數學文化融入《完全平方公式》的課堂教學實踐研究

姜磊

1背景

1.1數學文化的意義和價值

課標明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分。”通過數學文化，教師可以豐富自己的教學知識儲備。通過數學文化，讓教師對于表達思想或解決問題的非傳統方法、非常規方法更加寬容或尊重，使教師的數學素養得到提升。

1.2教科書里的完全平方公式和數學文化融入后的魅力

現行教科書遵照知識的邏輯順序，從多項式乘法到乘法公式。完全平方公式作為特例呈現。卻忽視了波利亞提出的教學三原則中的最佳動機原則，即完全平方公式是怎樣得來的？為何完全平方公式要作為一個乘法公式來學習？完全平方公式有何作用？教科書中均未提及。因此，將數學文化融入《完全平方公式》——核心素養視角下的教學研究，呈現的是知識的完整性。讓學生感知的是完全平方公式的必要性和意義、數學文化的魅力以及數學家們堅持不懈的探索精神，更重要的是對比古今，確立現代方法的價值。

2.教學設計與實施

2.1課堂實踐

完全平方公式

數學文化融入課堂之處

（一）自主探索、獲取新知

問題1：請大家根據所學知識去解決呢計算多項式的積，你能發現什么規律？

（1）（x+1）²= x²+2x+1

（2）（x-1）²= a²—2x+1

（3）（m+2）²= m²+4m+4

（4）（m-2）²= x²-4m +4

追問1：上述問題中相乘的兩個多項式運算及結果有什么共同點？

追問2：左邊相乘的兩個多項式的各項與右邊它們積中的各項有什么關系？

追問3：你能將發現的規律用式子表示出來嗎？歸納公式：（a±b）²=a²±2ab+b²

追問4：你的猜想正確嗎？

追問5：你能對發現的規律進行推導嗎？

追問6：請同學們思考，為什么會有這樣的結果呢？試著從它們的積

中發現特點。

（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab

追問7：你能用文字語言表達這個公式嗎？

問題2：與平方差公式一樣，我們能用幾何圖形解釋完全平方公式嗎？

請大家根據下圖的（1）（2）中的面積說明完全平方公式。

數學文化融入課堂第一處

教師說明：公元前3世紀，完全平方公式以幾何命題的形式出現在歐幾里得《幾

何原本》中。公元16世紀，韋達用字母表示數，這一里程碑式的進步，首次將完全平方公式簡潔而明確的表示出來。這說明數學的發展是曲折的，并不是緊密銜接的。兩千多年間，科學家們幾經磨練，數學界發生了幾次大的危機，才創立了今天完整的系統的初等數學。其中閃爍的不僅是智慧的結晶，付出的更有生命的代價，請同學們倍加珍惜得之不易的初等數學！請同學們學習數學家們身上那難能可貴、迎難而上、堅持不懈的探索精神！

（二）例? 請看左邊楊輝三角，并觀察下列等式：

（a+b）²=a²+2ab+b²

（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

數學文化融入課堂第二處

楊輝三角、賈憲三角與帕斯卡三角

賈憲是我國北宋年間的數學家，賈憲發明的由數字所組成的三角形——開方作法本源圖，就是我們所熟知的楊輝三角。楊輝是我國南宋時期的數學家。楊輝所著《詳解九章算法》 中載有此圖，使得賈憲成果得以保存，故后人稱其為楊輝三角。在歐洲稱為帕斯卡三角形，帕斯卡的發現比楊輝晚300多年，比賈憲晚600多年。學生會驚嘆我國古人的數學智慧，感受數學歷史的悠遠和數學家們的探究精神。它是中國數學在宋元時期的一項杰出的創造。

（三）例.你能利用今天所學估算出面積為五的正方形，其邊長約為多少嗎？保留一位小數。

解：在2、3之間。比2大比3小？比2大多少呢？在沒有符號代數，沒有計算器的時代，只能利用幾何圖形表示估算正方形邊長。設邊長比2大x，可轉化為若設（x+2）²=5，利用今天所學的完全平方公式（x+2）²=x²+4x+4。

顯然4x<1，所以x<0.25，而4×0.2<1，所以x在0.2和0.3之間，只能取0.2

數學文化融入課堂第三處

不僅如此，更早的古巴比倫人早已知曉完全平方公式并利用完全平方公式估算正方形的對角線長，該公式的主要用途是求平方根、計算一個數的平方或解一元二次方程，這就是完全平方公式的真正起源。到了公元3世紀，我國古代數學家劉徽在注釋《九章算術》時，正是運用上述方法來解決“已知正方形面積，求邊長”的問題，用相同的方法還可以接著估計其百分位、千分位。而現行教科書遵照知識的邏輯順序把完全平方公式作為多項式乘法的特例呈現出來，更符合事物的認知規律，更有利于學生邏輯思維的培養。學生會體會現代數學的價值！

2.2、數學文化融入中學數學課堂教學的實踐過程

（1）.選題與準備

（2）.研討與設計

（3）.實踐與評價

（4）.整理與寫作

3.數學文化融入中學數學課堂教學的評價和反思

（1）.數學文化的教育價值與數學課程目標的完全吻合。

數學課程目標有四基、四能、核心素養、情感與信念。數學文化融入數學教學的教育價值有使學生體會到知識的偉大、探究的樂趣、方法的奇妙、文化的魅力，而通過數學文化融入數學課堂得到能力的提升，品德的提升，完全吻合。

（2）.教師文化素養大大提升

數學文化融入數學教學的實踐與研究始終處于良性互動的過程之中，為教師成長提供重要的借鑒。

（3）.學生們的認可才是最有效的教育

通過課例的學習和調查問卷的數據發現學生的學習動力更足！

★ 本文系2021年河南省基礎教育教學研究項目“數學文化融入中學數學課堂教學的實踐研究”（課題編號JCJYB210303026）研究成果