燃動腦神經 傳揚新思維
——《跟張天孝爺爺學數學》教學實錄及評析

孫維佳 陳嘉禾

【教學內容】

《跟張天孝爺爺學數學》（1B）第115 頁。

【教學過程】

一、燃動大腦，觀察算式

1.出示：（）×6+6=3×6。

師：同學們，乘法大家已經很熟悉了吧，你能猜出花朵后面藏著誰嗎？

生：3×6=18，18-6=12，2×6=12，所以花朵后面藏著2。

師：這個方法不錯，有沒有不一樣的想法呢？

生：3×6 表示3 個6，幾個6加1 個6 等于3 個6 呢？2×6+6=3×6，所以花朵后面藏著2。

師：從計算的意義來思考，又快又好。其他同學可以像這樣，找出第二朵花后面藏著幾嗎？

2.出示：（）×6-6=3×6。

生：4 個6 減1 個6 等于3個6，也就是6×4-6=3×6，這朵花后面藏著4。

師：誰愿意用這種方法再來試一試？

3.出示：（）×6-6=4×6。

生：5 個6 減1 個6 等于4個6，這朵花表示5。

師：原來不用算，直接看乘法的意義就能解決問題，真是太好了！

師：看一看，你能找到這個葉片后面藏著幾嗎？

4.出示:2×4+16=（）×4。

生：2×4 表示2 個4，16=4×4，也就是4 個4，2 個4 加4 個4一共6 個4，葉片表示6。

師：你說得真好。老師找來點子圖幫忙（出示點子圖的動態變化過程），請大家一起看看這個推算的過程——

生：原來的點子圖是2 個4加16，把16 個點子變成4 個4，2個4 加4 個4 就是6 個4。

【評析：復習導入，鞏固學生對乘法意義的理解，在此基礎上，給出變式挑戰：2×4+16=（）×4，通過資優學生的引領，配合點子圖演示，鼓勵學生積極思考，突破難點，為后續的學習做鋪墊。】

二、觸動神經，感悟推理

1.初識問題，明確題意。

師：現在把我們學過的加減乘除都集中在一個豎式中，你們能看明白嗎？

△表示一個相同的數，△=？

（學生觀察一分鐘）

師：誰看明白了？

生：大家看這條橫線，橫線上面有加法算式的和、減法算式的差、乘法算式的積、除法算式的商，然后這四個算式的結果相加，就等于25。

師：就是每個算式的得數相加等于25，那這幾個得數分別是多少呢？請從你認為最容易找出得數的算式開始。

生：△表示同一個數，一下子就知道了減法算式，同數相減等于0；除法算式，同數相除等于1。

師：真能干！無論△是幾，兩個相同的數相減，差一定是0；兩個相同的數相除，商一定是1！

師：那剩下乘法的積和加法的和又是多少呢？請和你的同桌合作，看看能不能解決。

2.合作探索，優化方法。

（1）同桌合作探索三分鐘。

（2）學生交流反饋。

師：誰來揭秘一下？你們是怎么想的？

生：我從1 開始一個一個試，△=1、△=2、△=3、△=4，試到4的時候，發現和、差、積、商加起來等于25，所以我發現△=4。

師：逐個嘗試，是一種辦法。還有其他方法嗎？

生：我也是試一試，不過我是從4 開始試的。

師：你為什么從4 開始試？

生：和、差、積、商的總和是25，而差=0，商=1，那么和+積=24，△×△的積應該比24 還要小。五五二十五，所以△肯定比5小。我猜想△會不會是4 呢？試一試，發現△=4 正好符合題目的所有要求。

師：真是個好方法。誰聽明白了？誰愿意再來說一說？

師：剛才兩位同學的方法，誰的更好呢？

生：我覺得第二種方法更好，第二種方法分析了以后，試起來更準確、更快。

3.觀察理解，溝通圖式。

師：我們再請點子圖來幫忙。

出示代入△=4 后的豎式，分步出示每個算式對應的點子圖。

師：4＋4 就是2 個4（出示兩排4 個點子）；4-4=0，沒有了；4乘4 也就是4 個4（出示4 排4個點子）；4÷4=1，出示1 個點子。

師：把這些點子移一移、理一理（展示點子圖移動變化的過程）。現在，你還能從這幅點子圖里把加減乘除四個算式的對應部分找出來嗎？誰愿意上來圈一圈，說一說？

（一位學生上臺，邊圈邊按和差積商逐個說明）

師：推算過程中想到的五五二十五，你在圖中看到了嗎？

生：這個點子圖表示的就是5×5。

師：同學們真是太厲害了！通過回憶口訣，鎖定了△的大小，經過檢驗，很快揭曉了這個豎式的答案。最后，我們發現，這個豎式還對應了一個神奇的點子圖。同學們，這個豎式神奇嗎？

（揭示課題：神奇的豎式）

【評析：豎式的表現形式比較復雜，所以先集體審題，明確題意，幫助學生確定思考的方向，在此基礎上，鼓勵學生合作思考、交流探究。反饋環節中，鼓勵學生表述不同的思考過程，讓學生在充分對比中優化解決問題的方案。最后，教師通過分別出示每個算式的點子圖，以及移動點子合成豎式的動態過程，支撐學生理解數、 式的整合變化原理，為進一步學習和豐富思維圖式奠基。】

三、激動思維，發現規律

師：你能獨立解決下面的豎式嗎？完成這兩個神奇的豎式，并在點子圖中把神奇豎式中的加減乘除四個算式對應的部分圈一圈。

出示：

師：你是怎么想的？

生：六六三十六，△肯定比6小。我再倒推一個數——5，試驗5 發現正確。

生：四四十六，△比4 小。我再倒推一個數——3，試驗3 發現正確。

師：（整體出示三個豎式和對應的點子圖）仔細觀察這幾個神奇豎式，你有什么發現？

生：神奇豎式對應的點子圖都是一個幾×幾的方陣，且神奇豎式中三角形都是這個幾減去1。

師：原來神奇豎式的點子圖就是一個方陣，這個豎式真是太神奇了！

【評析：波利亞說“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像一門系統的演繹科學； 但另一方面，創造過程中的數學，看起來是一門實驗性的歸納科學”。借助點子圖，數形結合，引導學生在觀察、嘗試和反思中，不斷發現新的結論，生成新的知識。】

四、促動發展，自主創新

師：老師這兒還有一個豎式，和我們神奇的豎式很像——

生：少了和差積商的和。

師：你們能補充一下這個和嗎？根據前面的經驗，想一想：和可能是多少？

生：49、64、81。

師：你們是怎么想的呢？

生：因為我們剛剛發現神奇豎式的點子圖是一個方陣，所以神奇豎式中和差積商的和一定是一個平方數。像三三得九，四四十六，五五二十五這樣的數。所以我們猜，只有49、64、81 這些數才可能是這里的和。

師：同學們真了不起，還注意到這個和就是一個平方數！大家不僅能夠揭秘這樣的神奇豎式，還能自己創造豎式，老師為你們點贊！

【評析：本環節中包含兩個層次的練習，通過基礎練習幫助學生鞏固新知，進而引導學生自創豎式，在開放性練習中拓展學生的思維，激勵他們的創新意識。】

【教學綜述】

張天孝老師說過，“數學教育的本質就是思維訓練”。《跟張天孝爺爺學數學》以張老師與一名學齡兒童一起學習數學的過程為場景依托，通過重組數學知識結構、更新內容、滾動發展的方式，讓兒童在掌握和應用知識的過程中發展思維，培養良好的品格。目前，我們正在嘗試依托《跟張天孝爺爺學數學》，進行集體化的數學拓展性課程實施路徑的探索。在課堂上，我們發現：好的數學材料不僅是知識的載體，更是引燃學生思維火花的導線，同時激發教師改變課堂的教學方式。

本課以小游戲的形式啟動導入，激活學生對乘法的認知，激發學生探索新知的興趣。在導入中即引出幾乘幾的點子圖的變化來向學生滲透數形結合的意識和方法，為后面的學習做鋪墊。第一次呈現綜合豎式時，先引導學生明確題意，降低參與門檻，使更多的學生能夠在課堂學習的時間里，有效參與思考和討論。通過小組合作，初步形成解題策略，在此基礎上，通過對兩位學生思路的對比，優化解題的過程。進一步，以“豎式——點子圖”數形結合的方式，賦予數的知識以幾何直觀，幫助學生發現豎式中四個算式和差積商之和的本質就是一個平方數，進而推演△和這個平方數之間的關聯。最后，學生們進行豎式的水平應用和拓展設計練習，不同層次的學生獲得不同層次的發展。

這次研討活動，我們進行了前后測比較，發現課后學生的解題策略和正確率遠優于課前，特別是，學生數形結合的解釋能力和應用能力有了提升。我們在“神奇的豎式”這一拓展性內容中再次看到，學生的數學思維發展存在巨大的可能性，教師應立足核心素養和創新思維品格的發展來設計課、實施課，給學生創造優質的學習和發展機會。