一道2020年高考填空題的多維賞析

李昌成 向 前

(1.新疆烏魯木齊市第八中學 830002；2.新疆烏魯木齊市第64中學 830017)

有的高考題看上去很樸素，絕大多數考生能順利完成，好像沒有深意.事實上，如果能夠深入仔細探究，我們可以發現它的豐富內涵，對我們教育教學有很多啟發，對提高學生的數學核心素養有重要的作用，真正意義上避開題海戰術，讓數學回歸到育人的正確軌道上來.下面以2020年全國高考理科數學Ⅰ卷第15題為例，加以研究，以期達到拋磚引玉的效果.

一、試題呈現

二、解法探究

視角1 從直線斜率公式入手，建立關于a，c的關系式.

兩邊同除以a2,得e2-3e+2=0，解得e=2.

評析借助直線的斜率公式，按照通解通法順利地完成解答，就此罷休可能會錯過很多典型教學素材.我們拓寬思路，還會有一些新發現，找到建立關于a，c的關系式更多通解通法，有助于學生形成求解離心率的技能.

視角2 從直角三角形中三角函數入手，建立關于a，c的關系式.

以下同解法1.

評析充分利用解析幾何的幾何特性，發揮三角函數在代數與幾何之間的紐帶關系，找到a，c的關系式，這是求離心率問題常見策略.事實上，本解法與解法1具有異曲同工之妙，只是視角不同.

視角3 利用弦長公式和勾股定理，建立關于a，c的關系式.

整理得c2+2ac-8a2=0.

進而得e2+2e-8=0.

解得e=2.

評析直線和圓錐曲線的相交關系是高中階段研究得最深刻的內容之一.該方法容易上手，也能訓練學生的數學運算能力.在平時教學中應加強培養，形成能力，同時為應對解答題做好知識技能儲備.

視角4 借助同角三角函數關系求弦長，利用勾股定理，建立關于a，c的關系式.

在Rt△ABF中，|AB|2=|AF|2+|BF|2，

以下同解法3.

評析三角函數將弦長形式簡化了，使得后續運算更加簡潔明了.這種多模塊知識融合解題值得關注，將多模塊的知識有機結合起來，體現了知識間的關聯性.

視角5 借助相似性，在新三角形中建立關于a，c的關系式.

以下同解法1.

評析不同的視角下直線的斜率有不同的比值表達式，但其本質不會改變，為我們提供相互印證的解法，平時多留心，關鍵時候就不會慌亂，甚至可以快速上手.

視角6 借助雙曲線定義，從余弦定理入手，建立關于a，c的關系式.

整理得9c2-18ac+9a2=(c2-a2)2，進一步得9(e-1)2=(e2-1)2，所以(e+1)2=9，解得e=2.

評析在三角形中建立關于a，c的關系式是求離心率的通解通法.利用雙曲線的定義確定三角形一條邊，利用雙曲線的幾何量確定一些邊，再利用直線斜率確定三角形相關角的三角函數值，使得余弦定理派上用場.這種解法思維流暢，展現了余弦定理的工具性，值得關注.

視角7 利用等面積法，建立關于a，c的關系式.

整理得c2-3ac+2a2=0，進而得e2-3e+2=0，解得e=2.

評析等面積法是中學數學中一個重要方法，我們應創造條件加以應用，讓重要的方法經常性發揮作用，在潛移默化中形成技能.本法在本題解答中顯得新穎，基于約分，運算量也不大，不失為一種妙解.

三、解后反思

求離心率通常可以從代數和幾何的角度入手，但是方法不同，思維量不同，運算量不同，可以說不同的方法給帶來的“麻煩”不同，解析幾何是幾何，用幾何辦法相對簡潔.另外，求離心率本質就是找a,c的關系，這是這類題的關鍵所在.往往a,c關系不明確，需要我們去尋找，去建立，當然入口不唯一，更不容易找到最簡潔的一個.我們不僅要教會學生解題，更要注意教會學生在具體問題中，選擇最簡辦法.這是教學質量提升工程，非一日之功.

求離心率的問題是一個綜合問題，牽涉的面比較廣，用到的知識比較多，可用的技巧也豐富，教無定法，學無訣竅，我們只有多思考，多總結，多實戰，方可做到得心應手.

潛心研究這么一題，復習了很多知識點，鞏固多種技能，讓零散的書本知識有機結合起來，不知不覺中又提升了學生的思維水平，訓練了學生的計算能力，真可謂一箭多雕.

高考題是我們教學的重要素材，可以從中發現教學的重點和難點.本例中考查的離心率就是高考中的一個重點，也是難點，幾乎每年涉及，既有選擇題，也有填空題，還有解答題.研究高考題不能僅僅追求答案，更重要的是要深刻理解其考查的知識點，能力要求，本類題的通解通法，通過教學真正培養學生的數學核心素養.研究的關鍵在于對學生思維的培養和訓練，一題多解能避開題海戰術，提高教學效率.