賦值法處理抽象函數問題

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數即抽象函數.由于抽象函數可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域，值域，單調性，奇偶性，周期性和圖象集于一身，所以在高考中出現頻率較高.解答抽象函數題目的基礎是熟悉函數的基本知識.抽象函數無具體表達式，要通過我們所學的一般初等函數的性質來解決比較困難(小題可借用一些類似函數解決)，但抽象函數問題的解決本質上是將抽象問題具體化，所以解決抽象函數問題可以將函數中變量具體賦值，即解決抽象函數有一個萬能的方法，即賦值法.下面我們即分類例析用賦值法解決抽象函數問題.

一、賦值法處理抽象函數函數值

抽象函數求值問題是要解決具體函數值問題，因此抽象函數問題求值的關鍵在于賦值，即賦要求解自變量，代入求出相應函數值即可.

例1已知f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(0)=____.

分析本題函數沒有具體表達式，即抽象函數求值問題，要求解f(0)的值，即在f(x+y)=f(x)+f(y)這一式子中要出現f(0)，所以我們令x=y=0，即出現f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0.

例2定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(3)=____，f(-3)=____.

分析根據題意，已知f(1)=2且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，要求解f(3),f(-3)的值，即要利用賦值法構造出自變量為3，-3.

∵f(1)=2,于是令x=y=1∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=2+2+2=6

又令x=2,y=1∴f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=6+2+4=12.

現已求出f(3)=12，要求f(-3).注意3與-3互為相反數，所以如果令x=3,y=-3即有f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)，因此我們還應先求出f(0).于是再令x=y=0，則有f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0，∴f(0)=0

因此0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=12+f(-3)-18,∴f(-3)=6.

二、賦值法處理抽象函數解析式

抽象函數求解析式是要求出f(x)，因此我們要采用賦值法得到f(x)，并利用賦值法將法則f作用的其余形式消去即可.

例4已知f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8，求f(x)．

分析條件中給出有關法則f作用于x和2-x，我們要求出f(x)，因些要想辦法消去f(2-x).所以利用賦值法，我們只需要將上式中所有x換為2-x，即f(2-x)+2f(x)=3(2-x)2-8(2-x)+8，然后與f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8聯立求解出f(x)=x2.

三、賦值法處理抽象函數奇偶性

奇偶性是考察f(x)和f(-x)之間的關系，所以抽象函數奇偶性問題關鍵在于采用賦值法讓題目出現f(x)和f(-x)，并根據表達式探究f(x)和f(-x)兩者關系.

例5設函數f(x)的定義域為R，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立．則f(x)是____(指明函數的奇偶性).

分析令x1=x,x2=-x，則出現f(x-x)=f(x)+f(-x)，所以f(x)+f(-x)=f(0)，所以我們還要先求出f(0)的值.于是我們又令x1=x2=0，所以f(0)+f(0)=f(0)，于是f(0)=0，所以f(-x)=-f(x)，即f(x)為奇函數.

例6設函數y=f(x)(x∈R且x≠0)對任意非零實數x1，x2滿足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，則函數y=f(x)是____(指明函數的奇偶性).

分析本題要出現f(x)和f(-x)，我們只需令x1=x,x2=-1，則出現f(-x)=f(x)+f(-1).該式中將x換成-x，得f(x)=f(-x)+f(-1).這兩個方程聯立，消去f(-1)，可化得f(-x)=f(x)，即f(x)為偶函數.

四、賦值法處理抽象函數單調性

函數單調性在通過研究自變量大小與相應函數值大小的關系，即在一個單調區間內通過x1f(x2)，所以解決抽象函數單調性的關鍵在于通過賦值找出相應的不等關系.

例8已知f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，求證f(x)為(-∞，+∞)上的減函數.

分析由例5已經知道f(x)為奇函數，設x1>x2，則x1-x2>0，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)

∵當x>0時，f(x)<0，∴由x1-x2>0可知，f(x1-x2)<0，

∴當x1>x2時，有f(x1)

分析由例7已經求出f(x)為奇函數.

∵當00．

∴當-10，∴f(x)在(-1，1)上為單調減函數．

五、賦值法處理抽象函數最值

抽象函數求最值問題可類比求值問題，但經常會綜合考察抽象函數的單調性，奇偶性等問題，以及化歸與轉化、類比等數學思想方法.

例10已知f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，若f(1)=-2，求f(x)在[-2，4]上的最大值和最小值．

分析由例5已經知道f(x)為奇函數，由例8得出f(x)為(-∞，+∞)上的減函數.

因此f(x)在[-2，4]上最大值應該為f(-2)，最小值應該為f(4)，下面用賦值法分別求出f(-2)，f(4).

∵f(1)=-2,∴f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4,∴f(-2)=-f(2)=4.

∴f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-8.

即f(x)在[-2，4]上最大值為4，最小值為-8.

六、賦值法處理抽象函數不等式

抽象函數不等式問題的解答需借助抽象函數的單調性，奇偶性，定義域等來綜合求解，利用賦值法將看似無關聯的不等式轉化為常規不等式問題求解.

解不等式f(5x-4)>f(x2)．

分析由例7已經知道f(x)為奇函數，由例9得出f(x)為(-1,1)上的減函數.

由以上例析我們可以總結出，解決抽象函數問題的本質是將抽象問題具體化，而通過賦值法幾乎可以解決抽象問題的所有題型，因此賦值法不失為處理抽象函數問題的一個最常用方法.