一道高中數學聯賽預賽試題的探究與思考

張曉建

(安徽省滁州中學 239000)

(1)求橢圓C的方程；

(2)E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線E,F的斜率為定值.并求出這個定值.

文[1]給本題進行了推廣和類比得到了如下的結論：

在筆者看來上述結論是否可以認為過圓錐曲線上一點P(x0,y0)(y0≠0)作兩條關于x=x0對稱的兩條直線l1,l2與圓錐曲線分別交于A,B兩點，則隨l1,l2變化可以得到一組平行直線. 無獨有偶，在2019年全國高中數學聯賽廣西省預賽的第11題引起了筆者的注意.

一、問題呈現

(1)求k·k1的值；

(2)求證：對任意k，直線MN過定點.

該問題是過橢圓短軸端點的一條直線，過此端點作兩條關于這條直線對稱的直線，與橢圓分別交于M,N，直線MN過定點的問題.和2009年遼寧高考試題比較，兩道試題背景相同，那么這個問題是否可以推廣到一般情形呢？具有怎么樣的規律呢？筆者做了大膽的嘗試，得到了一些有意思的結論.

二、探究延伸 得出結論

即：(k-k1)(1+k·k2)=(k2-k)(1+k·k1)，

化簡可得：(k1+k2)(1-k2)=2k(1-k1·k2)(*).

直線AB的斜率為

即(b2-a2k1k2)y=b2(k1+k2)x+b(b2+a2k1k2).

化簡得到：b2(k2-1)y+2b2kx-b3(k2-1)=k1k2[a2(k2-1)y+2b2kx+a2b(k2-1)].

上式對于任意k1,k2都成立，故有：

特別地，當直線過橢圓長軸端點時我們可以得到如下結論：

三、橫向推廣

其證明與結論4證明相似.同樣在拋物線中我們也得到如下結論：

證明拋物線中：l1：y=k1x與直線l2：y=k2x關于直線l：y=kx對稱，(*)式依然成立.

(2ky-(k2-1)x)k1k2=2ky+2p(k2-1).

上式對于任意k1,k2都成立，故有：

本次問題的探究結果可謂是讓人驚嘆不已，同一個背景的問題恰是兩種不同的結果，一個是定值問題，一個是定點問題，定值問題是定點問題的特殊情形.同時該題的探究體現圓錐曲線完美的統一性質，在研究的過程中借助了幾何畫板軟件觀察定點結果，在推廣的過程中也凸顯了數學的核心素養，對數學直觀、數學抽象、邏輯推理、數學運算有著深刻的理解.

當然本題也可以繼續思考：圓錐曲線上的點是否可以是任意點，而不在頂點呢？這個問題還需要繼續探究，希望有興趣的讀者一起繼續探究，感受數學之美.