的本質體現在對學生數學思想的建構.

數學的學習包括基礎性知識的掌握以及數學思維的建構，習題訓練是高中學生數學學習的一個重要過程.教師需要指導學生充分挖掘習題的內在價值，對知識進行再認知，提高學生的解題效率，鍛煉學生良好的解題習慣.

要想提高學生的數學能力， 需要教師引導學生在解題時進行數學思想的建構，實現有效學習，學生通過對習題的再思考使得數學思維發生轉變.

二、圓錐曲線的考查分析

圓錐曲線是高中數學的重點和難點，具有知識點多，抽象化程度高，綜合性強的特點.考查的內容涵蓋了圓錐曲線的定義、概念、離心率、曲線位置關系等.

圓錐曲線的考查的形式包括選擇題、填空題、解答題.圓錐曲線在教材上連接著必修與選修課程，要求學生能夠了解圓錐曲線的實際背景，熟悉圓錐曲線的數學模型，掌握圓錐曲線的定義、方程、幾何圖形，能夠運用圓錐曲線解決數學問題，領悟圓錐曲線中的數學思想.圓錐曲線問題要求學生具備扎實的基礎知識、技能，準確的數學運算能力，一定的運算技巧，能夠使用數學語言理解和刻畫客觀世界，能夠理會數學思想的內涵，養成嚴謹的數學思維能力，綜合提高自身數學能力.數學能力的提高需要一定的習題訓練，針對圓錐曲線繁、雜、難的特點，教師講解圓錐曲線習題時應當側重于題目內在的數學思想方法，利用習題訓練構建學生數學邏輯思維能力，從本質上提高學生數學解題能力.圓錐曲線問題的求解主要訓練了高中數學六大數學思想中的：數形結合思想，函數與方程思想，數學建模思想.

三、圓錐曲線思想考查分析

（一）數形結合思想的考查

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，華羅庚教授概括到：“數無形，少直觀;形無數，難入微.” “數”與“形”是圓錐曲線問題主要的表現形式，“數”是使用代數語言精確地描述圓錐曲線，“形”是用幾何圖形刻畫圓錐曲線.通過“數”與“形”的相互轉化，能夠使圓錐曲線問題簡單化、直觀化，拓寬解題思路，找到有效的求解方式.

1.由“數”到“形”

題干中使用代數語言刻畫圓錐曲線，分析圓錐曲線的幾何特征，將抽象的代數問題轉換為幾何問題，能夠給人帶來直觀的思考，將抽象的數量關系用具體的圖形特征表示能夠打開思維，找到解題途徑.

數學思想分析：題目使用代數語言描述圓錐曲線的數量關系，將數量關系用幾何圖形進行描述，將代數關系的求解轉換為幾何圖形中幾何距離的求解.

2.由“形”到“數”

題干中使用幾何語言刻畫圓錐曲線，分析圓錐曲線的代數關系，將具體的幾何圖形轉換為代數式，通過代數計算找到圓錐曲線的數量關系.代數語言能夠深刻地體現幾何圖形中量與量內在的聯系.便于計算及進行求解.

該題的求解中，通過對題干幾何圖形的觀察，用代數語言描述圓錐曲線，找到等量關系式，通過代數計算得到離心率.對學生關于離心率定義以及橢圓當中的數量關系的掌握提出了要求，考查學生從“形”到“數”進行轉換的能力.

（二）“函數與方程”思想的考查

數學思想分析：用函數與方程思想來求解圓錐曲線問題，可以設出圓錐曲線的標準方程，將題干當中的數量關系用代數式進行表達，得到等量關系，最終列出方程求解問題.

該題的求解中，將圓錐曲線轉化為方程問題，使用已知條件得到關于離心率的方程式.對學生用代數方程表示圓錐曲線等量關系提出了要求，考查了學生代數運算的能力，能夠使得學生理解函數與方程思想在求解圓錐曲線問題中的應用.

（三）數學模型法

數學模型是對現實問題進行抽象概括，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的數學思維.因此，在解決特定數學問題時，教師要引導學生從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，建立圓錐曲線模型求解問題，體會和理解數學是與外部世界聯系的基本途徑.

（2015陜西卷） 如圖3，橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面呈拋物線形（虛線），則原始最大流量與當前最大流量的比值為多少？

數學思想分析：對于題干描述的現實問題，結合圖像進行分析后可以得到是關于圓錐曲線應用的問題.原始最大流量和當前最大流量可以理解為橫截面的面積大小.利用圓錐曲線模型可以發現求解時可以借助定積分這一有力的數學工具.

隨著數學新課程改革的推進，數學建模思想的考查力度得到加強，在課堂教學和習題練習中，教師要培養學生將現實問題用數學相關模型進行理解，將所學知識點與生活實際相結合，有利于學生數學建模思想的構建和成熟.在本題當中，將泥沙沉積問題理解為圓錐曲線的面積問題，最后借助定積分得到答案，體現了高考數學對數學建模思想的重視.

四、結論與建議

習題訓練是數學學習的一種途徑，如果學生只是盲目地做題而不去深入體會題中蘊含的數學思想，這樣的訓練往往事倍功半.高考中關于圓錐曲線不僅考查學生對于基本知識概念的掌握程度，更側重于考查學生在圓錐曲線問題求解中反映出來的數學思維能力.包括：數形結合思想、函數與方程思想、數學建模思想.教師在指導學生進行數學習題的訓練過程中，不僅要注重知識方面上“量”的積累，更要啟發引導學生思維能力上“質”的飛躍.教師要通過數學習題引導學生建構數學思想，提升數學思維能力，達到事半功倍的效果.

數形結合思想要求學生能夠將幾何語言與代數語言相互轉化.教師對于數形結合思想的建構建立在數學習題的訓練上，通過具體的圓錐曲線圖形，在幾何直觀的基礎上引導學生如何使用代數語言進行表征，使得學生領悟圓錐曲線中“形”到“數”的轉變.在知識的總結與回顧中，從抽象的代數式入手，提高學生從代數語言到幾何語言的轉換能力，培養學生從“數”到“形”的能力.函數與方程思想的建構體現了學生將所學知識網絡相互聯系的能力.教師應該將必修、選修部分的知識框架進行整理，使學生認識到圓錐曲線問題本質上屬于一類曲線方程問題，對圓錐曲線問題的處理等價于對特殊方程的求解問題，培養學生使用函數與方程思想去思考問題的能力.

不同數學思維能力在求解圓錐曲線問題當中的難易程度有所區別，函數與方程思想更加側重于對于一般情況的問題分析，要求學生具備較高代數運算的能力與技巧，以及對代數語言的熟練使用.相比較數形結合思想在圓錐曲線求解中的應用，函數與方程思想應該放在第二位.數形結合思想是溝通幾何與代數，抽象與具體之間的橋梁，降低題目的復雜程度與抽象程度，因此在教學當中教師要著重對圓錐曲線的幾何意義，以及幾何概念的教學，培養學生通過幾何圖形揭示圓錐曲線數量關系的能力，以及將抽象數量關系通過幾何直觀表示的能力.

數學建模思想考查學生能否從具體的現實問題當中抽象概況出數學問題的能力，能否使用數學去解決現實世界當中的實際問題.在日常教學當中，教師應該側重數學建模思維能力的培養，總結客觀世界當中的經典數學問題，提高學生將數學知識運用到具體生活當中的數學思維能力.

【參考文獻】

[1]馬岷興，幸世強，等.高中數學解題方法與技巧典例分析[M].科學出版社.

[2]劉振國.高中數學思想方法及其在教學中的滲透[J].黑河教育，2019（06）.

[3]吉瑾.注重解題反思，實現有效學習[J].數學學習與研究，2018（09）.

[4]錢坤.新課改背景下圓錐曲線高考試題的考查特點分析[D].贛南師范學院，2013.

[5]任子朝，陳昂，黃熙彤，等.高考數學新題型試卷質量分析研究[J].數學教育學報，2019（02）.

[6]黃雄偉.關于高中數學解題中函數與方程思想的實例探究[J].名師在線，2019（15）.

[7]肖厚國.淺析數學建模思想在數學教學中的應用[J].科技資訊，2019（09）.